D'Alembertov princip omogućava da se proces sastavljanja jednačina dinamike svede na sastavljanje jednačina statike.

Ovaj princip, koji ćemo ovdje predstaviti za slobodnu materijalnu tačku i za tačku koja se kreće po površini ili duž krivulje, primjenjiv je na bilo koji problem dinamike. To će nam omogućiti da sumiramo cijelu teoriju kretanja tačke.

Posmatrajmo materijalnu tačku M mase pod dejstvom sila čija rezultanta ima projekcije. Jednačine gibanja ove tačke mogu se napisati na sledeći način:

Uz vektore koji predstavljaju sile primijenjene na tačku M, razmotrit ćemo vektor s projekcijama - Ovaj vektor, brojčano jednak proizvodu mase i ubrzanja i usmjeren suprotno od ubrzanja, naziva se sila inercije, iako to ni na koji način neće biti sila primijenjena na točku. Tada jednačine izražavaju da je geometrijski zbir vektora i jednak nuli, ili da u svakom trenutku vremena postoji ravnoteža između sile inercije i sila koje su stvarno primijenjene na tačku.

Izvođenje jednadžbi kretanja iz d'Alembertovog principa. Na osnovu ovoga što je upravo rečeno, da bi se pronašle jednačine kretanja tačke pod bilo kojim uslovima, dovoljno je izraziti da postoji ravnoteža između svih sila koje se primenjuju na tačku i sile inercije. Ali to se može učiniti pomoću statičkih metoda. Može se, na primjer, primijeniti teorema mogućeg rada. Da biste to učinili, potrebno je razlikovati sile koje se primjenjuju na tačku, date sile i reakcije veza. Kroz označavamo projekcije datih sila.

Da bismo zapisali da postoji ravnoteža između sila koje djeluju na tačku i sile inercije, dovoljno je napisati da na

sva moguća kretanja dopuštena vezama koje postoje u ovom trenutku, zbir rada datih sila i sile inercije jednak je nuli:

Treba razlikovati tri slučaja:

1°. Free point. proizvoljno. Ako se, kao u paragrafu 282, koristi proizvoljni koordinatni sistem, tada, zamjenom varijacija, dobijamo:

gdje su proizvoljni.

Zamjenom u jednakost (2) i izjednačavanjem rezultata sa nulom za proizvoljno, dobijamo jednačine kretanja u obliku naznačenom u § 282, iz kojeg smo izveli Lagrangeove jednačine za slobodnu tačku.

2°. tačka na površini. Neka bude

je jednadžba površine za koju se, općenito, pretpostavlja da se kreće. Dajući promenljivoj određenu vrednost, vidimo da moramo da zadovoljimo uslov

izražavajući da je moguće kretanje dozvoljeno trenutno postojećom vezom.Ako, kao u paragrafu 263, izrazimo koordinate površinske tačke u funkcijama dva parametra, onda dobijamo

i relacija (2) mora da važi, kakva god da je.Na taj način će se dobiti jednačine kretanja u obliku (4) n.263.3°. Tačka na krivulji. Neka bude

d'Alambertov princip

Glavni rad Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Traktat o dinamici" - objavljen je 1743.

Prvi dio rasprave posvećen je konstrukciji analitičke statike. Ovdje d'Alembert formulira "osnovne principe mehanike", među kojima su "princip inercije", "princip zbrajanja kretanja" i "princip ravnoteže".

"Princip inercije" je formulisan odvojeno za slučaj mirovanja i za slučaj ravnomernog pravolinijskog kretanja. "Sila inercije, - piše d'Alembert, ja, zajedno s Njutnom, nazivam svojstvo tijela da održava stanje u kojem se nalazi."

"Princip sabiranja kretanja" je zakon sabiranja brzina i sila prema pravilu paralelograma. Na osnovu ovog principa, d'Alembert rješava probleme statike.

