Hookeov zakon napetosti i kompresije. Uzdužne i poprečne deformacije Određivanje relativne uzdužne deformacije

Razmotrimo deformacije koje nastaju prilikom zatezanja i kompresije šipki. Kada se istegne, dužina štapa se povećava, a poprečne dimenzije smanjuju. Kada se kompresuje, naprotiv, dužina šipke se smanjuje, a poprečne dimenzije povećavaju. Na slici 2.7 isprekidana linija prikazuje deformisani pogled na rastegnutu šipku.

ℓ – dužina štapa prije primjene opterećenja;

ℓ 1 – dužina štapa nakon primjene opterećenja;

b – poprečna dimenzija prije primjene opterećenja;

b 1 – poprečna veličina nakon primjene opterećenja.

Apsolutna uzdužna deformacija ∆ℓ = ℓ 1 – ℓ.

Apsolutna poprečna deformacija ∆b = b 1 – b.

Vrijednost relativne linearne deformacije ε može se definirati kao omjer apsolutnog izduženja ∆ℓ prema početnoj dužini grede ℓ

Slično se nalaze i poprečne deformacije

Kada se rastegne, poprečne dimenzije se smanjuju: ε > 0, ε′< 0; при сжатии: ε < 0, ε′ >0. Iskustvo pokazuje da je pri elastičnim deformacijama poprečna deformacija uvijek direktno proporcionalna uzdužnoj.

ε′ = – νε. (2.7)

Koeficijent proporcionalnosti ν se zove Poissonov omjer ili omjer poprečnih deformacija. Predstavlja apsolutnu vrijednost omjera poprečne i uzdužne deformacije pri aksijalna napetost

Ime je dobio po francuskom naučniku koji ga je prvi predložio početkom XIX veka. Poissonov omjer je konstantna vrijednost za materijal unutar granica elastičnih deformacija (tj. deformacija koje nestaju nakon uklanjanja opterećenja). Za razni materijali Poissonov omjer varira unutar 0 ≤ ν ≤ 0,5: za čelik ν = 0,28…0,32; za gumu ν = 0,5; za utikač ν = 0.

Postoji veza između napona i elastične deformacije poznata kao Hookeov zakon:

σ = Eε. (2.9)

Koeficijent proporcionalnosti E između napona i deformacije naziva se normalni modul elastičnosti ili Youngov modul. Dimenzija E je ista kao i napon. Baš kao i ν, E je elastičan materijalna konstanta. Kako više vrijednosti E, što je manje, pod jednakim uvjetima, je uzdužna deformacija. Za čelik E = (2...2,2)10 5 MPa ili E = (2...2,2)10 4 kN/cm 2.

Zamijenivši u formulu (2.9) vrijednost σ prema formuli (2.2) i ε prema formuli (2.5), dobijamo izraz za apsolutnu deformaciju

Proizvod EF se zove krutost drveta na napetost i kompresiju.

Formule (2.9) i (2.10) su različitih oblika zapisi Hookeovog zakona predloženog u sredinom 17. veka veka. Moderna forma snimci ovog fundamentalnog zakona fizike pojavili su se mnogo kasnije - početkom 19. veka.

Formula (2.10) vrijedi samo u onim područjima gdje su sila N i krutost EF konstantne. Za stepenastu šipku i šipku opterećenu s nekoliko sila, izduženja se izračunavaju u presjecima s konstantnim N i F, a rezultati se algebarski sumiraju

Ako se ove količine mijenjaju prema kontinuiranom zakonu, ∆ℓ se izračunava po formuli

U nekim slučajevima, za osiguranje normalan rad strojeva i konstrukcija, dimenzije njihovih dijelova moraju biti odabrane tako da se, pored stanja čvrstoće, osigura i uvjet krutosti

gdje je ∆ℓ – promjena dimenzija dijela;

[∆ℓ] – dozvoljena vrijednost ove promjene.

Naglašavamo da proračun krutosti uvijek nadopunjuje proračun čvrstoće.

