Primer nivel

Progresión geométrica. Guía completa con ejemplos (2019)

secuencia numérica

Entonces, sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, los hay). No importa cuántos números escribamos, siempre podremos decir cuál es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

Por ejemplo, para nuestra secuencia:

El número asignado es específico de un solo número de la secuencia. En otras palabras, no hay tres segundos números en la secuencia. El segundo número (como el décimo número) es siempre el mismo.

El número con el número se llama el enésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Los tipos de progresión más comunes son la aritmética y la geométrica. En este tema hablaremos del segundo tipo: progresión geométrica.

¿Por qué es necesaria la progresión geométrica y su historia?

Ya en la antigüedad, el monje matemático italiano Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci) se ocupaba de las necesidades prácticas del comercio. El monje se enfrentó a la tarea de determinar ¿cuál es el menor número de pesas que se pueden utilizar para pesar un producto? Fibonacci demuestra en sus obras que este sistema de pesos es óptimo: esta es una de las primeras situaciones en las que la gente tuvo que lidiar con una progresión geométrica, de la que probablemente ya habrá oído hablar y de la que al menos tendrá una comprensión general. Una vez que comprenda completamente el tema, piense por qué un sistema de este tipo es óptimo.

Actualmente, en la práctica de la vida, la progresión geométrica se manifiesta al invertir dinero en un banco, cuando se acumulan intereses sobre el monto acumulado en la cuenta durante el período anterior. En otras palabras, si deposita dinero en un depósito a plazo en una caja de ahorros, después de un año el depósito aumentará en la cantidad original, es decir, el nuevo monto será igual al aporte multiplicado por. En un año más, esta cantidad aumentará, es decir, la cantidad obtenida en ese momento se volverá a multiplicar por y así sucesivamente. Una situación similar se describe en los problemas de cálculo de los llamados interés compuesto- el porcentaje se deduce cada vez del importe que hay en la cuenta, teniendo en cuenta los intereses anteriores. Hablaremos de estas tareas un poco más adelante.

Hay muchos más casos simples en los que se aplica la progresión geométrica. Por ejemplo, la propagación de la gripe: una persona infectó a otra, ella, a su vez, infectó a otra persona y, por tanto, la segunda ola de infección es una persona, y ella, a su vez, infectó a otra... y así sucesivamente. .

Por cierto, una pirámide financiera, el mismo MMM, es un cálculo simple y seco basado en las propiedades de una progresión geométrica. ¿Interesante? Vamos a resolverlo.

Progresión geométrica.

Digamos que tenemos una secuencia numérica:

Inmediatamente responderás que esto es fácil y que el nombre de dicha secuencia es una progresión aritmética con la diferencia de sus términos. Qué tal esto:

Si restas el anterior del siguiente número, verás que cada vez obtienes una nueva diferencia (y así sucesivamente), pero la secuencia definitivamente existe y es fácil de notar: ¡cada número posterior es veces mayor que el anterior!

Este tipo de secuencia numérica se llama progresión geométrica y es designado.

La progresión geométrica () es una secuencia numérica cuyo primer término es diferente de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.

Las restricciones de que el primer término ( ) no es igual y no son aleatorias. Supongamos que no están ahí, y que el primer término sigue siendo igual, y q es igual a, hmm... déjalo así, entonces resulta:

Acepte que esto ya no es una progresión.

Como comprenderá, obtendremos los mismos resultados si hay cualquier número distinto de cero, a. En estos casos, simplemente no habrá progresión, ya que toda la serie numérica será todo ceros o un número, y el resto serán ceros.

Ahora hablemos con más detalle sobre el denominador de la progresión geométrica, es decir, o.

Repitamos: - este es el número ¿Cuántas veces cambia cada término subsiguiente? progresión geométrica.

¿Qué crees que podría ser? Así es, positivo y negativo, pero no cero (hablamos de esto un poco más arriba).

Supongamos que el nuestro es positivo. Sea en nuestro caso, a. ¿Cuál es el valor del segundo término y? Puedes responder fácilmente a eso:

Así es. En consecuencia, si todos los términos posteriores de la progresión tienen el mismo signo: son positivos.

¿Y si es negativo? Por ejemplo, un. ¿Cuál es el valor del segundo término y?

Esta es una historia completamente diferente.

Intenta contar los términos de esta progresión. ¿Cuanto conseguiste? Tengo. Por tanto, si, entonces se alternan los signos de los términos de la progresión geométrica. Es decir, si ves una progresión con signos alternos para sus miembros, entonces su denominador es negativo. Este conocimiento puede ayudarle a ponerse a prueba al resolver problemas sobre este tema.

Ahora practiquemos un poco: intentemos determinar qué secuencias numéricas son una progresión geométrica y cuáles son una progresión aritmética:

¿Entiendo? Comparemos nuestras respuestas:

• Progresión geométrica - 3, 6.
• Progresión aritmética - 2, 4.
• No es una progresión aritmética ni geométrica: 1, 5, 7.

Volvamos a nuestra última progresión e intentemos encontrar su miembro, como en la aritmética. Como habrás adivinado, hay dos formas de encontrarlo.

Multiplicamos sucesivamente cada término por.

Entonces, el término de la progresión geométrica descrita es igual a.

Como ya habrás adivinado, ahora tú mismo obtendrás una fórmula que te ayudará a encontrar cualquier miembro de la progresión geométrica. ¿O ya lo ha desarrollado usted mismo y describe cómo encontrar el decimoésimo miembro paso a paso? Si es así, compruebe la exactitud de su razonamiento.

Ilustremos esto con el ejemplo de encontrar el décimo término de esta progresión:

En otras palabras:

Encuentra tú mismo el valor del término de la progresión geométrica dada.

¿Sucedió? Comparemos nuestras respuestas:

Tenga en cuenta que obtuvo exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando multiplicamos secuencialmente por cada término anterior de la progresión geométrica.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula; pongámosla en forma general y obtengamos:

La fórmula derivada es válida para todos los valores, tanto positivos como negativos. Compruébalo tú mismo calculando los términos de la progresión geométrica con las siguientes condiciones: , a.

