Značenje sinusa i kosinusa oštrog ugla. Sinus, kosinus, tangent: šta je to? Kako pronaći sinus, kosinus i tangent

Lekcija na temu "Sinus, kosinus i tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta"

Ciljevi lekcije:

edukativni - uvesti pojam sinusa, kosinusa, tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu, istražiti zavisnosti i odnose između ovih veličina;

razvijanje - formiranje pojma sinusa, kosinusa, tangenta kao funkcije ugla, domena definisanja trigonometrijskih funkcija, razvoj logičkog mišljenja, razvoj pravilnog matematičkog govora;

vaspitni – razvijanje vještina samostalnog rada, kulture ponašanja, tačnosti u vođenju evidencije.

Napredak lekcije:

1. Organizacioni momenat

„Obrazovanje nije broj oduzetih lekcija, već broj shvaćenih. Dakle, ako želite ići naprijed, požurite polako i budite oprezni."

2. Motivacija časa.

Jedan mudrac je rekao: „Najviša manifestacija duha je um. Najviša manifestacija razuma je geometrija. Geometrijska ćelija je trokut. Neiscrpan je kao Univerzum. Krug je duša geometrije. Upoznajte krug i ne samo da ćete upoznati dušu geometrije, već ćete uzdići svoju dušu.”

Pokušat ćemo zajedno s vama malo istražiti. Hajde da podijelimo vaše ideje koje vam padaju na pamet i ne bojte se pogriješiti, svaka misao može nam dati novi smjer traženja. Možda se nekome naša postignuća neće činiti sjajna, ali to će biti naša vlastita postignuća!

3. Ažuriranje osnovnih znanja.

Koji uglovi mogu postojati?

Šta su trouglovi?

Koji su glavni elementi koji definiraju trokut?

Koje vrste trouglova postoje u zavisnosti od stranica?

Koje vrste trouglova postoje u zavisnosti od uglova?

Šta je noga?

Šta je hipotenuza?

Kako se zovu stranice pravouglog trougla?

Koje odnose između stranica i uglova ovog trougla znate?

Zašto trebate znati odnose između stranica i uglova?

Koji problemi u životu mogu dovesti do potrebe za izračunavanjem nepoznatih strana u trouglu?

Izraz “hipotenuza” dolazi od grčke riječi “hyponeinouse”, što znači “natezanje preko nečega”, “skupljanje”. Riječ potiče od slike starogrčkih harfi, na kojima su žice nategnute na krajevima dva međusobno okomita stalka. Izraz "cathetus" dolazi od grčke riječi "kathetos", što znači početak "visice", "okomice".

Euklid je rekao: "Noge su stranice koje zatvaraju pravi ugao."

U staroj Grčkoj je već bila poznata metoda za konstruisanje pravouglog trougla na tlu. Da bi to učinili, koristili su uže na kojem je bilo vezano 13 čvorova, na istoj udaljenosti jedan od drugog. Tokom izgradnje piramida u Egiptu, na ovaj način su napravljeni pravougli trouglovi. To je vjerovatno razlog zašto je pravougli trokut sa stranicama 3,4,5 nazvan egipatskim trouglom.

4. Proučavanje novog gradiva.

U davna vremena ljudi su posmatrali zvezde i na osnovu ovih zapažanja vodili kalendar, računali datume setve i vreme rečnih poplava; brodovi na moru i karavani na kopnu vodili su svoje putovanje po zvijezdama. Sve je to dovelo do potrebe da naučimo kako izračunati stranice u trouglu, čija su dva vrha na tlu, a treći je predstavljen tačkom na zvjezdanom nebu. Na osnovu te potrebe nastala je nauka trigonometrija - nauka koja proučava veze između stranica trougla.

Mislite li da su odnosi koje već poznajemo dovoljni za rješavanje takvih problema?

Svrha današnje lekcije je da se istraže nove veze i zavisnosti, da se izvedu odnosi, pomoću kojih ćete u narednim časovima geometrije moći da rešavate ovakve probleme.

Osjetimo se u ulozi naučnika i, slijedeći antičke genije Talesa, Euklida, Pitagore, koračamo putem traganja za istinom.

Za to nam je potrebna teorijska osnova.

Označite ugao A i krak BC crvenom bojom.