"Princip ravnoteže" je formuliran kao sljedeća teorema: "Ako dva tijela koja se kreću brzinama obrnuto proporcionalnim njihovim masama imaju suprotne smjerove, tako da se jedno tijelo ne može kretati bez pomjeranja s mjesta na drugo tijelo, tada će ova tijela biti u ravnoteži ". U drugom dijelu Traktata, d'Alembert je predložio opći metod za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja za bilo koji materijalni sistem, zasnovan na svođenju problema dinamike na statiku. Formulirao je pravilo za svaki sistem materijalnih tačaka, kasnije nazvano "D'Alembertov princip", prema kojem se sile primijenjene na tačke sistema mogu razložiti na "djelujuće", odnosno one koje uzrokuju ubrzanje sistem, i "izgubljeni", neophodni za ravnotežu sistema. d'Alembert smatra da sile koje odgovaraju "izgubljenom" ubrzanju formiraju takvu kombinaciju koja ne utiče na stvarno ponašanje sistema. Drugim rečima, ako se na sistem primeni samo skup "izgubljenih" sila, onda će sistem ostati u mirovanju. Modernu formulaciju d'Alembertovog principa dao je M. E. Žukovski u svom "Kursu teorijske mehanike": "Ako se u bilo kom trenutku sistem zaustavi, on se kreće, a mi mu dodajemo, pored njegovog pokretanja sile, sve sile inercije koje odgovaraju datom trenutku u vremenu, tada će se posmatrati ravnoteža, dok će sve sile pritiska, napetosti, itd. koje se razvijaju između delova sistema u takvoj ravnoteži, biti realne sile pritisak, napetost itd. kada se sistem kreće u razmatranom trenutku vremena“. Treba napomenuti da ni sam d'Alembert, prilikom predstavljanja svog principa, nije pribjegavao ni pojmu sile (s obzirom da nije dovoljno jasan da bi se uvrstio u listu osnovnih pojmova mehanike), a još manje konceptu inercijalne sile. Prikaz d'Alembertovog principa korištenjem pojma "sila" pripada Lagrangeu, koji je u svojoj "Analitičkoj mehanici" dao njen analitički izraz u obliku principa mogućih pomaka. Bio je to Joseph Louis Lagrange (1736-1813) i posebno Leonardo Euler (1707-1783) koji je odigrao bitnu ulogu u konačnoj transformaciji mehanike u analitičku mehaniku.

Analitička mehanika materijalne tačke i Ojlerova dinamika krutog tela

Leonardo Euler- jedan od istaknutih naučnika koji je dao veliki doprinos razvoju fizičko-matematičkih nauka u XVIII veku. Njegov rad je upečatljiv uvidom istraživačke misli, univerzalnošću talenta i ogromnom količinom naučnog naslijeđa ostavljenog za sobom.

Već u prvim godinama svoje naučne delatnosti u Sankt Peterburgu (Ojler je stigao u Rusiju 1727. godine) izradio je program grandioznog i sveobuhvatnog ciklusa rada u oblasti mehanike. Ovaj dodatak nalazi se u njegovom dvotomnom djelu "Mehanika ili nauka o kretanju, izraženo analitički" (1736). Ojlerova mehanika bila je prvi sistematski kurs Njutnove mehanike. Sadržao je osnove dinamike tačke - Ojler je pod mehanikom razumeo nauku o kretanju, za razliku od nauke o ravnoteži sila, ili statici. Odlučujuća karakteristika Ojlerove "Mehanike" bila je široka upotreba novog matematičkog aparata - diferencijalnog i integralnog računa. Ukratko karakterizirajući glavna djela o mehanici koja su se pojavila na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, Euler je primijetio sin-tetiko-geometrijski stil njihovog rada, koji je stvorio mnogo posla za čitatelje. Na ovaj način su napisani Njutnovi elementi i kasnija Foronomija (1716) J. Hermana. Euler ističe da se djela Hermana i Newtona navode "po običaju starih ljudi uz pomoć sintetičkih geometrijskih dokaza" bez upotrebe analize, "samo putem koje se može postići potpuno razumijevanje ovih stvari".