¿Contaste? Comparemos los resultados:

Esté de acuerdo en que sería posible encontrar un término de progresión de la misma manera que un término, sin embargo, existe la posibilidad de calcular incorrectamente. Y si ya hemos encontrado el enésimo término de la progresión geométrica, entonces, ¿qué podría ser más sencillo que utilizar la parte “truncada” de la fórmula?

Progresión geométrica infinitamente decreciente.

Más recientemente hablamos de que puede ser mayor o menor que cero, sin embargo, existen valores especiales para los cuales se llama progresión geométrica. infinitamente decreciente.

¿Por qué crees que se le da este nombre?
Primero, escribamos una progresión geométrica que consta de términos.
Digamos entonces:

Vemos que cada término posterior es menor que el anterior por un factor, pero ¿habrá algún número? Inmediatamente responderá: "no". Por eso es infinitamente decreciente: disminuye y disminuye, pero nunca llega a ser cero.

Para entender claramente cómo se ve esto visualmente, intentemos dibujar un gráfico de nuestra progresión. Entonces, para nuestro caso, la fórmula toma la siguiente forma:

En gráficos estamos acostumbrados a representar la dependencia, por lo tanto:

La esencia de la expresión no ha cambiado: en la primera entrada mostramos la dependencia del valor de un miembro de una progresión geométrica de su número ordinal, y en la segunda entrada simplemente tomamos el valor de un miembro de una progresión geométrica como , y designó el número ordinal no como, sino como. Todo lo que queda por hacer es construir un gráfico.
Veamos que tienes. Aquí está el gráfico que se me ocurrió:

¿Lo ves? La función decrece, tiende a cero, pero nunca lo cruza, por lo que es infinitamente decreciente. Marquemos nuestros puntos en la gráfica, y al mismo tiempo lo que significa la coordenada y:

Intente representar esquemáticamente la gráfica de una progresión geométrica si su primer término también es igual. Analiza ¿cuál es la diferencia con nuestra gráfica anterior?

¿Lograste? Aquí está el gráfico que se me ocurrió:

Ahora que has entendido completamente los conceptos básicos del tema de la progresión geométrica: sabes qué es, sabes cómo encontrar su término y también sabes qué es una progresión geométrica infinitamente decreciente, pasemos a su propiedad principal.

Propiedad de la progresión geométrica.

¿Recuerdas la propiedad de los términos de una progresión aritmética? Sí, sí, cómo encontrar el valor de un determinado número de una progresión cuando existen valores anteriores y posteriores de los términos de esta progresión. ¿Te acuerdas? Este:

Ahora nos enfrentamos exactamente a la misma pregunta para los términos de una progresión geométrica. Para derivar dicha fórmula, comencemos a dibujar y razonar. Ya verás que es muy fácil y si se te olvida lo puedes sacar tú mismo.

Tomemos otra progresión geométrica simple, en la que conocemos y. ¿Como encontrar? Con la progresión aritmética es fácil y sencillo, pero ¿y aquí? De hecho, tampoco hay nada complicado en geometría: solo necesita anotar cada valor que se nos da de acuerdo con la fórmula.

Quizás te preguntes, ¿qué debemos hacer al respecto ahora? Sí, muy sencillo. Primero, representemos estas fórmulas en una imagen e intentemos hacer varias manipulaciones con ellas para llegar al valor.

Hagamos abstracción de los números que se nos dan, centrémonos solo en su expresión a través de la fórmula. Necesitamos encontrar el valor resaltado en naranja, conociendo los términos adyacentes a él. Intentemos realizar varias acciones con ellos, como resultado de lo cual podemos obtenerlo.

Suma.
Intentemos sumar dos expresiones y obtenemos:

A partir de esta expresión, como puede ver, no podemos expresarla de ninguna manera, por lo tanto, probaremos con otra opción: la resta.

Sustracción.

Como puedes ver, esto tampoco lo podemos expresar, así que intentemos multiplicar estas expresiones entre sí.

Multiplicación.

Ahora mire detenidamente lo que tenemos al multiplicar los términos de la progresión geométrica que se nos da en comparación con lo que hay que encontrar:

¿Adivina de qué estoy hablando? Correctamente, para encontrarlo necesitamos tomar la raíz cuadrada de los números de progresión geométrica adyacentes al deseado multiplicados entre sí:

Aquí tienes. Usted mismo dedujo la propiedad de la progresión geométrica. Intente escribir esta fórmula en forma general. ¿Sucedió?

¿Olvidaste la condición? Piense por qué es importante, por ejemplo, intente calcularlo usted mismo. ¿Qué pasará en este caso? Así es, una completa tontería porque la fórmula se ve así:

En consecuencia, no olvide esta limitación.

Ahora calculemos a qué equivale.

Respuesta correcta - ! Si no olvidó el segundo valor posible durante el cálculo, entonces es genial y puede pasar inmediatamente al entrenamiento, y si lo olvidó, lea lo que se analiza a continuación y preste atención a por qué es necesario anotar ambas raíces. en la respuesta.

Dibujemos nuestras dos progresiones geométricas, una con un valor y la otra con un valor, y comprobemos si ambas tienen derecho a existir:

Para comprobar si tal progresión geométrica existe o no, es necesario ver si todos sus términos dados son iguales. Calcule q para el primer y segundo caso.

¿Ves por qué tenemos que escribir dos respuestas? ¡Porque el signo del término que buscas depende de si es positivo o negativo! Y como no sabemos qué es, debemos escribir ambas respuestas con un más y un menos.