Označite nogu AC zelenom bojom.

Izračunajmo koji je dio suprotne strane za oštar ugao A u odnosu na njegovu hipotenuzu, sastavljamo omjer suprotne strane prema hipotenuzi:

Ovaj omjer ima posebno ime - tako da svaka osoba u svakoj tački na planeti razumije da je riječ o broju koji predstavlja omjer suprotne strane oštrog ugla prema hipotenuzi. Ova riječ je sinusna. Zapišite to. Pošto riječ sinus bez naziva ugla gubi svako značenje, matematička notacija je sljedeća:

Sada sastavite omjer susjednog kraka i hipotenuze za oštar ugao A:

Ovaj omjer se naziva kosinus. Njegova matematička notacija:

Razmotrimo drugi omjer za oštar ugao A: omjer suprotne strane prema susjednoj strani:

Ovaj omjer se naziva tangenta. Njegova matematička notacija:

5. Konsolidacija novog materijala.

Objedinimo naša posredna otkrića.

Sinus je...

kosinus je...

Tangenta je...

Usmeno riješiti br. 88, 889, 892 (rad u parovima).

Koristeći stečeno znanje za rješavanje praktičnog problema:

“Sa tornja svjetionika, visokog 70 m, vidljiv je brod pod uglom od 3° prema horizontu. Kako je

udaljenost od svjetionika do broda?

Problem se rješava frontalno. U toku diskusije pravimo crtež i potrebne beleške na tabli i u sveskama.

Prilikom rješavanja problema koriste se Bradisove tabele.

Razmotrite rješenje zadatka str.

Riješi br. 902(1).

6. Vježba za oči.

Ne okrećući glavu, pogledajte oko zida učionice oko perimetra u smjeru kazaljke na satu, tablu oko perimetra u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, trougao prikazan na postolju u smjeru kazaljke na satu i jednak trokut u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Okrenite glavu ulijevo i pogledajte liniju horizonta, a sada i vrh nosa. Zatvorite oči, izbrojite do 5, otvorite oči i...

Stavićemo dlanove na oči,
Raširimo naše jake noge.
Okretanje udesno
Pogledajmo okolo veličanstveno.
I ti trebaš ići lijevo
Pogledaj ispod dlanova.
I - desno! I još nešto
Preko levog ramena!
Sada nastavimo sa radom.

7. Samostalni rad studenata.

Reši br.

8. Sažetak lekcije. Refleksija. D/z.

Koje ste nove stvari naučili? u razredu:

da li si razmatrao...

analizirao si...

primili ste...

zaključili ste...

proširili ste svoj vokabular sljedećim terminima...

Svjetska nauka je započela geometrijom. Osoba se ne može istinski kulturno i duhovno razvijati ako nije učila geometriju u školi. Geometrija je nastala ne samo iz praktičnih, već i iz duhovnih potreba čovjeka.

Ovako je poetski objasnila svoju ljubav prema geometriji

Volim geometriju...

Predajem geometriju jer je volim

Potrebna nam je geometrija, bez nje ne možemo nikuda.

Sinus, kosinus, obim - ovdje je sve važno,

Ovdje je sve potrebno

Samo treba da naučite i razumete sve veoma jasno,

Rešite zadatke i testove na vreme.

Mislim da zaslužuješ više od ovoga. Evo mog ključa za trigonometriju:

• Nacrtajte kupolu, zid i plafon
• Trigonometrijske funkcije nisu ništa drugo do procenti ova tri oblika.

Metafora za sinus i kosinus: kupola

Umjesto da samo gledate same trokute, zamislite ih u akciji pronalaženjem konkretnog primjera iz stvarnog života.

Zamislite da ste u sredini kupole i želite da okačite platno za projektor. Uperite prst u kupolu pod određenim uglom „x“, a ekran bi trebao biti okačen sa ove tačke.

Ugao na koji pokazujete određuje:

• sinus(x) = sin(x) = visina ekrana (od poda do tačke montaže kupole)
• kosinus(x) = cos(x) = udaljenost od vas do ekrana (po spratu)
• hipotenuza, udaljenost od vas do vrha ekrana, uvijek ista, jednaka polumjeru kupole

Da li želite da ekran bude što veći? Okačite ga direktno iznad sebe.

