¿Cuál es el período principal de la función y senx. Periodicidad de las funciones y \u003d sen x, y \u003d cos x - Knowledge Hypermarket

Propósito: generalizar y sistematizar el conocimiento de los estudiantes sobre el tema "Periodicidad de las funciones"; formar habilidades para aplicar las propiedades de una función periódica, encontrar el período positivo más pequeño de una función, trazar funciones periódicas; promover el interés por el estudio de las matemáticas; cultivar la observación, la precisión.

Equipo: computadora, proyector multimedia, tarjetas de tareas, diapositivas, relojes, mesas de adorno, elementos de artesanía popular.

“Las matemáticas son lo que la gente usa para controlar la naturaleza y a sí mismos”
UN. Kolmogorov

durante las clases

I. Etapa organizativa.

Comprobación de la preparación de los estudiantes para la lección. Presentación del tema y objetivos de la lección.

II. Comprobación de la tarea.

Verificamos la tarea de acuerdo con muestras, la mayoría momentos dificiles que se discute.

tercero Generalización y sistematización del conocimiento.

1. Trabajo frontal oral.

Cuestiones de teoría.

1) Formar la definición del periodo de la función
2) ¿Cuál es el período positivo más pequeño de las funciones y=sin(x), y=cos(x)
3). ¿Cuál es el período positivo más pequeño de las funciones y=tg(x), y=ctg(x)
4) Usa el círculo para probar la corrección de las relaciones:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=senx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, norte ∈ Z

5) ¿Cómo trazar una función periódica?

ejercicios orales.

1) Demostrar las siguientes relaciones

a) pecado(740º) = pecado(20º)
b) coseno(54º) = coseno(-1026º)
C) pecado(-1000º) = pecado(80º )

2. Demostrar que el ángulo de 540º es uno de los periodos de la función y= cos(2x)

3. Demostrar que el ángulo de 360º es uno de los periodos de la función y=tg(x)

4. Transforma estas expresiones para que los ángulos incluidos en ellas no superen los 90º en valor absoluto.

a) tg375º
b) ctg530º
C) pecado1268º
d) cos(-7363º)

5. ¿Dónde te encontraste con las palabras PERÍODO, PERIODICIDAD?

Respuestas de los alumnos: Un período en la música es una construcción en la que se enuncia un pensamiento musical más o menos completo. Período geológico- parte de una era y se divide en épocas con un período de 35 a 90 millones de años.

La vida media de una sustancia radiactiva. Fracción periódica. Los periódicos son publicaciones impresas que aparecen en fechas estrictamente definidas. sistema periodico Mendeleev.

6. Las figuras muestran partes de las gráficas de funciones periódicas. Defina el período de la función. Determine el período de la función.

Responder: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. ¿En qué parte de su vida se ha encontrado con la construcción de elementos repetitivos?

Los estudiantes responden: Elementos de ornamentos, arte popular.

IV. Resolución colectiva de problemas.

(Resolución de problemas en diapositivas).

Consideremos una de las formas de estudiar una función para la periodicidad.

Este método pasa por alto las dificultades asociadas con la demostración de que uno u otro período es el más pequeño, y tampoco hay necesidad de abordar cuestiones sobre operaciones aritméticas en funciones periódicas y sobre periodicidad. función compleja. El razonamiento se basa únicamente en la definición de una función periódica y en el siguiente hecho: si T es el período de la función, entonces nT(n? 0) es su período.

Problema 1. Encuentra el periodo positivo más pequeño de la función f(x)=1+3(x+q>5)

Solución: Supongamos que el período T de esta función. Entonces f(x+T)=f(x) para todo x ∈ D(f), es decir

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Sea x=-0.25 obtenemos

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Hemos obtenido que todos los periodos de la función considerada (si es que existen) están entre enteros. Elija entre estos números el número positivo más pequeño. eso 1 . Vamos a comprobar si en realidad es un período 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Dado que (T+1)=(T) para cualquier T, entonces f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), es decir 1 - período f. Como 1 es el menor de todos los enteros positivos, entonces T=1.

Tarea 2. Muestre que la función f(x)=cos 2 (x) es periódica y encuentre su período principal.