2.4. Proračun štapa uzimajući u obzir vlastitu težinu

Najjednostavniji primjer zadatka o rastezanju štapa s parametrima koji variraju po dužini je problem rastezanja prizmatičnog štapa pod utjecajem vlastite težine (slika 2.8a). Uzdužna sila N x u poprečnom presjeku ove grede (na udaljenosti x od njenog donjeg kraja) jednaka je sili gravitacije donjeg dijela grede (slika 2.8, b), tj.

N x = γFx, (2.14)

gdje je γ – zapreminska težina materijal štapa.

Uzdužna sila i naprezanje variraju linearno, dostižući maksimum u ugradnji. Aksijalni pomak proizvoljnog presjeka jednak je izduženju gornjeg dijela grede. Stoga se mora odrediti pomoću formule (2.12), iz koje se vrši integracija trenutna vrijednost x do x = ℓ:

Dobili smo izraz za proizvoljan presek štapa

Kod x = ℓ pomak je najveći, jednak je izduženju štapa

Na slici 2.8, c, d, e prikazani su grafovi N x, σ x i u x

Pomnožite brojilac i nazivnik formule (2.17) sa F i dobijete:

Izraz γFℓ jednak je vlastitoj težini štapa G. Dakle

Formula (2.18) se može odmah dobiti iz (2.10), ako se sjetimo da se rezultanta vlastite težine G mora primijeniti na težište štapa i stoga uzrokuje izduživanje samo gornje polovine štapa (sl. 2.8, a).

Ako su šipke, pored vlastite težine, opterećene i koncentrisanim uzdužnim silama, tada se naponi i deformacije određuju na osnovu principa neovisnosti djelovanja sila odvojeno od koncentrisanih sila i od vlastite težine, nakon čega se rezultati se sabiraju.

Princip nezavisnog delovanja snaga proizlazi iz linearne deformabilnosti elastičnih tijela. Njegova suština leži u činjenici da se bilo koja vrijednost (napon, pomak, deformacija) iz djelovanja grupe sila može dobiti kao zbroj vrijednosti koje se nalaze od svake sile posebno.

Razmotrimo ravnu šipku konstantnog poprečnog presjeka, kruto pričvršćenu na vrhu. Neka štap ima dužinu i bude opterećen vlačnom silom F . Djelovanje ove sile povećava dužinu štapa za određenu količinu Δ (Sl. 9.7, a).

Kada se štap sabije istom silom F dužina štapa će se smanjiti za isti iznos Δ (Sl. 9.7, b).

Magnituda Δ , jednaka razlici između dužina štapa nakon deformacije i prije deformacije, naziva se apsolutna linearna deformacija (izduženje ili skraćivanje) štapa kada je istegnuta ili sabijena.

Apsolutni omjer linearnih deformacija Δ do originalne dužine štapa naziva se relativna linearna deformacija i označava se slovom ε ili ε x ( gdje je indeks x označava smjer deformacije). Kada je štap rastegnut ili komprimiran, količina ε se jednostavno naziva relativna uzdužna deformacija štapa. Određuje se formulom:

Ponovljena istraživanja procesa deformacije istegnute ili stisnute šipke u elastičnom stupnju potvrdila su postojanje prave linije proporcionalna zavisnost između normalnog naprezanja i relativnog uzdužnog naprezanja. Ovaj odnos se naziva Hookeov zakon i ima oblik:

Magnituda E koji se naziva modulom uzdužne elastičnosti ili modulom prve vrste. To je fizička konstanta (konstanta) za svaki tip materijala štapa i karakterizira njegovu krutost. Što je vrijednost veća E , manja će biti uzdužna deformacija štapa. Magnituda E mjereno u istim jedinicama kao napon, odnosno u Pa , MPa , itd. Vrijednosti modula elastičnosti sadržane su u tabelama referentne i obrazovne literature. Na primjer, vrijednost modula uzdužne elastičnosti čelika uzima se jednakom E = 2∙10 5 MPa i drvo

E = 0,8∙10 5 MPa.