Da li želite da ekran visi što dalje od vas? Objesite ga ravno okomito. Ekran će imati nultu visinu u ovoj poziciji i visiće najdalje, kao što ste tražili.

Visina i udaljenost od ekrana su obrnuto proporcionalni: što je ekran bliže, to je njegova visina veća.

Sinus i kosinus su procenti

Niko mi tokom godina studija, nažalost, nije objasnio da su trigonometrijske funkcije sinus i kosinus ništa više od postotaka. Njihove vrijednosti se kreću od +100% do 0 do -100%, ili od pozitivnog maksimuma do nule do negativnog maksimuma.

Recimo da sam platio porez od 14 rubalja. Ne znaš koliko je to. Ali ako kažete da sam platio 95% poreza, shvatićete da su me jednostavno otjerali.

Apsolutna visina ne znači ništa. Ali ako je vrijednost sinusa 0,95, onda razumijem da TV visi gotovo na vrhu vaše kupole. Vrlo brzo će dostići svoju maksimalnu visinu u centru kupole, a zatim će ponovo početi da opada.

Kako možemo izračunati ovaj procenat? Vrlo je jednostavno: podijelite trenutnu visinu ekrana sa maksimalno mogućim (radijus kupole, koji se naziva i hipotenuza).

Zato rečeno nam je da je "kosinus = suprotna strana / hipotenuza." Sve je u interesovanju! Najbolje je definirati sinus kao “postotak trenutne visine od maksimalno mogućeg”. (Sinus postaje negativan ako vaš ugao pokazuje „pod zemljom“. Kosinus postaje negativan ako je ugao usmjeren prema tački kupole iza vas.)

Pojednostavimo proračune pretpostavkom da smo u centru jedinične kružnice (radijus = 1). Možemo preskočiti podjelu i samo uzeti sinus jednak visini.

Svaki krug je u suštini jedan krug, uvećan ili smanjen na željenu veličinu. Stoga odredite jedinične krugove i primijenite rezultate na vašu specifičnu veličinu kruga.

Eksperimentirajte: uzmite bilo koji ugao i vidite koji postotak visine i širine prikazuje:

Grafikon rasta vrijednosti sinusa nije samo ravna linija. Prvih 45 stepeni pokrivaju 70% visine, ali poslednjih 10 stepeni (od 80° do 90°) pokrivaju samo 2%.

Tako će vam biti jasnije: ako hodate u krugu, na 0° se dižete gotovo okomito, ali kako se približavate vrhu kupole, visina se sve manje mijenja.

Tangenta i sekansa. Zid

Jednog dana komšija je sagradio zid jedno pored drugog do vaše kupole. Plakao tvoj pogled sa prozora i povoljna cijena za preprodaju!

Ali da li je u ovoj situaciji moguće nekako pobijediti?

Naravno da. Šta ako okačimo filmsko platno pravo na susjedov zid? Ciljate ugao (x) i dobijete:

• tan(x) = tan(x) = visina ekrana na zidu
• udaljenost od vas do zida: 1 (ovo je radijus vaše kupole, zid se nigdje ne pomiče od vas, zar ne?)
• secant(x) = sec(x) = "dužina merdevina" od vas koji stojite u centru kupole do vrha visećeg ekrana

Hajde da razjasnimo nekoliko stvari u vezi sa tangentom ili visinom ekrana.

• počinje od 0 i može ići beskonačno visoko. Možete rastegnuti ekran sve više i više na zidu kako biste stvorili beskonačno platno za gledanje vašeg omiljenog filma! (Za tako ogroman, naravno, morat ćete potrošiti mnogo novca).
• tangenta je samo uvećana verzija sinusa! I dok se povećanje sinusa usporava kako se krećete prema vrhu kupole, tangenta nastavlja rasti!

Sekansu takođe ima čime da se pohvali:

• Sesija počinje od 1 (merdevine su na podu, od vas do zida) i počinje da se diže odatle
• Sekans je uvijek duži od tangente. Kose merdevine koje koristite za kačenje ekrana trebalo bi da budu duže od samog ekrana, zar ne? (Kod nerealnih veličina, kada je ekran jaaako dugačak i merdevine treba da budu postavljene skoro okomito, njihove veličine su skoro iste. Ali čak i tada će sekansa biti malo duža).