Ahora que domina los puntos principales y ha obtenido la fórmula de la propiedad de la progresión geométrica, encuentre, conozca y

Compara tus respuestas con las correctas:

¿Qué piensas, si no nos dieran los valores de los términos de la progresión geométrica adyacentes al número deseado, sino equidistantes de él? Por ejemplo, necesitamos encontrar, y dado y. ¿Podemos usar la fórmula que derivamos en este caso? Intente confirmar o refutar esta posibilidad de la misma manera, describiendo en qué consiste cada valor, como lo hizo cuando derivó originalmente la fórmula, en.
¿Qué obtuviste?

Ahora mira con atención de nuevo.
y correspondientemente:

De esto podemos concluir que la fórmula funciona. no sólo con los vecinos con los términos deseados de la progresión geométrica, pero también con equidistante de lo que buscan los miembros.

Así, nuestra fórmula inicial toma la forma:

Es decir, si en el primer caso decíamos eso, ahora decimos que puede ser igual a cualquier número natural que sea menor. Lo principal es que es igual para ambos números dados.

Practica con ejemplos específicos, ¡solo ten mucho cuidado!

1. , . Encontrar.
2. , . Encontrar.
3. , . Encontrar.

¿Decidido? Espero que hayas estado extremadamente atento y hayas notado un pequeño problema.

Comparemos los resultados.

En los dos primeros casos aplicamos tranquilamente la fórmula anterior y obtenemos los siguientes valores:

En el tercer caso, cuando examinamos detenidamente los números de serie de los números que nos dan, entendemos que no equidistan del número que buscamos: es el número anterior, pero está eliminado en una posición, por lo que es No es posible aplicar la fórmula.

¿Cómo resolverlo? ¡En realidad no es tan difícil como parece! Anotamos en qué consiste cada número que nos dan y el número que buscamos.

Entonces tenemos y. ¿Veamos qué podemos hacer con ellos? Sugiero dividir por. Obtenemos:

Sustituimos nuestros datos en la fórmula:

El siguiente paso que podemos encontrar es: para ello necesitamos sacar la raíz cúbica del número resultante.

Ahora echemos un vistazo nuevamente a lo que tenemos. Lo tenemos, pero necesitamos encontrarlo y, a su vez, es igual a:

Encontramos todos los datos necesarios para el cálculo. Sustituir en la fórmula:

Nuestra respuesta: .

Intente resolver usted mismo otro problema similar:
Dado: ,
Encontrar:

¿Cuanto conseguiste? Tengo - .

Como puedes ver, esencialmente necesitas recuerda solo una fórmula- . El resto lo podrás retirar tú mismo sin ninguna dificultad en cualquier momento. Para ello, simplemente escribe en una hoja de papel la progresión geométrica más sencilla y anota a qué equivale cada uno de sus números, según la fórmula descrita anteriormente.

La suma de los términos de una progresión geométrica.

Ahora veamos fórmulas que nos permiten calcular rápidamente la suma de los términos de una progresión geométrica en un intervalo dado:

Para derivar la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica finita, multiplica todas las partes de la ecuación anterior por. Obtenemos:

Mire con atención: ¿qué tienen en común las dos últimas fórmulas? Así es, miembros comunes, por ejemplo, y así sucesivamente, excepto el primer y el último miembro. Intentemos restar la primera de la segunda ecuación. ¿Qué obtuviste?

Ahora expresa el término de la progresión geométrica mediante la fórmula y sustituye la expresión resultante en nuestra última fórmula:

Agrupa la expresión. Deberías obtener:

Todo lo que queda por hacer es expresar:

En consecuencia, en este caso.

¿Y si? ¿Qué fórmula funciona entonces? Imagine una progresión geométrica en. ¿Cómo es ella? Una serie de números idénticos es correcta, por lo que la fórmula se verá así:

Existen muchas leyendas sobre la progresión tanto aritmética como geométrica. Una de ellas es la leyenda de Set, el creador del ajedrez.

Mucha gente sabe que el juego de ajedrez se inventó en la India. Cuando el rey hindú la conoció, quedó encantado con su ingenio y la variedad de posiciones posibles en ella. Al enterarse de que fue inventado por uno de sus súbditos, el rey decidió recompensarlo personalmente. Llamó al inventor y le ordenó que le pidiera todo lo que quisiera, prometiendo cumplir hasta el deseo más hábil.

Seta pidió tiempo para pensar, y cuando al día siguiente Seta se presentó ante el rey, lo sorprendió con la modestia sin precedentes de su petición. Pidió que le dieran un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, un grano de trigo por la segunda, un grano de trigo por la tercera, una cuarta, etc.

El rey se enojó y echó a Set, diciendo que la petición del sirviente no era digna de la generosidad del rey, pero prometió que el sirviente recibiría sus granos por todas las casillas del tablero.

Y ahora la pregunta: usando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica, ¿calcula cuántos granos debería recibir Seth?

Empecemos a razonar. Dado que, según la condición, Set pidió un grano de trigo para la primera casilla del tablero de ajedrez, para la segunda, para la tercera, para la cuarta, etc., entonces vemos que el problema se trata de una progresión geométrica. ¿A qué equivale en este caso?
Bien.

Casillas totales del tablero de ajedrez. Respectivamente, . Tenemos todos los datos, solo queda introducirlos en la fórmula y calcular.

Para imaginar al menos aproximadamente la “escala” de un número dado, transformamos usando las propiedades de grado:

Por supuesto, si quieres, puedes coger una calculadora y calcular con qué número terminas, y si no, tendrás que confiar en mi palabra: el valor final de la expresión será.
Eso es:

quintillones de billones de billones de billones de miles.

Uf) Si quieres imaginar la enormidad de este número, entonces estima qué tamaño se necesitaría para un granero para acomodar toda la cantidad de grano.
Si el granero tiene m de alto y m de ancho, su longitud debería extenderse por km, es decir el doble de distancia que la que hay entre la Tierra y el Sol.

Si el rey fuera fuerte en matemáticas, podría haber invitado al propio científico a contar los granos, porque para contar un millón de granos necesitaría al menos un día de conteo incansable, y dado que es necesario contar quintillones, los granos Habría que contarlo a lo largo de su vida.