Prilikom proračuna šipki na zatezanje ili kompresiju, često postoji potreba da se odredi vrijednost apsolutne uzdužne deformacije ako su poznati veličina uzdužne sile, površina poprečnog presjeka i materijal šipke. Iz formule (9.8) nalazimo: . Zamenimo u ovom izrazu ε njegova vrijednost iz formule (9.9). Kao rezultat dobijamo = . Ako koristimo formulu normalnog stresa , tada dobijamo konačnu formulu za određivanje apsolutne uzdužne deformacije:

Umnožak modula uzdužne elastičnosti i površine poprečnog presjeka štapa naziva se njegovim rigidnost kada se rastegne ili stisne.

Analizirajući formulu (9.10) možemo izvući značajan zaključak: apsolutna uzdužna deformacija štapa pri zatezanju (stiskanju) direktno je proporcionalna proizvodu uzdužne sile i dužine štapa i obrnuto proporcionalna njegovoj krutosti.

Imajte na umu da se formula (9.10) može koristiti u slučaju kada je poprečni presjek štapa i uzdužna sila imaju konstantne vrijednosti po cijeloj dužini. U općem slučaju, kada štap ima stepenasto promjenjivu krutost i po svojoj dužini je opterećen s više sila, potrebno ga je podijeliti na presjeke i odrediti apsolutne deformacije svakog od njih pomoću formule (9.10).

Algebarski zbir apsolutnih deformacija svake sekcije bit će jednak apsolutnoj deformaciji cijelog štapa, odnosno:

Uzdužne deformacije štapa uslijed ravnomjernog djelovanja distribuirano opterećenje duž svoje ose (na primjer, od djelovanja vlastite težine), određena je sljedećom formulom, koju predstavljamo bez dokaza:

U slučaju zatezanja ili kompresije štapa, osim uzdužnih, javljaju se i poprečne, apsolutne i relativne deformacije. Označimo sa b veličina poprečnog presjeka štapa prije deformacije. Kada se štap istegne silom F ova veličina će se smanjiti za Δb , što je apsolutna poprečna deformacija štapa. Naprotiv, ova vrijednost ima negativan predznak pozitivan znak(Sl. 9.8).

Razmotrimo ravnu gredu konstantne dužine poprečnog presjeka (slika 1.5), ugrađenu na jednom kraju i opterećenu na drugom kraju vlačnom silom R. Pod silom R greda je produžena za određenu količinu , koja se naziva totalna (ili apsolutna) elongacija (apsolutna uzdužna deformacija).

Rice. 1.5. Deformacija grede

U bilo kojoj tački grede koja se razmatra postoji identično stanje naprezanja i stoga su linearne deformacije za sve njene tačke iste. Stoga se vrijednost e može definirati kao omjer apsolutnog izduženja prema originalnoj dužini grede, tj.

Šipke napravljene od različitih materijala različito se izdužuju. Za slučajeve kada naprezanja u gredi ne prelaze granicu proporcionalnosti, iskustvom je utvrđen sljedeći odnos:

Gdje N- uzdužna sila u presjeci drvo; F- površina poprečnog presjeka grede; E- koeficijent u zavisnosti od fizička svojstva materijal.

S obzirom da je normalni napon u poprečnom presjeku grede σ = N/F dobijamo ε = σ/E. Odakle σ = εE.

Apsolutno izduženje grede izražava se formulom

Sljedeća formulacija Hookeovog zakona je opštija: relativna uzdužna deformacija je direktno proporcionalna normalnom naprezanju. U ovoj formulaciji, Hookeov zakon se koristi ne samo u proučavanju napetosti i kompresije greda, već iu drugim dijelovima kursa.