Zapamtite, vrijednosti jesu posto. Ako odlučite da okačite ekran pod uglom od 50 stepeni, tan(50)=1,19. Vaš ekran je 19% veći od udaljenosti do zida (radijus kupole).

(Unesite x=0 i provjerite svoju intuiciju - tan(0) = 0 i sec(0) = 1.)

Kotangens i kosekans. Plafon

Nevjerovatno, vaš komšija je sada odlučio da izgradi krov nad vašom kupolom. (Šta mu je? Očigledno ne želi da ga špijuniraš dok se gol šeta po dvorištu...)

Pa, vrijeme je da napravite izlaz na krov i razgovarate sa komšijom. Vi birate ugao nagiba i započinjete gradnju:

• okomito rastojanje između krovnog otvora i poda je uvijek 1 (polumjer kupole)
• kotangens(x) = cot(x) = rastojanje između vrha kupole i izlazne tačke
• kosekans(x) = csc(x) = dužina vašeg puta do krova

Tangenta i sekansa opisuju zid, a COtangenta i COsecant opisuju plafon.

Naši intuitivni zaključci ovoga puta slični su prethodnim:

• Ako uzmete ugao jednak 0°, vaš izlazak na krov će trajati zauvijek, jer nikada neće doći do stropa. Problem.
• Najkraće "merdevine" do krova će se dobiti ako ih izgradite pod uglom od 90 stepeni u odnosu na pod. Kotangens će biti jednak 0 (uopće se ne krećemo duž krova, izlazimo striktno okomito), a kosekans će biti jednak 1 ("dužina ljestvi" će biti minimalna).

Vizualizirajte veze

Ako su sva tri slučaja nacrtana u kombinaciji kupola-zid-plafon, rezultat će biti sljedeći:

Pa, to je i dalje isti trokut, uvećan do zida i stropa. Imamo vertikalne stranice (sinus, tangenta), horizontalne stranice (kosinus, kotangens) i “hipotenuze” (sekans, kosekans). (Po strelicama možete vidjeti gdje svaki element doseže. Kosekans je ukupna udaljenost od vas do krova).

Malo magije. Svi trouglovi dijele iste jednakosti:

Iz Pitagorine teoreme (a 2 + b 2 = c 2) vidimo kako su stranice svakog trougla povezane. Osim toga, omjer "visine i širine" također bi trebao biti isti za sve trouglove. (Jednostavno se pomaknite s najvećeg trougla na manji. Da, veličina se promijenila, ali proporcije stranica će ostati iste).

Znajući koja je strana u svakom trokutu jednaka 1 (poluprečnik kupole), lako možemo izračunati da je “sin/cos = tan/1”.

Uvek sam pokušavao da zapamtim ove činjenice kroz jednostavnu vizualizaciju. Na slici jasno vidite ove zavisnosti i razumete odakle dolaze. Ova tehnika je mnogo bolja od pamćenja suhih formula.

Ne zaboravite na druge uglove

Psst... Nemojte se zaglaviti na jednom grafikonu, misleći da je tangenta uvijek manja od 1. Ako povećate ugao, možete doći do stropa, a da ne stignete do zida:

Pitagorine veze uvijek rade, ali relativne veličine mogu varirati.

(Možda ste primijetili da su omjeri sinusa i kosinusa uvijek najmanji jer se nalaze unutar kupole).

Da rezimiramo: šta treba da zapamtimo?

Za većinu nas, rekao bih da će ovo biti dovoljno:

• trigonometrija objašnjava anatomiju matematičkih objekata kao što su krugovi i intervali koji se ponavljaju
• Analogija kupola/zid/krov pokazuje odnos između različitih trigonometrijskih funkcija
• Trigonometrijske funkcije rezultiraju u procentima, koje primjenjujemo na našu skriptu.

Ne morate pamtiti formule kao što su 1 2 + dječji krevetić 2 = csc 2 . Pogodni su samo za glupe testove u kojima se znanje o činjenici predstavlja kao njeno razumijevanje. Odvojite minutu da nacrtate polukrug u obliku kupole, zida i krova, označite elemente i sve formule će vam doći na papiru.