Ahora resolvamos un problema simple que involucra la suma de términos de una progresión geométrica.
Vasya, estudiante de la clase 5A, enfermó de gripe, pero continúa yendo a la escuela. Cada día Vasya infecta a dos personas, quienes, a su vez, infectan a dos personas más, y así sucesivamente. Sólo hay personas en la clase. ¿En cuántos días toda la clase estará enferma de gripe?

Entonces, el primer término de la progresión geométrica es Vasya, es decir, una persona. El décimo término de la progresión geométrica son las dos personas que infectó el primer día de su llegada. La suma total de los términos de progresión es igual al número de estudiantes 5A. En consecuencia, hablamos de una progresión en la que:

Sustituyamos nuestros datos en la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica:

Toda la clase se enfermará en unos días. ¿No crees en fórmulas y números? Intente retratar usted mismo la "infección" de los estudiantes. ¿Sucedió? Mira como me queda:

Calcula tú mismo cuántos días tardarían los alumnos en enfermarse de gripe si cada uno contagiara a una persona, y solo hubiera una persona en la clase.

¿Qué valor obtuviste? Resultó que todos empezaron a enfermarse después de un día.

Como puede ver, esta tarea y su dibujo se asemejan a una pirámide, en la que cada una de ellas "trae" nuevas personas. Sin embargo, tarde o temprano llega un momento en el que este último no puede atraer a nadie. En nuestro caso, si imaginamos que la clase está aislada, la persona de cierra la cadena (). Por lo tanto, si una persona estuviera involucrada en una pirámide financiera en la que se entregara dinero si trajera a otros dos participantes, entonces esa persona (o en general) no traería a nadie y, en consecuencia, perdería todo lo que invirtió en esta estafa financiera.

Todo lo dicho anteriormente se refiere a una progresión geométrica decreciente o creciente, pero, como recordarás, tenemos un tipo especial: una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¿Cómo calcular la suma de sus miembros? ¿Y por qué este tipo de progresión tiene ciertas características? Resolvámoslo juntos.

Entonces, primero, veamos nuevamente este dibujo de una progresión geométrica infinitamente decreciente de nuestro ejemplo:

Ahora veamos la fórmula para la suma de una progresión geométrica, derivada un poco antes:
o

¿Por qué nos esforzamos? Así es, la gráfica muestra que tiende a cero. Es decir, en, será casi igual, respectivamente, al calcular la expresión obtendremos casi. En este sentido, creemos que al calcular la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, este paréntesis se puede descuidar, ya que será igual.

- La fórmula es la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente.

¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma infinito número de miembros.

Si se especifica un número específico n, entonces usamos la fórmula para la suma de n términos, incluso si o.

Ahora practiquemos.

1. Encuentra la suma de los primeros términos de la progresión geométrica con y.
2. Encuentra la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente con y.

Espero que hayas tenido mucho cuidado. Comparemos nuestras respuestas:

Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica y es hora de pasar de la teoría a la práctica. Los problemas de progresión geométrica más comunes que se encuentran en el examen son los problemas de cálculo del interés compuesto. Estos son de los que hablaremos.

Problemas al calcular el interés compuesto.

Probablemente hayas oído hablar de la llamada fórmula del interés compuesto. ¿Entiendes lo que significa? Si no, averigüémoslo, porque una vez que comprendas el proceso en sí, comprenderás inmediatamente qué tiene que ver la progresión geométrica con él.

Todos vamos al banco y sabemos que existen diferentes condiciones para los depósitos: esto incluye plazo, servicios adicionales e intereses con dos formas diferentes de calcularlo: simple y compleja.

CON interés simple Todo está más o menos claro: los intereses se devengan una vez al final del plazo del depósito. Es decir, si decimos que depositamos 100 rublos durante un año, se acreditarán solo al final del año. En consecuencia, al final del depósito recibiremos rublos.

Interés compuesto- esta es una opción en la que ocurre capitalización de intereses, es decir. su adición al monto del depósito y el cálculo posterior de los ingresos no del monto del depósito inicial, sino del acumulado. La capitalización no ocurre constantemente, sino con cierta frecuencia. Como regla general, estos períodos son iguales y la mayoría de las veces los bancos utilizan un mes, trimestre o año.

Supongamos que depositamos los mismos rublos anualmente, pero con capitalización mensual del depósito. ¿Que estamos haciendo?

¿Entiendes todo aquí? Si no, averigüémoslo paso a paso.

Llevamos rublos al banco. Al final del mes, deberíamos tener una cantidad en nuestra cuenta compuesta por nuestros rublos más los intereses sobre ellos, es decir:

¿Aceptar?

Podemos quitarlo de paréntesis y luego obtenemos:

De acuerdo, esta fórmula ya se parece más a lo que escribimos al principio. Todo lo que queda es calcular los porcentajes.

En el planteamiento del problema se nos habla de tasas anuales. Como sabes, no multiplicamos por, convertimos porcentajes a fracciones decimales, es decir:

¿Bien? Ahora te preguntarás, ¿de dónde salió el número? ¡Muy simple!
Repito: el enunciado del problema dice acerca de ANUAL interés que se acumula MENSUAL. Como sabes, en un año de meses, respectivamente, el banco nos cobrará una parte del interés anual por mes:

¿Se dio cuenta? Ahora intenta escribir cómo se vería esta parte de la fórmula si dijera que el interés se calcula diariamente.
¿Lograste? Comparemos los resultados:

¡Bien hecho! Volvamos a nuestra tarea: escribir cuánto se acreditará en nuestra cuenta en el segundo mes, teniendo en cuenta que se devengan intereses sobre el monto del depósito acumulado.
Esto es lo que obtuve:

O, en otras palabras:

Creo que ya has notado un patrón y has visto una progresión geométrica en todo esto. Escribe a qué será igual su miembro, o, en otras palabras, qué cantidad de dinero recibiremos a final de mes.
¿Hizo? ¡Vamos a revisar!