Sintetičko-geometrijska metoda nije imala generalizujući karakter, već je zahtijevala, po pravilu, individualne konstrukcije za svaki zadatak posebno. Ojler priznaje da je nakon proučavanja „Foronomije“ i „Početaka“ on, kako mu se činilo, „prilično jasno razumeo rešenja mnogih problema, ali više nije mogao da rešava probleme koji su donekle odstupali od njih“. Zatim je pokušao da "izoluje analizu ove sintetičke metode i da analitički uradi iste predloge u svoju korist." Ojler napominje da je zahvaljujući tome mnogo bolje shvatio suštinu problema. Razvio je fundamentalno nove metode za proučavanje problema mehanike, stvorio njen matematički aparat i briljantno ga primijenio na mnoge složene probleme. Zahvaljujući Euleru, diferencijalna geometrija, diferencijalne jednadžbe i varijacijski račun postali su alati mehanike. Ojlerov metod, koji su kasnije razvili njegovi nasljednici, bio je nedvosmislen i adekvatan predmetu.

Ojlerov rad o dinamici krutog tijela "Teorija kretanja krutih tijela" ima veliki uvod od šest odjeljaka, gdje je ponovo ocrtana dinamika tačke. U uvodu je napravljen niz izmjena: posebno se jednadžbe gibanja tačke pišu pomoću projekcije na os fiksnih pravokutnih koordinata (a ne na tangentu, glavnu normalu i normalu, tj. osa nepokretnog prirodnog triedra povezana sa tačkama putanje, kao u "Mehanici").

Nakon uvoda, "Traktat o kretanju krutih tijela" sastoji se od 19 odjeljaka. Traktat je zasnovan na d'Alambertovom principu. Ukratko se zadržavajući na translacijskom kretanju krutog tijela i uvodeći koncept centra inercije, Euler razmatra rotacije oko fiksne ose i oko fiksne tačke.Ovde su formule za projekcije trenutne ugaone brzine, ugaonog ubrzanja na koordinatnu osu, tzv. Eulerovih uglova itd. opisani su, nakon čega Euler prelazi na dinamiku samog krutog tijela. On izvodi diferencijalne jednadžbe za rotaciju teškog tijela oko njegovog nepokretnog težišta u u odsustvu vanjskih sila i rješava ih za jednostavan poseban slučaj. tako je nastao poznati i jednako važan problem u teoriji žiroskopa oko rotacije krutog tijela oko fiksne tačke. Euler je radio i na teoriji brodogradnje, u očima hidro- i aeromehanike, balistike, teorija stabilnosti i teorija malih vibracija, nebeska mehanika i sl.

Osam godina nakon objavljivanja Mehanike, Ojler je obogatio nauku prvom preciznom formulacijom principa najmanjeg dejstva. Formulacija principa najmanje akcije, koja je pripadala Maupertuisu, bila je još uvijek vrlo nesavršena. Prva naučna formulacija principa pripada Euleru. Svoj princip je formulirao na sljedeći način: integral ima najmanju vrijednost za realnu putanju, ako uzmemo u obzir

posljednja u grupi mogućih trajektorija koje imaju zajednički početni i krajnji položaj i koje se izvode sa istom vrijednošću energije. Ojler daje svom principu tačan matematički izraz i rigorozno opravdanje za jednu materijalnu tačku, testira delovanje centralnih sila. Tokom 1746-1749 pp. Euler je napisao nekoliko radova o figurama ravnoteže fleksibilne niti, gdje je princip najmanjeg djelovanja primijenjen na probleme u kojima djeluju elastične sile.

Tako je do 1744. mehanika obogaćena sa dva važna principa: d'Alembertovim principom i Maupertuis-Eulerovim principom najmanjeg djelovanja. Na osnovu ovih principa, Lagrange je izgradio sistem analitičke mehanike.