Magnituda E nazvan modul elastičnosti prve vrste. Ovo je fizička konstanta materijala koja karakterizira njegovu krutost. Što je veća vrijednost E,što je manja, pod jednakim uslovima, uzdužna deformacija. Modul elastičnosti se izražava u istim jedinicama kao i napon, tj. u paskalima (Pa) (čelik E=2* 10 5 MPa, bakar E= 1 * 10 5 MPa).

Posao EF naziva se krutost poprečnog presjeka grede na napetost i kompresiju.

Osim uzdužne deformacije, kada se na gredu primjenjuje sila pritiska ili istezanja, uočava se i poprečna deformacija. Kada je greda komprimirana, njene poprečne dimenzije se povećavaju, a kada se rastegne, one se smanjuju. Ako je poprečna veličina grede prije primjene tlačnih sila na nju R odrediti IN, i nakon primjene ovih sila B - ∆B, zatim vrijednost ∆Vće ukazati na apsolutnu poprečnu deformaciju grede.

Odnos je relativna poprečna deformacija.

Iskustvo pokazuje da je pri naprezanjima koja ne prelaze granicu elastičnosti, relativna poprečna deformacija direktno proporcionalna relativnoj uzdužnoj deformaciji, ali ima suprotan predznak:

Koeficijent proporcionalnosti q zavisi od materijala drveta. Zove se koeficijent poprečne deformacije (ili Poissonov omjer ) i je omjer relativne poprečne i uzdužne deformacije, uzet prema apsolutna vrijednost, tj. Poissonov omjer zajedno sa modulom elastičnosti E karakterizira elastična svojstva materijala.

Poissonov omjer se određuje eksperimentalno. Za različite materijale ima vrijednosti od nule (za pluto) do vrijednosti blizu 0,50 (za gumu i parafin). Za čelik, Poissonov omjer je 0,25...0,30; za niz drugih metala (liveno gvožđe, cink, bronza, bakar) to

ima vrijednosti od 0,23 do 0,36.

Rice. 1.6. Greda promjenjivog poprečnog presjeka

Određivanje vrijednosti poprečnog presjeka šipke vrši se na osnovu stanja čvrstoće

gdje je [σ] dozvoljeni napon.

Definirajmo uzdužni pomak δ a bodova A osa grede rastegnute silom R( pirinač. 1.6).

Jednaka je apsolutnoj deformaciji dijela grede ad zatvoren između ugradnje i preseka koji je povučen kroz tačku d, one. uzdužna deformacija grede određena je formulom

Ova formula je primjenjiva samo kada su, unutar cijele dužine presjeka, uzdužne sile N i krutost EF poprečni presjeci grede su konstantni. U predmetu koji se razmatra, na sajtu ab uzdužna sila N jednaka je nuli (ne uzimamo u obzir vlastitu težinu grede), a u području bd jednako je R, osim toga, površina poprečnog presjeka drveta u tom području ac razlikuje se od površine poprečnog presjeka na lokaciji cd. Dakle, uzdužna deformacija područja ad treba odrediti kao zbir uzdužnih deformacija triju presjeka ab, bc I CD, za svaku od njih vrijednosti N I EF konstantan cijelom dužinom:

Uzdužne sile na razmatrane presjeke grede

dakle,

Slično, možete odrediti pomake δ bilo koje tačke na osi grede i koristiti njihove vrijednosti za konstruiranje dijagrama uzdužni pokreti (epureδ), tj. grafik koji prikazuje promjenu ovih kretanja duž dužine ose grede.

4.2.3. Uslovi snage. Proračuni krutosti.

Prilikom provjere naprezanja površine poprečnog presjeka F a uzdužne sile su poznate i proračun se sastoji od izračunavanja izračunatih (stvarnih) napona σ u karakterističnim presjecima elemenata. Dobijeni maksimalni napon se zatim upoređuje sa dozvoljenim:

Prilikom odabira sekcija odredite potrebne površine [Ž] poprečni presjeci elementa (na osnovu poznatih uzdužnih sila N i dozvoljeni napon [σ]). Prihvaćene površine presjeka F mora zadovoljiti uslov čvrstoće izražen u sljedeći obrazac:

Prilikom određivanja nosivosti By poznate vrednosti F i dopuštenog naprezanja [σ], izračunavaju se dozvoljene vrijednosti [N] uzdužnih sila:

Na osnovu dobijenih vrijednosti [N], tada se određuju dozvoljene vrijednosti vanjskih opterećenja [ P].