Tarea 3. Encuentra el período principal de la función

f(x)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)

Supongamos el período T de la función, entonces para cualquier X el radio

sen1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)

Si x=0 entonces

sen(1.5T)+5cos(0.75T)=sen0+5cos0

sen(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Si x=-T, entonces

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sen(1.5T)+5cos(0.75T)

Sumando, obtenemos:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Elijamos de todos los números "sospechosos" para el período el positivo más pequeño y verifiquemos si es un período para f. Este número

f(x+)=sen(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Por lo tanto, es el período principal de la función f.

Tarea 4. Comprobar si la función f(x)=sin(x) es periódica

Sea T el periodo de la función f. Entonces para cualquier x

sen|x+T|=sen|x|

Si x=0, entonces sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Suponer. Que para algún n el número π n es un periodo

función considerada π n>0. Entonces sin|π n+x|=sin|x|

Esto implica que n debe ser par e impar al mismo tiempo, lo cual es imposible. Es por eso función dada no es periódico.

Tarea 5. Comprobar si la función es periódica

f(x)=

Sea T el periodo f, entonces

, por lo tanto senT=0, T=π n, n € Z. Supongamos que para algún n el número π n es de hecho el período de la función dada. Entonces el número 2π n también será un período

Como los numeradores son iguales, también lo son sus denominadores, entonces

Por lo tanto, la función f no es periódica.

Trabajo en equipo.

Tareas para el grupo 1.

Tareas para el grupo 2.

Comprueba si la función f es periódica y encuentra su período principal (si existe).

f(x)=cos(2x)+2sen(2x)

Tareas para el grupo 3.

Al final del trabajo, los grupos presentan sus soluciones.

VI. Resumiendo la lección.

Reflexión.

El maestro les da a los estudiantes tarjetas con dibujos y se ofrece a pintar sobre parte del primer dibujo de acuerdo con la medida en que, según les parece, han dominado los métodos de estudio de la función por periodicidad, y en parte del segundo dibujo. , de acuerdo con su contribución al trabajo en la lección.

VIII. Tareas para el hogar

una). Compruebe si la función f es periódica y encuentre su período principal (si existe)

b). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). La función y=f(x) tiene un periodo T=2 y f(x)=x 2 +2x para x € [-2; 0]. Encuentra el valor de la expresión -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

1. Mordkovich A.G.Álgebra y el comienzo del análisis con estudio en profundidad.
2. Matemáticas. Preparación para el examen. ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E. A.Álgebra y análisis inicial para los grados 10-11.

Centrado en un punto A.
α es un ángulo expresado en radianes.

Definición
Seno es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto triángulo rectángulo, igual a la proporción la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud de la hipotenusa |AC|.

Coseno (cos α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud de la hipotenusa |AC|.

Designaciones aceptadas

;
;
.

;
;
.

Gráfico de la función seno, y = sen x

Gráfico de la función coseno, y = cos x

Propiedades del seno y el coseno

Periodicidad

Funciones y= pecado x y y= porque x periódico con un punto 2 pi.

Paridad

La función seno es impar. La función coseno es par.

Dominio de definición y valores, extremos, aumento, disminución

Las funciones seno y coseno son continuas en su dominio de definición, es decir, para todo x (ver la prueba de continuidad). Sus principales propiedades se presentan en la tabla (n - entero).

fórmulas básicas

Suma de seno y coseno al cuadrado

Fórmulas de seno y coseno para suma y diferencia

;
;

Fórmulas para el producto de senos y cosenos

Fórmulas de suma y diferencia

Expresión de seno a través de coseno

;
;
;
.

Expresión de coseno a través de seno

;
;
;
.

Expresión en términos de tangente

; .

Para , tenemos:
; .

A :
; .

Tabla de senos y cosenos, tangentes y cotangentes

Esta tabla muestra los valores de senos y cosenos para algunos valores del argumento.

Expresiones a través de variables complejas

;

fórmula de Euler

Expresiones en términos de funciones hiperbólicas

;
;

Derivados

; . Derivación de fórmulas > > >

Derivadas de orden n:
{ -∞ < x < +∞ }

secante, cosecante

funciones inversas

funciones inversas al seno y al coseno son el arcoseno y el arcocoseno, respectivamente.

Arcoseno, arcoseno

arcocoseno, arccos

Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.