Primjena: Inverzne funkcije

Bilo koja trigonometrijska funkcija uzima kut kao ulazni parametar i vraća rezultat kao postotak. sin(30) = 0,5. To znači da ugao od 30 stepeni zauzima 50% maksimalne visine.

Inverzna trigonometrijska funkcija se zapisuje kao sin -1 ili arcsin. Asin se takođe često piše na različitim programskim jezicima.

Ako je naša visina 25% visine kupole, koliki je naš ugao?

U našoj tabeli proporcija možete pronaći omjer gdje je sekans podijeljen sa 1. Na primjer, sekans sa 1 (hipotenuza prema horizontali) bit će jednak 1 podijeljen s kosinusom:

Recimo da je naš sekans 3,5, tj. 350% poluprečnika jedinične kružnice. Kojem kutu nagiba prema zidu odgovara ova vrijednost?

Dodatak: Neki primjeri

Dosadan zadatak. Zakomplikujmo banalno "pronađi sinus" na "Kolika je visina u postotku od maksimuma (hipotenuze)?"

Prvo, primijetite da je trokut rotiran. Nema ništa loše u tome. Trokut također ima visinu, na slici je označena zelenom bojom.

Čemu je jednaka hipotenuza? Prema Pitagorinoj teoremi, znamo da:

3 2 + 4 2 = hipotenuza 2 25 = hipotenuza 2 5 = hipotenuza

Fino! Sinus je procenat visine od najduže strane trougla, odnosno hipotenuze. U našem primjeru, sinus je 3/5 ili 0,60.

Naravno, možemo ići na nekoliko načina. Sada znamo da je sinus 0,60, možemo jednostavno pronaći arksinus:

Asin(0,6)=36,9

Evo još jednog pristupa. Imajte na umu da je trokut "okrenut prema zidu", tako da možemo koristiti tangentu umjesto sinusa. Visina je 3, udaljenost od zida je 4, tako da je tangenta ¾ ili 75%. Možemo koristiti arktangent da se vratimo od procentualne vrijednosti natrag do ugla:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Primjer: Hoćete li doplivati ​​do obale?

Nalazite se u čamcu i imate dovoljno goriva da putujete 2 km. Sada ste 0,25 km od obale. Pod kojim maksimalnim uglom prema obali možete doplivati ​​do nje da biste imali dovoljno goriva? Dodatak iskazu problema: imamo samo tabelu arc kosinusnih vrijednosti.

šta imamo? Obala se može predstaviti kao “zid” u našem poznatom trokutu, a “dužina ljestvi” pričvršćenih za zid je najveća moguća udaljenost koju čamcem treba preći do obale (2 km). Pojavljuje se sekanta.

Prvo, morate ići na procente. Imamo 2 / 0,25 = 8, odnosno možemo preplivati ​​udaljenost koja je 8 puta veća od prave udaljenosti do obale (ili do zida).

Postavlja se pitanje: "Šta je sekans od 8?" Ali ne možemo odgovoriti na to, jer imamo samo lučni kosinus.

Koristimo naše prethodno izvedene zavisnosti da povežemo sekantu sa kosinusom: “sec/1 = 1/cos”

Sekans od 8 jednak je kosinusu od ⅛. Ugao čiji je kosinus ⅛ jednak je acos(1/8) = 82,8. A ovo je najveći kut koji možemo priuštiti na brodu s navedenom količinom goriva.

Nije loše, zar ne? Bez analogije kupola-zid-plafon, izgubio bih se u gomili formula i proračuna. Vizualizacija problema uvelike pojednostavljuje traženje rješenja, a zanimljivo je i vidjeti koja će trigonometrijska funkcija u konačnici pomoći.

Za svaki problem razmislite ovako: Da li me zanima kupola (sin/cos), zid (tan/sec) ili plafon (krevetac/csc)?

I trigonometrija će postati mnogo ugodnija. Jednostavne kalkulacije za vas!

Trigonometrija je grana matematičke nauke koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u staroj Grčkoj. Tokom srednjeg vijeka, naučnici sa Bliskog istoka i Indije dali su značajan doprinos razvoju ove nauke.