Za ovaj slučaj, uslov čvrstoće ima oblik

Količine standardni koeficijenti sigurnosne granice su utvrđene standardima. Oni zavise od klase konstrukcije (kapitalna, privremena, itd.), njenog predviđenog vijeka trajanja, opterećenja (statičko, ciklično, itd.), moguće heterogenosti u proizvodnji materijala (npr. betona) i vrste deformacija (napon, kompresija, savijanje, itd.) i drugi faktori. U nekim slučajevima potrebno je smanjiti faktor sigurnosti kako bi se smanjila težina konstrukcije, a ponekad i povećati faktor sigurnosti - ako je potrebno, uzeti u obzir trošenje trljajućih dijelova strojeva, koroziju i propadanje konstrukcije. materijal.

Vrijednosti standardnih faktora sigurnosti za različite materijale, konstrukcije i opterećenja u većini slučajeva imaju sljedeće vrijednosti: - 2,5...5 i - 1,5...2,5.

Pod provjerom krutosti elementa konstrukcije u stanju čistog zatezanja-kompresije podrazumijevamo traženje odgovora na pitanje: jesu li vrijednosti karakteristika krutosti elementa (modul elastičnosti materijala) dovoljne? E i površinu poprečnog presjeka F), tako da je maksimum svih vrijednosti pomaka tačaka elemenata uzrokovanih spoljne sile, u max nije premašio neku specificiranu graničnu vrijednost [u]. Vjeruje se da ako je nejednakost u max< [u] конструкция переходит в предельное состояние.

Razmotrimo ravnu gredu konstantnog poprečnog presjeka čija je dužina ugrađena na jednom kraju i opterećena na drugom kraju vlačnom silom P (slika 8.2, a). Pod utjecajem sile P, greda se izdužuje za određeni iznos, što se naziva potpunim ili apsolutnim izduženjem (apsolutna uzdužna deformacija).

U bilo kojoj tački grede koja se razmatra postoji identično stanje naprezanja i, prema tome, linearne deformacije (vidi § 5.1) za sve njene tačke su iste. Stoga se vrijednost može definirati kao omjer apsolutnog izduženja prema početnoj dužini grede I, tj. Linearna deformacija tokom zatezanja ili kompresije greda obično se naziva relativnim izduženjem ili relativnim uzdužnim deformacijom i označava se.

dakle,

Relativna uzdužna deformacija mjeri se u apstraktnim jedinicama. Složimo se da je deformacija elongacije pozitivna (slika 8.2, a), a deformacija kompresije negativna (slika 8.2, b).

Što je veća veličina sile koja rasteže gredu, to je veće, pod jednakim uslovima, izduženje grede; kako veća površina poprečni presjek grede, manji je izduženje grede. Šipke napravljene od različitih materijala različito se izdužuju. Za slučajeve u kojima naponi u gredi ne prelaze granicu proporcionalnosti (videti § 6.1, stav 4), iskustvom je utvrđen sledeći odnos:

Ovdje je N uzdužna sila u poprečnim presjecima grede; - površina poprečnog presjeka grede; E je koeficijent koji ovisi o fizičkim svojstvima materijala.

Uzimajući u obzir da je normalno naprezanje u poprečnom presjeku grede dobijamo

Apsolutno izduženje grede izražava se formulom

odnosno apsolutna uzdužna deformacija je direktno proporcionalna uzdužnoj sili.

Prvi put je formulisan zakon direktne proporcionalnosti sila i deformacija (1660. godine). Formule (10.2)-(13.2) su matematički izrazi Hookeovog zakona za napetost i kompresiju grede.