Sile inercije u dinamici materijalne tačke i mehaničkog sistema

Silom inercije materijalne tačke je proizvod mase tačke i njenog ubrzanja uzet sa predznakom minus, odnosno inercijalne sile u dinamici se primenjuju u sledećim slučajevima:

• 1. Prilikom proučavanja kretanja materijalne tačke u neinercijalni(pokretni) koordinatni sistem, odnosno relativno kretanje. To su translatorne i Coriolisove sile inercije, koje se često nazivaju Eulerovim silama.
• 2. Prilikom rješavanja zadataka dinamike metodom kinetostatike. Ova metoda se zasniva na d'Alembertovom principu, prema kojem se sile inercije materijalne tačke ili sistema materijalnih tačaka kreću sa određenim ubrzanjem u inercijalni referentni sistem. Ove sile inercije nazivaju se d'Alembertovim silama.
• 3. D'Alembertove sile inercije se također koriste u rješavanju problema dinamike korištenjem Lagrange-D'Alembertovog principa ili opće jednačine dinamike.

Izraz u projekcijama na osi kartezijanskih koordinata

gdje - moduli projekcija ubrzanja tačke na Dekartovu koordinatnu osu.

Kod krivolinijskog kretanja tačke, sila inercije se može razložiti na tangencijalnu i normalnu:; , - modul tangencijalnog i normalnog ubrzanja; - radijus zakrivljenosti putanje;

V- tačka brzina.

d'Alambertov princip za materijalnu tačku

Ako nije besplatno na materijalnu tačku koja se kreće pod dejstvom primenjenih aktivnih sila i reakcionih sila veza, primenite njenu silu inercije, tada će u svakom trenutku rezultirajući sistem sila biti uravnotežen, odnosno geometrijski zbir ovih sila će biti jednak nuli.

materijal mehaničkog tijela

gdje - rezultanta aktivnih sila primijenjenih na tačku; - rezultanta reakcija veza nametnutih na tačku; sila inercije materijalne tačke. Napomena: U stvari, sila inercije materijalne tačke se ne primenjuje na samu tačku, već na telo koje ovoj tački daje ubrzanje.

d'Alembertov princip za mehanički sistem

geometrijski zbir glavni vektori vanjskih sila koje djeluju na sistem, i sile inercije svih tačaka sistema, kao i geometrijski zbir glavnih momenata ovih sila u odnosu na neki centar za neslobodan mehanički sistem u bilo kojem trenutku jednaki su nuli, tj.

Glavni vektor i glavni moment sila inercije krutog tijela

Glavni vektor i glavni moment sila inercije tačaka sistema određuju se posebno za svako kruto tijelo uključeno u ovaj mehanički sistem. Njihova definicija se zasniva na Poinsot metodi poznatoj iz statike o dovođenju proizvoljnog sistema sila u dato središte.

Na osnovu ove metode, inercijalne sile svih tačaka tijela u opštem slučaju njegovog kretanja mogu se dovesti do centra mase i zamijeniti glavnim vektorom * i glavnim momentom o centru mase. One se određuju formulama tj. za bilo koje kretanje krutog tijela, glavni vektor inercijalnih sila jednak je sa predznakom minus proizvodu mase tijela i ubrzanja centra mase tijela; ,gdje r kc -- radijus vektor k-th tačka povučena iz centra mase. Ove formule u određenim slučajevima kretanja krutog tijela imaju oblik:

1. Progresivno kretanje.

2. Rotacija tijela oko ose koja prolazi kroz centar mase

3. Ravnoparalelno kretanje

Uvod u analitičku mehaniku

Osnovni pojmovi analitičke mehanike

Analitička mehanika- oblast (sekcija) mehanike, u kojoj se proučava kretanje ili ravnoteža mehaničkih sistema korišćenjem opštih, unificiranih analitičkih metoda koje se koriste za bilo koje mehaničke sisteme.

Razmotrimo najkarakterističnije koncepte analitičke mehanike.