Como puede ver, si deposita dinero en un banco durante un año a una tasa de interés simple, recibirá rublos, y si a una tasa de interés compuesta, recibirá rublos. El beneficio es pequeño, pero esto ocurre solo durante el décimo año, pero durante un período más largo la capitalización es mucho más rentable:

Veamos otro tipo de problema que involucra interés compuesto. Después de lo que hayas descubierto, será elemental para ti. Entonces, la tarea:

La empresa Zvezda empezó a invertir en el sector en el año 2000, con capital en dólares. Cada año desde 2001 ha obtenido un beneficio igual al capital del año anterior. ¿Cuántos beneficios obtendrá la empresa Zvezda a finales de 2003 si no se retiran de la circulación?

Capital de la empresa Zvezda en 2000.
- capital de la empresa Zvezda en 2001.
- capital de la empresa Zvezda en 2002.
- capital de la empresa Zvezda en 2003.

O podemos escribir brevemente:

Para nuestro caso:

2000, 2001, 2002 y 2003.

Respectivamente:
rublos
Tenga en cuenta que en este problema no tenemos división ni por ni por, ya que el porcentaje se da ANUALMENTE y se calcula ANUALMENTE. Es decir, al leer un problema de interés compuesto, preste atención a qué porcentaje se da y en qué período se calcula, y solo entonces proceda a los cálculos.
Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica.

Capacitación.

1. Encuentre el término de la progresión geométrica si se sabe que, y
2. Encuentre la suma de los primeros términos de la progresión geométrica si se sabe que, y
3. La empresa MDM Capital comenzó a invertir en la industria en 2003, con capital en dólares. Cada año desde 2004 ha obtenido un beneficio igual al capital del año anterior. La empresa MSK Cash Flows comenzó a invertir en la industria en 2005 por un monto de $10,000, comenzando a obtener ganancias en 2006 por un monto de. ¿En cuántos dólares es mayor el capital de una empresa que el de otra a finales de 2007, si los beneficios no se retiran de la circulación?

Respuestas:

1. Dado que el planteamiento del problema no dice que la progresión sea infinita y se requiere encontrar la suma de un número específico de sus términos, el cálculo se realiza de acuerdo con la fórmula:
2. 
   Compañía de capital MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - aumenta en un 100%, es decir, 2 veces.
   Respectivamente:
   rublos
   Compañía de flujos de efectivo MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - aumenta en, es decir, en tiempos.
   Respectivamente:
   rublos
   rublos

Resumamos.

1) La progresión geométrica ( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.

2) La ecuación de los términos de la progresión geométrica es.

3) puede tomar cualquier valor excepto y.

• si, entonces todos los términos subsiguientes de la progresión tienen el mismo signo: son positivos;
• si, entonces todos los términos subsiguientes de la progresión signos alternativos;
• cuando - la progresión se llama infinitamente decreciente.

4) , con - propiedad de progresión geométrica (términos adyacentes)

o
, en (términos equidistantes)

Cuando lo encuentres, no lo olvides. debe haber dos respuestas.

Por ejemplo,

5) La suma de los términos de la progresión geométrica se calcula mediante la fórmula:
o

Si la progresión es infinitamente decreciente, entonces:
o

¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma de un número infinito de términos.

6) Los problemas de interés compuesto también se calculan utilizando la fórmula del décimo término de una progresión geométrica, siempre que no se hayan retirado fondos de la circulación:

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Progresión geométrica( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. este numero se llama denominador de una progresión geométrica.

Denominador de progresión geométrica puede tomar cualquier valor excepto y.

• Si entonces todos los términos subsiguientes de la progresión tienen el mismo signo, son positivos;
• si, entonces todos los miembros posteriores de la progresión alternan signos;
• cuando - la progresión se llama infinitamente decreciente.

Ecuación de términos de progresión geométrica. - .

Suma de términos de una progresión geométrica. calculado por la fórmula:
o

Consideremos una determinada serie.

7 28 112 448 1792...

Está absolutamente claro que el valor de cualquiera de sus elementos es exactamente cuatro veces mayor que el anterior. Esto significa que esta serie es una progresión.

Una progresión geométrica es una secuencia infinita de números, cuya característica principal es que el siguiente número se obtiene del anterior multiplicando por un número específico. Esto se expresa mediante la siguiente fórmula.

a z +1 =a z ·q, donde z es el número del elemento seleccionado.

En consecuencia, z ∈ norte.

El período en el que se estudia la progresión geométrica en la escuela es el noveno grado. Los ejemplos le ayudarán a comprender el concepto:

0.25 0.125 0.0625...

Con base en esta fórmula, el denominador de la progresión se puede encontrar de la siguiente manera:

Ni q ni b z pueden ser cero. Además, cada uno de los elementos de la progresión no debe ser igual a cero.

En consecuencia, para averiguar el siguiente número de una serie, debes multiplicar el último por q.

Para establecer esta progresión, debes especificar su primer elemento y denominador. Después de esto, es posible encontrar cualquiera de los términos siguientes y su suma.

Variedades

Dependiendo de q y a 1, esta progresión se divide en varios tipos:

• Si tanto a 1 como q son mayores que uno, entonces dicha secuencia es una progresión geométrica que aumenta con cada elemento posterior. Un ejemplo de esto se presenta a continuación.

Ejemplo: a 1 =3, q=2 - ambos parámetros son mayores que uno.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir así:

3 6 12 24 48 ...

• Si |q| es menor que uno, es decir, la multiplicación por él equivale a la división, entonces una progresión con condiciones similares es una progresión geométrica decreciente. Un ejemplo de esto se presenta a continuación.

Ejemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 es mayor que uno, q es menor.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir de la siguiente manera:

6 2 2/3 ... - cualquier elemento es 3 veces más grande que el elemento que le sigue.

• Signo alterno. si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Ejemplo: a 1 = -3, q = -2 - ambos parámetros son menores que cero.

Entonces la secuencia numérica se puede escribir así:

3, 6, -12, 24,...