Ovaj članak je posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama osnovnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Njihovo značenje je objašnjeno i ilustrovano u kontekstu geometrije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija čiji je argument ugao izražene u smislu omjera strana pravokutnog trougla.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus ugla (sin α) je omjer kraka nasuprot ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus ugla (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent ugla (t g α) - omjer suprotne strane prema susjednoj strani.

Kotangens ugla (c t g α) - omjer susjedne i suprotne strane.

Ove definicije su date za oštar ugao pravouglog trougla!

Hajde da damo ilustraciju.

U trouglu ABC sa pravim uglom C, sinus ugla A jednak je odnosu kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju vam da izračunate vrijednosti ovih funkcija iz poznatih dužina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa je od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus uzimaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijela brojevna prava, odnosno, ove funkcije mogu poprimiti bilo koju vrijednost.

Gore date definicije se odnose na oštre uglove. U trigonometriji se uvodi koncept ugla rotacije, čija vrijednost, za razliku od oštrog ugla, nije ograničena na 0 do 90 stepeni. Ugao rotacije u stepenima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.

U tom kontekstu možemo definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla proizvoljne veličine. Zamislimo jediničnu kružnicu sa centrom u početku kartezijanskog koordinatnog sistema.

Početna tačka A sa koordinatama (1, 0) rotira oko centra jedinične kružnice za određeni ugao α i ide do tačke A 1. Definicija je data u smislu koordinata tačke A 1 (x, y).

Sinus (sin) ugla rotacije

Sinus ugla rotacije α je ordinata tačke A 1 (x, y). sin α = y

Kosinus (cos) kuta rotacije

Kosinus ugla rotacije α je apscisa tačke A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) ugla rotacije

Tangens ugla rotacije α je odnos ordinate tačke A 1 (x, y) i njene apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) ugla rotacije

Kotangens ugla rotacije α je odnos apscise tačke A 1 (x, y) i njene ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus su definirani za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Situacija je drugačija sa tangentom i kotangensom. Tangenta je nedefinisana kada tačka nakon rotacije ide u tačku sa nultom apscisom (0, 1) i (0, - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži podjelu nulom. Slična je situacija i sa kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definisan u slučajevima kada ordinata tačke ide na nulu.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus su definirani za sve uglove α.

Tangenta je definirana za sve uglove osim α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve uglove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom rješavanja praktičnih primjera nemojte reći „sinus ugla rotacije α“. Riječi “ugao rotacije” jednostavno su izostavljene, što implicira da je već iz konteksta jasno o čemu se govori.

Brojevi

Šta je sa određivanjem sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne ugla rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj koji je, respektivno, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radian.

Na primjer, sinus broja 10 π jednak je sinusu ugla rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup za određivanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Pogledajmo to izbliza.

Bilo koji pravi broj t tačka na jediničnom krugu je povezana sa centrom u početku pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema. Sinus, kosinus, tangent i kotangens se određuju preko koordinata ove tačke.

Početna tačka na kružnici je tačka A sa koordinatama (1, 0).

Pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara tački do koje će početna tačka ići ako se kreće po kružnici u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođe putanju t.

Sada kada je uspostavljena veza između broja i tačke na kružnici, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (grijeh) od t

Sinus broja t- ordinata tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent broja t- odnos ordinate i apscise tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Najnovije definicije su u skladu i nisu u suprotnosti sa definicijom datom na početku ovog stava. Tačka na krugu koji odgovara broju t, poklapa se sa tačkom do koje ide početna tačka nakon skretanja za ugao t radian.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost ugla α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa ovog ugla. Kao i svi uglovi α osim α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odgovaraju određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore navedeno, je definisan za sve α osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije ugla alfa, ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, možemo govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k, k ∈ Z, odgovaraju tangentnoj vrijednosti. Kotangens je, slično, definiran za sve brojeve osim π · k, k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (ugaoni argument ili numerički argument) imamo posla.

Vratimo se definicijama datim na samom početku i alfa kutu koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stepeni. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa u potpunosti su konzistentne sa geometrijskim definicijama datim omjerima pravokutnog trougla. Hajde da to pokažemo.