Instrucción

Para encontrar el período de una función trigonométrica elevada a una potencia, evalúa la uniformidad de la potencia. Reducir el plazo estándar a la mitad. Por ejemplo, si le dan una función y \u003d 3 cos ^ 2x, entonces el período estándar 2P disminuirá 2 veces, por lo que el período será igual a P. Tenga en cuenta que las funciones tg, ctg son periódicas en cualquier grado de PAGS.

Si te dan una ecuación que contiene o es un cociente de dos funciones trigonométricas, primero encuentra el período para cada una de ellas por separado. Luego encuentra el número mínimo que cabría en una cantidad entera de ambos. Por ejemplo, dada la función y=tgx*cos5x. Para la tangente, el periodo es P, para el coseno 5x, el periodo es 2P/5. El número mínimo que puede caber en ambos períodos es 2P, por lo que el período requerido es 2P.

Si le resulta difícil actuar de la manera propuesta o duda de la respuesta, intente actuar por definición. Toma T como el periodo de la función, es mayor que cero. Sustituye x en la ecuación (x + T) y resuelve la igualdad resultante como si T fuera un parámetro o un número. Como resultado, encontrará el valor de la función trigonométrica y podrá elegir el período mínimo. Por ejemplo, como resultado de la simplificación, obtienes la identidad sin (T / 2) \u003d 0. Valor mínimo T en el que se realiza, 2P, esta será la tarea.

Fuentes:

• período de pecado

Una función periódica es una función que repite sus valores después de algún período distinto de cero. El período de una función es un número cuya adición al argumento de la función no cambia el valor de la función.

Necesitará

• Conocimiento sobre matemáticas elementales y el comienzo del análisis.

Instrucción

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Nota

Todos funciones trigonométricas son periódicos, y todos los polinomios con grado mayor que 2 son aperiódicos.

Aviso util

El periodo de una función que consta de dos funciones periódicas, es el mínimo común múltiplo de los periodos de estas funciones.

Ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones de un argumento desconocido (por ejemplo: 5senx-3cosx =7). Para aprender a resolverlos, necesita conocer algunos métodos para esto.

Instrucción

Descomposición de la ecuación en factores. Primero, trasladamos todos los términos a la izquierda y factorizamos.

Es importante recordar que las funciones pares e impares tienen una línea recta con el dominio de la función. Si, por ejemplo, un par no incluso función no para x=5, entonces no existe para x=-5, lo que no se puede decir de la función vista general. Al establecer pares e impares, preste atención al dominio de la función.

Examinar una función para paridad par e impar se correlaciona con encontrar el conjunto de valores de la función. Para encontrar el conjunto de valores de una función par, basta con considerar la mitad de la función, a la derecha o a la izquierda de cero. Si para x>0 una función par y(x) lleva de A a B, entonces tendrá los mismos valores para x<0.
Para encontrar el conjunto de valores que toma una función impar, también es suficiente considerar una sola función. Si para x>0 la función impar y(x) toma un rango de valores de A a B, entonces para x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonométricas" una vez comenzaron a llamarse funciones que están determinadas por la dependencia de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo en las longitudes de sus lados. Estas funciones incluyen, en primer lugar, el seno y el coseno, y en segundo lugar, la secante y la cosecante, que son inversas de estas funciones, las derivadas tangente y cotangente de ellas, así como las funciones inversas arcoseno, arcocoseno, etc. más correcto hablar no sobre la "solución" de tales funciones, sino sobre su "cálculo", es decir, sobre encontrar un valor numérico.

Instrucción

Si se desconoce el argumento trigonométrico, su valor se puede calcular indirectamente en función de las definiciones de estas funciones. Para ello, necesitas saber las longitudes de los lados del triángulo, la trigonométrica de uno de los ángulos que quieres calcular. Por ejemplo, el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón entre la longitud del cateto opuesto a este ángulo y la longitud de la hipotenusa. De esto se sigue que para un ángulo es suficiente conocer las longitudes de estos dos lados. Análogo dice que el seno de un ángulo agudo es la razón de la longitud del cateto adyacente a este ángulo a la longitud de la hipotenusa. La tangente de un ángulo agudo se puede calcular dividiendo la longitud del cateto opuesto por la longitud del cateto adyacente, y requiere dividir la longitud del cateto adyacente por la longitud del cateto opuesto. Para calcular la secante de un ángulo agudo, es necesario encontrar la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente al ángulo deseado, y la cosecante se determina por la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto. longitud de la pierna opuesta.