1. Veze i njihova klasifikacija.

Veze-- bilo kakvih ograničenja u obliku tijela ili bilo kakvih kinematičkih uslova nametnutih kretanju tačaka mehaničkog sistema. Ova ograničenja se mogu napisati kao jednačine ili nejednačine.

Geometrijske veze-- veze, čije jednačine sadrže samo koordinate tačaka, odnosno ograničenja su nametnuta samo na koordinate tačaka. To su veze u obliku tijela, površina, linija itd.

Diferencijalne veze-- veze koje nameću ograničenja ne samo na koordinate tačaka, već i na njihovu brzinu.

Holonomske veze -- sve geometrijske veze i one diferencijalne čije se jednadžbe mogu integrirati.

Neholonomska ograničenja-- diferencijalne neintegrabilne veze.

Stacionarne komunikacije -- veze, čije jednačine ne uključuju eksplicitno vrijeme.

Nestacionarne komunikacije- veze koje se mijenjaju tokom vremena, tj. čije jednačine eksplicitno uključuju vrijeme.

Bilateralne (holding) veze -- veze koje ograničavaju kretanje tačke u dva suprotna smera. Takve veze su opisane jednadžbama .

Jednostrano(ne-retaining) karike - karike koje ograničavaju kretanje samo u jednom smjeru. Takve veze se opisuju nejednačinama

2. Moguća (virtuelna) i stvarna kretanja.

Moguće ili virtuelno pomaci tačaka mehaničkog sistema su imaginarni infinitezimalni pomaci koji su dozvoljeni ograničenjima nametnutim sistemu.

Moguće Pomak mehaničkog sistema je skup istovremenih mogućih pomaka tačaka sistema koji su kompatibilni s ograničenjima. Neka mehanički sistem bude koljenasti mehanizam.

Moguća tačka kretanja ALI je pomak koji se zbog svoje malenosti smatra pravolinijskim i usmjeren okomito na OA.

Moguća tačka kretanja AT(klizač) se kreće u vodilicama. Moguće pomicanje radilice OA je rotacija za ugao, a klipnjača AB -- pod uglom oko MCS (tačka R).

Validan Pomaci tačaka sistema se nazivaju i elementarni pomaci, koji dozvoljavaju superponirane veze, ali uzimajući u obzir početne uslove kretanja i sile koje deluju na sistem.

Broj stepeni sloboda S mehaničkog sistema je broj njegovih nezavisnih mogućih pomaka koji se mogu prenijeti tačkama sistema u fiksnom trenutku u vremenu.

Princip mogućih pomaka (Lagrangeov princip)

Princip mogućih pomaka ili Lagrangeov princip izražava uslov ravnoteže za neslobodan mehanički sistem pod dejstvom primenjenih aktivnih sila. Formulacija principa.

Za balans Za neslobodan mehanički sistem sa dvostranim, stacionarnim, holonomskim i idealnim ograničenjima, koji miruje pod dejstvom primenjenih aktivnih sila, potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila bude jednak metku. o svakom mogućem pomaku sistema iz razmatranog ravnotežnog položaja:

Opća jednadžba dinamike (Lagrange-D'Alembertov princip)

Opća jednadžba dinamike primjenjuje se na proučavanje kretanja neslobodnih mehaničkih sistema čija se tijela ili tačke kreću određenim ubrzanjima.

U skladu sa d'Alembertovim principom, ukupnost aktivnih sila primijenjenih na mehanički sistem, reakcionih sila veza i sila inercije svih tačaka sistema čini uravnotežen sistem sila.

Ako se na takav sistem primijeni princip mogućih pomaka (Lagrangeov princip), onda se dobija kombinovani Lagrange-D'Alembertov princip ili opšta jednačina dinamike.formulaciju ovog principa.

Prilikom kretanja nije slobodno mehaničkog sistema sa dvosmernim, idealnim, stacionarnim i holonomskim ograničenjima, zbir elementarnih radova svih aktivnih sila i sila inercije primenjenih na tačke sistema na bilo koji mogući pomak sistema jednak je nuli:

Lagrangeove jednadžbe druge vrste

Lagrangeove jednadžbe druge vrste su diferencijalne jednačine kretanja mehaničkog sistema u generalizovanim koordinatama.