Uzmimo jediničnu kružnicu sa centrom u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Rotiramo početnu tačku A (1, 0) za ugao do 90 stepeni i povučemo okomitu na osu apscise iz rezultirajuće tačke A 1 (x, y). U rezultirajućem pravokutnom trokutu ugao A 1 O H jednak je kutu rotacije α, dužina kraka O H jednaka je apscisi tačke A 1 (x, y). Dužina kraka nasuprot ugla jednaka je ordinati tačke A 1 (x, y), a dužina hipotenuze jednaka je jedan, jer je to poluprečnik jedinične kružnice.

U skladu sa definicijom iz geometrije, sinus ugla α jednak je omjeru suprotne strane prema hipotenuzi.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To znači da je određivanje sinusa oštrog ugla u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentno određivanju sinusa ugla rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stepeni.

Slično, korespondencija definicija se može prikazati za kosinus, tangent i kotangens.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Omjer suprotne strane prema hipotenuzi se naziva sinusa oštrog ugla pravougaonog trougla.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta

Zove se omjer susjednog kraka i hipotenuze kosinus oštrog ugla pravougaonog trougla.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta oštrog ugla pravouglog trougla

Omjer suprotne i susjedne strane naziva se tangenta oštrog ugla pravougaonog trougla.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens oštrog ugla pravokutnog trokuta

Zove se omjer susjedne i suprotne strane kotangens oštrog ugla pravougaonog trougla.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus proizvoljnog ugla

Zove se ordinata tačke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara ugao \alpha sinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

\sin \alpha=y

Kosinus proizvoljnog ugla

Apscisa tačke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara ugao \alpha se naziva kosinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta proizvoljnog ugla

Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangenta proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens proizvoljnog ugla

Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Primjer pronalaženja proizvoljnog ugla

Ako je \alpha neki ugao AOM, gdje je M tačka na jediničnom krugu, onda

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na primjer, ako \ugao AOM = -\frac(\pi)(4), tada je: ordinata tačke M jednaka -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je jednaka \frac(\sqrt(2))(2) i stoga

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.

Tabela vrijednosti sinusa kosinusa tangenta kotangensa

Vrijednosti glavnih uglova koji se često javljaju date su u tabeli:

Sinus oštar ugao α pravouglog trougla je omjer suprotno krak do hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: sin α.

Kosinus Oštar ugao α pravokutnog trougla je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Označava se kako slijedi: cos α.

Tangenta oštar ugao α je omjer suprotne i susjedne strane.
Označava se kako slijedi: tg α.

Kotangens oštar ugao α je omjer susjedne i suprotne strane.
Označava se kako slijedi: ctg α.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla zavise samo od veličine ugla.

pravila:

Osnovni trigonometrijski identiteti u pravokutnom trokutu:

(α – oštar ugao nasuprot nozi b i uz nogu a . Side With – hipotenuza. β – drugi oštri ugao).

Kako se akutni ugao povećavasin α itan α povećanje, icos α se smanjuje.

Za bilo koji oštar ugao α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Primjer-objašnjenje:

Neka je pravougli trokut ABC
AB = 6,
BC = 3,
ugao A = 30º.

Hajde da saznamo sinus ugla A i kosinus ugla B.

Rješenje .

1) Prvo, nalazimo vrijednost ugla B. Ovdje je sve jednostavno: pošto je u pravokutnom trokutu zbir oštrih uglova 90º, onda je ugao B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Izračunajmo sin A. Znamo da je sinus jednak omjeru suprotne strane prema hipotenuzi. Za ugao A, suprotna strana je strana BC. dakle:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Sada izračunajmo cos B. Znamo da je kosinus jednak omjeru susjednog kraka i hipotenuze. Za ugao B, susjedni krak je ista stranica BC. To znači da opet trebamo podijeliti BC sa AB - odnosno izvršiti iste radnje kao pri izračunavanju sinusa kuta A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Iz ovoga slijedi da je u pravokutnom trokutu sinus jednog oštrog ugla jednak kosinsu drugog oštrog ugla - i obrnuto. Upravo to znače naše dvije formule:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Uvjerimo se još jednom u ovo:

1) Neka je α = 60º. Zamjenom vrijednosti α u sinusnu formulu, dobijamo:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Neka je α = 30º. Zamjenom vrijednosti α u kosinus formulu, dobijamo:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Za više informacija o trigonometriji pogledajte odjeljak Algebra)