Si se conoce el argumento de la función trigonométrica, entonces no necesita saber las longitudes de los lados del triángulo; puede usar las tablas de valores o calculadoras de funciones trigonométricas. Este es uno de los programas estándar del sistema operativo Windows. Para ejecutarlo, puede presionar la combinación de teclas Win + R, ingresar el comando calc y hacer clic en el botón Aceptar. En la interfaz del programa, abra la sección "Ver" y el elemento "Ingeniería" o "Científico". Después de eso, puede ingresar el argumento de la función trigonométrica. Para calcular las funciones seno, coseno y después de ingresar el valor, basta con hacer clic en el botón de la interfaz correspondiente (sin, cos, tg), y para encontrar sus inversas del arcoseno, arcocoseno y, primero debe verificar el Casilla de inversión.

También hay formas alternativas. Una de ellas es ir al sitio del buscador Nigma o Google e ingresar la función deseada y su argumento como consulta de búsqueda (por ejemplo, sin 0.47). Estos motores de búsqueda tienen calculadoras integradas, por lo que después de enviar dicha solicitud, recibirá el valor de la función trigonométrica que ingresó.

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Las funciones trigonométricas surgieron por primera vez como herramientas para los cálculos matemáticos abstractos de las dependencias de las magnitudes de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo con respecto a las longitudes de sus lados. Ahora son muy utilizados en los campos científicos y técnicos de la actividad humana. Para cálculos prácticos de funciones trigonométricas a partir de argumentos dados, puede usar diferentes herramientas; algunas de las más accesibles se describen a continuación.

Instrucción

Utilice, por ejemplo, el programa de calculadora instalado por defecto con el sistema operativo. Se abre seleccionando el elemento "Calculadora" en la carpeta "Utilidades" de la subsección "Estándar", ubicada en la sección "Todos los programas". Esta sección se puede abrir haciendo clic en el botón "Inicio" en el menú principal de la sala de operaciones. Si está utilizando la versión de Windows 7, puede simplemente escribir "Calculadora" en el cuadro "Buscar programas y archivos" en el menú principal y luego hacer clic en el enlace correspondiente en los resultados de búsqueda.

Ingrese el ángulo para el cual desea calcular la función trigonométrica y luego haga clic en el botón apropiado para esto: seno, coseno o tangente. Si está interesado en las funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno o ), primero haga clic en el botón denominado Inv: invierte las funciones asignadas a los botones de control.

En versiones anteriores del sistema operativo (por ejemplo, Windows XP), para acceder a las funciones trigonométricas, abra la sección "Ver" en el menú de la calculadora y seleccione la línea "Ingeniería". Además, en lugar del botón Inv en la interfaz de versiones anteriores del programa, hay una casilla de verificación con la misma inscripción.

Puedes hacerlo sin calculadora si tienes acceso a Internet. Hay muchos servicios en la red que ofrecen calculadoras de funciones trigonométricas organizadas de manera diferente. Uno de los más convenientes está integrado en el motor de búsqueda Nigma. Al ir a su página principal, simplemente ingrese el valor que le interesa en el campo de consulta de búsqueda, por ejemplo, " arcotangente 30». Después de hacer clic en "¡Buscar!" el motor de búsqueda calculará y mostrará el resultado del cálculo: 0.482347907101025.

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La trigonometría es una rama de las matemáticas para estudiar, expresando varias dependencias de los lados de un triángulo rectángulo en las magnitudes de los ángulos agudos en la hipotenusa. Tales funciones se denominan trigonométricas y, para simplificar el trabajo con ellas, se derivaron funciones trigonométricas. identidades.

concepto identidades en significa igualdad, que se cumple para cualquier valor de los argumentos de las funciones incluidas en él. Trigonométrico identidades- estas son las igualdades de funciones trigonométricas, probadas y aceptadas para facilitar el trabajo con fórmulas trigonométricas Una función trigonométrica es una función elemental de la dependencia de uno de los catetos de un triángulo rectángulo en la magnitud de un ángulo agudo en la hipotenusa . Las seis funciones trigonométricas básicas más utilizadas son sin (seno), cos (coseno), tg (tangente), ctg (cotangente), sec (secante) y cosec (cosecante). Estas funciones se llaman directas, también hay

Un número T tal que para cualquier x F(x + T) = F(x). Este número T se llama el período de la función.