Za sistem sa S stepena slobode, ove jednačine imaju oblik

Razlika ukupni vremenski izvod parcijalnog izvoda kinetičke energije sistema u odnosu na generalizovanu brzinu i parcijalni izvod kinetičke energije u odnosu na generalizovanu koordinatu jednak je generalizovanoj sili.

Lagrangeove jednadžbe za konzervativne mehaničke sisteme. Ciklične koordinate i integrali

Za konzervativni sistem, generalizovane sile se određuju u smislu potencijalne energije sistema formulom

Zatim se Lagrangeove jednadžbe prepisuju u formu

Pošto je potencijalna energija sistema funkcija samo generalizovanih koordinata, tj. Uzimajući to u obzir, predstavljamo je u obliku gde T - P \u003d L - Lagrangeova funkcija (kinetički potencijal). Konačno, Lagrangeove jednačine za konzervativni sistem

Stabilnost ravnotežnog položaja mehaničkog sistema

Pitanje stabilnosti ravnotežnog položaja mehaničkih sistema je od direktnog značaja u teoriji oscilacija sistema.

Položaj ravnoteže može biti stabilan, nestabilan i indiferentan.

održivo ravnotežni položaj - položaj ravnoteže, u kojem se tačke mehaničkog sistema, izvedene iz ovog položaja, pomiču pod dejstvom sila u neposrednoj blizini blizu svog ravnotežnog položaja.

Ovaj pokret će imati različit stepen ponavljanja u vremenu, tj. sistem će izvršiti oscilatorno kretanje.

nestabilno ravnotežni položaj - položaj ravnoteže od kojeg će, uz proizvoljno malo odstupanje tačaka sistema, u budućnosti, djelujuće sile dalje uklanjati tačke iz njihovog ravnotežnog položaja .

indiferentan ravnotežni položaj - položaj ravnoteže, kada za bilo koje malo početno odstupanje tačaka sistema od ove pozicije u novom položaju, sistem takođe ostaje u ravnoteži. .

Postoje različite metode za određivanje stabilnog ravnotežnog položaja mehaničkog sistema.

Razmotrimo definiciju stabilne ravnoteže na osnovu Lagrange-Dirichletove teoreme

Ako je na poziciji ravnoteža konzervativnog mehaničkog sistema sa idealnim i stacionarnim ograničenjima, njegova potencijalna energija ima minimum, onda je ova ravnotežna pozicija stabilna.

Fenomen uticaja. Udarna sila i udarni impuls

Pojava u kojoj se brzine tačaka tijela mijenjaju za konačan iznos u zanemarljivo malom vremenskom periodu naziva se udarac. Ovaj vremenski period se zove vreme udara. Tokom udara, sila udara djeluje beskonačno mali vremenski period. udarna snaga naziva se sila čiji je moment gibanja pri udaru konačna vrijednost.

Ako je modulo konačna sila djeluje tokom vremena, započinjući svoje djelovanje u određenom trenutku , tada njegov zamah ima oblik

Također, kada udarna sila djeluje na materijalnu tačku, možemo reći da:

djelovanje netrenutnih sila tokom udara može se zanemariti;

kretanje materijalne tačke tokom udara može se zanemariti;

rezultat djelovanja udarne sile na materijalnu tačku izražava se konačnom promjenom pri udaru njenog vektora brzine.

Teorema o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema pri udaru

promjena impulsa mehaničkog sistema za vrijeme udara jednaka je geometrijskom zbiru svih vanjskih udarnih impulsa primijenjenih na tačke sistema, gdje - količina kretanja mehaničkog sistema u trenutku prestanka djelovanja sila udara, - količina kretanja mehaničkog sistema u trenutku kada udarne sile počnu djelovati, - eksterni udarni impuls.