Fórmulas

Existen muchas fórmulas para un uso conveniente de las progresiones geométricas:

• Fórmula para el zésimo término. Le permite calcular un elemento bajo un número específico sin calcular números anteriores.

Ejemplo:q = 3, a 1 = 4. Se requiere contar el cuarto elemento de la progresión.

Solución:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• La suma de los primeros elementos cuya cantidad es igual a z. Le permite calcular la suma de todos los elementos de una secuencia hastauna zinclusivo.

Desde (1-q) está en el denominador, entonces (1 - q)≠ 0, por lo tanto q no es igual a 1.

Nota: si q=1, entonces la progresión sería una serie de números que se repetirían infinitamente.

Suma de progresión geométrica, ejemplos:a 1 = 2, q= -2. Calcule S5.

Solución:S 5 = 22 - cálculo mediante la fórmula.

• Importe si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Ejemplo:a 1 = 2 , q= 0,5. Encuentra la cantidad.

Solución:Talla = 2 · = 4

Talla = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Algunas propiedades:

• Propiedad característica. Si la siguiente condición funciona para cualquierz, entonces la serie numérica dada es una progresión geométrica:

una z 2 = una z -1 · az+1

• Además, el cuadrado de cualquier número en una progresión geométrica se encuentra sumando los cuadrados de otros dos números cualesquiera en una serie dada, si están equidistantes de este elemento.

una z 2 = una z - t 2 + una z + t 2 , Dóndet- la distancia entre estos números.

• Elementosdifieren en quna vez.
• Los logaritmos de los elementos de una progresión también forman una progresión, pero aritmética, es decir, cada uno de ellos es mayor que el anterior en un número determinado.

Ejemplos de algunos problemas clásicos.

Para comprender mejor qué es una progresión geométrica, pueden ayudar los ejemplos con soluciones para la clase 9.

• Condiciones:a 1 = 3, a 3 = 48. Encuentraq.

Solución: cada elemento subsiguiente es mayor que el anterior enq una vez.Es necesario expresar unos elementos en términos de otros mediante un denominador.

Por eso,a 3 = q 2 · a 1

Al sustituirq= 4

• Condiciones:a 2 = 6, a 3 = 12. Calcular S 6.

Solución:Para hacer esto, simplemente encuentre q, el primer elemento, y sustitúyalo en la fórmula.

a 3 = q· a 2 , por eso,q= 2

un 2 = q · un 1 ,Es por eso un 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Encuentra el cuarto elemento de la progresión.

Solución: para ello basta con expresar el cuarto elemento por el primero y por el denominador.

un 4 = q 3· un 1 = -80

Ejemplo de aplicación:

• Un cliente del banco hizo un depósito por valor de 10.000 rublos, según las condiciones del cual cada año al cliente se le añadirá el 6% del importe principal. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 4 años?

Solución: la cantidad inicial es de 10 mil rublos. Esto significa que un año después de la inversión la cuenta tendrá un monto igual a 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

En consecuencia, el importe en la cuenta después de otro año se expresará de la siguiente manera:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Es decir, cada año el monto aumenta 1,06 veces. Esto significa que para encontrar la cantidad de fondos en la cuenta después de 4 años, basta con encontrar el cuarto elemento de la progresión, que viene dado por el primer elemento igual a 10 mil y el denominador igual a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Ejemplos de problemas que implican calcular sumas:

La progresión geométrica se utiliza en varios problemas. Un ejemplo para encontrar la suma se puede dar de la siguiente manera:

a 1 = 4, q= 2, calcularT 5.

Solución: se conocen todos los datos necesarios para el cálculo, solo hay que sustituirlos en la fórmula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Calcula la suma de los primeros seis elementos.

Solución:

En geom. progresión, cada elemento siguiente es q veces mayor que el anterior, es decir, para calcular la suma necesitas conocer el elementoa 1 y denominadorq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Del mismo modo, es necesario encontrara 1 , sabiendoa 2 Yq.

a 1 · q = a 2

un 1 =2

S 6 = 728.

La progresión geométrica, junto con la progresión aritmética, es una serie numérica importante que se estudia en el curso de álgebra escolar en el noveno grado. En este artículo veremos el denominador de una progresión geométrica y cómo su valor afecta sus propiedades.

Definición de progresión geométrica

Primero, demos la definición de esta serie numérica. Una progresión geométrica es una serie de números racionales que se forma multiplicando secuencialmente su primer elemento por un número constante llamado denominador.

Por ejemplo, los números de la serie 3, 6, 12, 24,... son una progresión geométrica, porque si multiplicas 3 (el primer elemento) por 2, obtienes 6. Si multiplicas 6 por 2, obtienes 12, y así sucesivamente.

Los miembros de la secuencia considerada generalmente se indican con el símbolo ai, donde i es un número entero que indica el número del elemento de la serie.

La definición anterior de progresión se puede escribir en lenguaje matemático de la siguiente manera: an = bn-1 * a1, donde b es el denominador. Es fácil comprobar esta fórmula: si n = 1, entonces b1-1 = 1, y obtenemos a1 = a1. Si n = 2, entonces an = b * a1, y llegamos nuevamente a la definición de la serie de números en cuestión. Se puede continuar con un razonamiento similar para valores grandes de n.

Denominador de progresión geométrica

El número b determina completamente qué carácter tendrá toda la serie numérica. El denominador b puede ser positivo, negativo o mayor o menor que uno. Todas las opciones anteriores conducen a diferentes secuencias:

• b > 1. Hay una serie creciente de números racionales. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, ... Si el elemento a1 es negativo, entonces toda la secuencia aumentará solo en valor absoluto, pero disminuirá según el signo de los números.
• b = 1. A menudo, este caso no se llama progresión, ya que existe una serie ordinaria de números racionales idénticos. Por ejemplo, -4, -4, -4.