Puede haber varios periodos. Por ejemplo, la función F = const toma el mismo valor para cualquier valor del argumento y, por lo tanto, cualquier número puede considerarse su período.

Por lo general, está interesado en el período distinto de cero más pequeño de la función. Por brevedad, se le llama simplemente un período.

Un ejemplo clásico de funciones periódicas es la trigonométrica: seno, coseno y tangente. Su periodo es el mismo e igual a 2π, es decir, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) y así sucesivamente. Sin embargo, por supuesto, las funciones trigonométricas no son las únicas periódicas.

Con respecto a las funciones básicas simples, la única forma de establecer su periodicidad o no periodicidad es a través de cálculos. Pero para funciones complejas, ya existen algunas reglas simples.

Si F(x) es de periodo T, y se define una derivada para ella, entonces esta derivada f(x) = F′(x) es también una función periódica de periodo T. Después de todo, el valor de la derivada en el el punto x es igual a la tangente de la tangente de la gráfica de su antiderivada en este punto al eje x, y como se repite periódicamente, debe repetirse. Por ejemplo, la derivada de la función sen(x) es cos(x) y es periódica. Tomando la derivada de cos(x) te da -sin(x). La periodicidad se mantiene sin cambios.

Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto. Así, la función f(x) = const es periódica, pero su antiderivada F(x) = const*x + C no lo es.

Si F(x) es una función periódica con período T, entonces G(x) = a*F(kx + b), donde a, b y k son constantes y k no es igual a cero, también una función periódica, y su periodo es T/k. Por ejemplo, sin(2x) es una función periódica y su periodo es π. Visualmente, esto se puede representar de la siguiente manera: al multiplicar x por algún número, se comprimen las funciones horizontalmente exactamente tantas veces

Si F1(x) y F2(x) son funciones periódicas y sus períodos son iguales a T1 y T2, respectivamente, entonces la suma de estas funciones también puede ser periódica. Sin embargo, su período no será una simple suma de los períodos T1 y T2. Si el resultado de dividir T1/T2 es un número racional, entonces la suma de las funciones es periódica, y su periodo es igual al mínimo común múltiplo (MCM) de los periodos T1 y T2. Por ejemplo, si el período de la primera función es 12 y el período de la segunda es 15, entonces el período de su suma será MCM (12, 15) = 60.

Visualmente, esto se puede representar de la siguiente manera: las funciones vienen con diferentes "anchos de paso", pero si la relación de sus anchos es racional, entonces más pronto o (más precisamente, a través del MCM de pasos), volverán a ser iguales, y su suma comenzará un nuevo período.

Sin embargo, si la razón de períodos , entonces la función total no será periódica en absoluto. Por ejemplo, sea F1(x) = x mod 2 (el resto de x dividido por 2) y F2(x) = sin(x). T1 aquí será igual a 2, y T2 es igual a 2π. La relación de períodos es igual a π, un número irracional. Por tanto, la función sen(x) + x mod 2 no es periódica.

Fuentes:

• Teoría de funciones

Muchas funciones matemáticas tienen una característica que facilita su construcción: esta es periodicidad, es decir, la repetibilidad del gráfico en la cuadrícula de coordenadas a intervalos regulares.

Instrucción

Las funciones periódicas más conocidas de las matemáticas son la sinusoide y la onda coseno. Estas funciones tienen un período ondulatorio y básico igual a 2P. También un caso especial de una función periódica es f(x)=const. Cualquier número es adecuado para la posición x, esta función no tiene un punto principal, ya que es una línea recta.

En general, una función es periódica si hay un número entero N que no es cero y cumple la regla f(x)=f(x+N), asegurando así la repetibilidad. El período de la función es el número N más pequeño, pero no cero. Es decir, por ejemplo, la función sin x es igual a la función sin (x + 2PN), donde N \u003d ± 1, ± 2, etc.

A veces, una función puede tener un multiplicador (por ejemplo, sen 2x), que aumentará o disminuirá el período de la función. Para encontrar el periodo