Sledeća formulacija Hookeovog zakona je opštija (vidi. formule (11.2) i (12.2)]: relativna uzdužna deformacija je direktno proporcionalna normalnom naprezanju. U ovoj formulaciji, Hookeov zakon se koristi ne samo u proučavanju napetosti i kompresije greda, već iu drugim dijelovima kursa.

Količina E uključena u formule (10.2)-(13.2) naziva se modulom elastičnosti prve vrste (skraćeno modulom elastičnosti). Što je veća vrijednost E, to je manja, pod jednakim uvjetima, uzdužna deformacija.

Proizvod ćemo nazvati krutošću poprečnog presjeka grede pod zatezanjem i kompresijom.

Dodatak I prikazuje vrijednosti modula elastičnosti E za različite materijale.

Formula (13.2) se može koristiti za izračunavanje apsolutne uzdužne deformacije presjeka grede dužine samo pod uslovom da je presjek grede unutar ovog presjeka konstantan i da je uzdužna sila N ista u svim poprečnim presjecima.

Osim uzdužne deformacije, kada se na gredu primjenjuje sila pritiska ili istezanja, uočava se i poprečna deformacija. Kada je greda komprimirana, njene poprečne dimenzije se povećavaju, a kada se rastegne, one se smanjuju. Ako je poprečna veličina grede prije primjene tlačnih sila P na nju označena b, a nakon primjene ovih sila (slika 9.2), tada će vrijednost označavati apsolutnu poprečnu deformaciju grede.

Odnos je relativna poprečna deformacija.

Iskustvo pokazuje da je kod napona koji ne prelaze granicu elastičnosti (vidi § 6.1, stav 3), relativna poprečna deformacija direktno proporcionalna relativnoj uzdužnoj deformaciji, ali ima suprotan predznak:

Koeficijent proporcionalnosti u formuli (14.2) ovisi o materijalu grede. Zove se koeficijent poprečne deformacije, ili Poissonov odnos, i predstavlja odnos relativne poprečne deformacije prema uzdužnoj deformaciji, uzet u apsolutnoj vrednosti, tj.

Poissonov omjer, zajedno sa modulom elastičnosti E, karakterizira elastična svojstva materijala.

Vrijednost Poissonovog omjera se određuje eksperimentalno. Za različite materijale ima vrijednosti od nule (za pluto) do vrijednosti blizu 0,50 (za gumu i parafin). Za čelik, Poissonov omjer je 0,25-0,30; za niz drugih metala (lijevano željezo, cink, bronza, bakar) ima vrijednosti od 0,23 do 0,36. Približne vrijednosti Poissonovog omjera za različite materijale date su u Dodatku I.

Kada sile zatezanja djeluju duž osi grede, njena dužina se povećava, a poprečne dimenzije smanjuju. Kada djeluju tlačne sile, javlja se suprotan fenomen. Na sl. Na slici 6 prikazana je greda istegnuta sa dvije sile P. Kao rezultat napetosti, greda je produžena za iznos Δ l, koji se zove apsolutno izduženje, i dobijamo apsolutna poprečna kontrakcija Δa .

Omjer apsolutnog izduženja i skraćivanja prema izvornoj dužini ili širini grede naziva se relativna deformacija. IN u ovom slučaju relativna deformacija se naziva uzdužna deformacija, A - relativna poprečna deformacija. Omjer relativnog poprečnog naprezanja i relativnog uzdužnog naprezanja naziva se Poissonov omjer: (3.1)

Određuje se Poissonov omjer za svaki materijal kao elastična konstanta empirijski i nalazi se unutar: ; za čelik.

U granicama elastičnih deformacija utvrđeno je da je normalno naprezanje direktno proporcionalno relativnoj uzdužnoj deformaciji. Ova zavisnost se zove Hookeov zakon:

, (3.2)

Gdje E- koeficijent proporcionalnosti, tzv modul normalne elastičnosti.