Fórmula para la cantidad

Antes de pasar a considerar problemas específicos utilizando el denominador del tipo de progresión considerado, conviene dar una fórmula importante para la suma de sus primeros n elementos. La fórmula es así: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Puedes obtener esta expresión tú mismo si consideras la secuencia recursiva de términos de la progresión. Tenga en cuenta también que en la fórmula anterior basta con conocer sólo el primer elemento y el denominador para encontrar la suma de un número arbitrario de términos.

Secuencia infinitamente decreciente

Más arriba se dio una explicación de qué es. Ahora, conociendo la fórmula de Sn, apliquémosla a esta serie numérica. Dado que cualquier número cuyo módulo no exceda 1 tiende a cero cuando se eleva a potencias grandes, es decir, b∞ => 0 si -1

Dado que la diferencia (1 - b) siempre será positiva, independientemente del valor del denominador, el signo de la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente S∞ está determinado únicamente por el signo de su primer elemento a1.

Ahora veamos varios problemas donde mostraremos cómo aplicar los conocimientos adquiridos en números específicos.

Problema número 1. Cálculo de elementos desconocidos de progresión y suma.

Dada una progresión geométrica, el denominador de la progresión es 2 y su primer elemento es 3. ¿A qué serán iguales sus términos séptimo y décimo y cuál es la suma de sus siete elementos iniciales?

La condición del problema es bastante simple e implica el uso directo de las fórmulas anteriores. Entonces, para calcular el elemento número n, usamos la expresión an = bn-1 * a1. Para el séptimo elemento tenemos: a7 = b6 * a1, sustituyendo los datos conocidos, obtenemos: a7 = 26 * 3 = 192. Hacemos lo mismo para el décimo término: a10 = 29 * 3 = 1536.

Usemos la conocida fórmula para la suma y determinemos este valor para los primeros 7 elementos de la serie. Tenemos: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problema número 2. Determinar la suma de elementos arbitrarios de una progresión

Sea -2 igual al denominador de la progresión geométrica bn-1 * 4, donde n es un número entero. Es necesario determinar la suma del elemento 5 al 10 de esta serie, inclusive.

El problema planteado no se puede resolver directamente utilizando fórmulas conocidas. Se puede resolver mediante 2 métodos diferentes. Para completar la presentación del tema, presentamos ambos.

Método 1. La idea es simple: necesitas calcular las dos sumas correspondientes de los primeros términos y luego restar la otra de uno. Calculamos la cantidad menor: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ahora calculamos la suma mayor: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tenga en cuenta que en la última expresión solo se sumaron 4 términos, ya que el quinto ya está incluido en la cantidad que debe calcularse según las condiciones del problema. Finalmente tomamos la diferencia: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Método 2. Antes de sustituir números y contar, puedes obtener una fórmula para la suma entre los términos myn de la serie en cuestión. Hacemos exactamente lo mismo que en el método 1, solo que primero trabajamos con la representación simbólica de la cantidad. Tenemos: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puedes sustituir números conocidos en la expresión resultante y calcular el resultado final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problema No. 3. ¿Cuál es el denominador?

Sea a1 = 2, encuentre el denominador de la progresión geométrica, siempre que su suma infinita sea 3, y se sepa que se trata de una serie de números decrecientes.

Según las condiciones del problema, no es difícil adivinar qué fórmula se debe utilizar para resolverlo. Por supuesto, para la suma de la progresión es infinitamente decreciente. Tenemos: S∞ = a1 / (1 - b). De donde expresamos el denominador: b = 1 - a1 / S∞. Queda por sustituir los valores conocidos y obtener el número requerido: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 o -0,333(3). Podemos comprobar cualitativamente este resultado si recordamos que para este tipo de sucesiones el módulo b no debe ir más allá de 1. Como se puede observar, |-1 / 3|

Tarea número 4. Restaurar una serie de números

Sean dados 2 elementos de una serie numérica, por ejemplo, el 5º es igual a 30 y el 10º es igual a 60. Es necesario reconstruir toda la serie a partir de estos datos, sabiendo que satisface las propiedades de una progresión geométrica.

Para resolver el problema, primero debes escribir la expresión correspondiente a cada término conocido. Tenemos: a5 = b4 * a1 y a10 = b9 * a1. Ahora dividimos la segunda expresión por la primera, obtenemos: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. A partir de aquí determinamos el denominador sacando la raíz quinta de la razón de los términos conocidos del enunciado del problema, b = 1,148698. Sustituimos el número resultante en una de las expresiones para el elemento conocido, obtenemos: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Así, encontramos el denominador de la progresión bn y la progresión geométrica bn-1 * 17,2304966 = an, donde b = 1,148698.

¿Dónde se utilizan las progresiones geométricas?

Si no existiera una aplicación práctica de esta serie numérica, su estudio quedaría reducido a un interés puramente teórico. Pero tal aplicación existe.

A continuación se muestran los 3 ejemplos más famosos:

• La paradoja de Zenón, en la que el ágil Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga, se resuelve utilizando el concepto de una secuencia de números infinitamente decreciente.
• Si coloca granos de trigo en cada cuadrado del tablero de ajedrez de modo que en el primer cuadrado coloque 1 grano, en el segundo - 2, en el tercero - 3, y así sucesivamente, para llenar todos los cuadrados del tablero necesitará 18446744073709551615 granos!
• En el juego "Torre de Hanoi", para mover discos de una varilla a otra, es necesario realizar 2n - 1 operaciones, es decir, su número crece exponencialmente con el número n de discos utilizados.

Las matemáticas son lo quela gente controla la naturaleza y a sí mismos.

El matemático y académico soviético A.N. Kolmogórov

Progresión geométrica.

Además de los problemas sobre progresiones aritméticas, los problemas relacionados con el concepto de progresión geométrica también son habituales en los exámenes de acceso a matemáticas. Para resolver con éxito este tipo de problemas, es necesario conocer las propiedades de las progresiones geométricas y tener buenas habilidades para utilizarlas.

Este artículo está dedicado a la presentación de las propiedades básicas de la progresión geométrica. Aquí también se proporcionan ejemplos de resolución de problemas típicos., tomado de las tareas de los exámenes de ingreso en matemáticas.

Primero observemos las propiedades básicas de la progresión geométrica y recordemos las fórmulas y declaraciones más importantes., relacionado con este concepto.

Definición. Una secuencia numérica se llama progresión geométrica si cada número, comenzando por el segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. El número se llama denominador de una progresión geométrica.

Para progresión geométricalas formulas son validas

, (1)

Dónde . La fórmula (1) se denomina fórmula del término general de una progresión geométrica, y la fórmula (2) representa la propiedad principal de una progresión geométrica: cada término de la progresión coincide con la media geométrica de sus términos vecinos y.

Nota, que es precisamente por esta propiedad que la progresión en cuestión se llama “geométrica”.

Las fórmulas anteriores (1) y (2) se generalizan de la siguiente manera:

, (3)

Para calcular la cantidad primero miembros de una progresión geométricase aplica la fórmula

Si denotamos , entonces

Dónde . Dado que , la fórmula (6) es una generalización de la fórmula (5).

En el caso cuando y progresión geométricaes infinitamente decreciente. Para calcular la cantidadde todos los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente, se utiliza la fórmula

. (7)

Por ejemplo , usando la fórmula (7) podemos mostrar, Qué

Dónde . Estas igualdades se obtienen a partir de la fórmula (7) bajo la condición de que , (primera igualdad) y , (segunda igualdad).

Teorema. Si entonces

Prueba. Si entonces

El teorema ha sido demostrado.

Pasemos a considerar ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "Progresión geométrica".

Ejemplo 1. Dado: , y . Encontrar .

Solución. Si aplicamos la fórmula (5), entonces

Respuesta: .

Ejemplo 2. Déjalo ser. Encontrar .

Solución. Desde y , usamos las fórmulas (5), (6) y obtenemos un sistema de ecuaciones

Si la segunda ecuación del sistema (9) se divide por la primera, entonces o . De esto se desprende que . Consideremos dos casos.

1. Si, entonces de la primera ecuación del sistema (9) tenemos.

2. Si, entonces.

Ejemplo 3. Deja , y . Encontrar .

Solución. De la fórmula (2) se deduce que o . Desde entonces o .

Por condición. Sin embargo, por lo tanto. Desde y entonces aquí tenemos un sistema de ecuaciones

Si la segunda ecuación del sistema se divide por la primera, entonces o .

Desde entonces, la ecuación tiene una única raíz adecuada. En este caso, se desprende de la primera ecuación del sistema.

Teniendo en cuenta la fórmula (7), obtenemos.

Respuesta: .

Ejemplo 4. Dado: y . Encontrar .

Solución. Desde entonces.

Desde entonces o

Según la fórmula (2) tenemos. En este sentido, de la igualdad (10) obtenemos o .

Sin embargo, por condición, por tanto.

Ejemplo 5. Se sabe que . Encontrar .

Solución. Según el teorema, tenemos dos igualdades.

Desde entonces o . Porque entonces .

Respuesta: .

Ejemplo 6. Dado: y . Encontrar .

Solución. Teniendo en cuenta la fórmula (5), obtenemos

Desde entonces. Desde, y, entonces.

Ejemplo 7. Déjalo ser. Encontrar .

Solución. Según la fórmula (1) podemos escribir

Por lo tanto, tenemos o . Se sabe que y , por lo tanto y .

Respuesta: .

Ejemplo 8. Encuentra el denominador de una progresión geométrica infinita decreciente si

Y .

Solución. De la fórmula (7) se deduce Y . De aquí y de las condiciones del problema obtenemos un sistema de ecuaciones

Si la primera ecuación del sistema es al cuadrado, y luego dividir la ecuación resultante por la segunda ecuación, entonces obtenemos

O .

Respuesta: .

Ejemplo 9. Encuentra todos los valores para los cuales la secuencia , , es una progresión geométrica.

Solución. Deja , y . Según la fórmula (2), que define la propiedad principal de una progresión geométrica, podemos escribir o .

De aquí obtenemos la ecuación cuadrática., cuyas raíces son Y .

Comprobemos: si, entonces y ;

si , entonces y . En el primer caso tenemos

y , y en el segundo – y .

Respuesta: , .Ejemplo 10.

, (11)

Resuelve la ecuación

dónde y .

De la fórmula (7) se deduce, Qué Solución. El lado izquierdo de la ecuación (11) es la suma de una progresión geométrica infinita decreciente, en la que y , sujeto a: y .. En este sentido, la ecuación (11) toma la forma o . raíz adecuada

Respuesta: .

la ecuación cuadrática es Ejemplo 11. PAGsecuencia de números positivos forma una progresión aritmética , A- progresión geométrica

Solución., ¿qué tiene que ver con ? Encontrar . Porque secuencia aritmética , Eso(la propiedad principal de la progresión aritmética). Porque el , entonces o . Esto implica ,que la progresión geométrica tiene la forma. Según la fórmula (2)

, luego lo anotamos . Desde y entonces. En este caso, la expresión toma la forma o . Por condición,entonces de la ecuación. Obtenemos una solución única al problema bajo consideración.

Respuesta: .

, es decir. . Ejemplo 12.

. (12)

Solución. Calcular suma

Multipliquemos ambos lados de la igualdad (12) por 5 y obtengamos secuencia aritmética

Si restamos (12) de la expresión resultante

o .

Respuesta: .

Los ejemplos de resolución de problemas que se ofrecen aquí serán útiles para los solicitantes cuando se preparen para los exámenes de ingreso. Para un estudio más profundo de los métodos de resolución de problemas., relacionado con la progresión geométrica, Puede utilizar tutoriales de la lista de literatura recomendada.

1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Skanavi. – M.: Paz y Educación, 2013. – 608 p.

2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales del plan de estudios escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curso completo de matemáticas elementales en problemas y ejercicios. Libro 2: Secuencias numéricas y progresiones. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

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