Metode rješavanja problema mehanike, koje su do sada razmatrane, zasnivaju se na jednačinama koje slijede ili direktno iz Newtonovih zakona, ili iz općih teorema koje su posljedica ovih zakona. Međutim, ovaj put nije jedini. Ispostavilo se da se jednačine kretanja ili ravnotežni uslovi mehaničkog sistema mogu dobiti pretpostavkom drugih opštih propozicija, nazvanih principi mehanike, umesto Njutnovih zakona. U velikom broju slučajeva, primena ovih principa omogućava, kao što ćemo videti, pronalaženje efikasnijih metoda za rešavanje odgovarajućih problema. U ovom poglavlju će se razmatrati jedan od opštih principa mehanike, nazvan d'Alambertov princip.

Hajde da prvo pronađemo izraz principa za jednu materijalnu tačku. Neka sistem aktivnih sila djeluje na materijalnu tačku s masom, čija će rezultanta biti označena reakcijom veze N (ako tačka nije slobodna). Pod djelovanjem svih ovih sila, tačka će se kretati u odnosu na inercijski referentni sistem s određenim ubrzanjem a.

Uvedemo u obzir količinu

ima dimenziju sile. Vektorska veličina koja je po apsolutnoj vrijednosti jednaka proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja i usmjerena suprotno od ovog ubrzanja naziva se sila inercije tačke.

Tada se ispostavlja da kretanje tačke ima sljedeće svojstvo: ako se u bilo kojem trenutku aktivnim silama koje djeluju na tačku i reakciji veze doda sila inercije, tada će rezultirajući sistem sila biti izbalansiran, tj.

Ova odredba izražava d'Alambertov princip za materijalnu tačku. Lako je vidjeti da je ekvivalentan drugom Newtonovom zakonu i obrnuto. Zaista, drugi Newtonov zakon za razmatranu tačku daje Prenoseći ovdje vrijednost m na desnu stranu jednakosti i uzimajući u obzir notaciju (84), dolazimo do relacije (85). Naprotiv, prenoseći vrijednost iz jednačine (85) na drugi dio jednačine i uzimajući u obzir notaciju (84), dobijamo izraz za drugi Newtonov zakon.

Razmotrimo sada mehanički sistem koji se sastoji od materijalnih tačaka. Izdvojimo neke od tačaka sistema sa masom . Pod djelovanjem vanjskih i unutrašnjih sila koje se na nju primjenjuju (koje uključuju i aktivne sile i reakcije ograničenja), tačka će se kretati u odnosu na inercijski referentni okvir uz određeno ubrzanje. Unosom sile inercije za ovu tačku dobijamo prema jednakosti (85), da

tj. koje čine uravnotežen sistem snaga. Ponavljajući takvo razmišljanje za svaku od tačaka sistema, dolazimo do sljedećeg rezultata, koji izražava d'Alambertov princip za sistem: ako u bilo kojem trenutku do svake od tačaka sistema, pored vanjske i unutrašnjih sila koje na njega djeluju, pripajamo odgovarajuće sile inercije, tada će rezultirajući sistem sila biti uravnotežen i na njega se mogu primijeniti sve jednadžbe statike.

Matematički, d'Alembertov princip za sistem je izražen vektorskim jednakostima oblika (85), koje su očigledno ekvivalentne diferencijalnim jednačinama gibanja sistema (13) dobijenim u § 106. Stoga, iz d'Alembertovog principa, kao i iz jednačina (13), mogu se dobiti sve opšte teoreme dinamike.

Značaj d'Alamberovog principa leži u činjenici da kada se direktno primenjuje na probleme dinamike, jednačine kretanja sistema se sastavljaju u obliku dobro poznatih jednačina ravnoteže; ovo čini pristup rješavanju problema ujednačenim i često pojednostavljuje odgovarajuće proračune. Pored toga, u vezi sa principom mogućih pomeranja, koji će biti razmatran u sledećem poglavlju, d'Alembertov princip nam omogućava da dobijemo novu opštu metodu za rešavanje problema dinamike (videti § 141).

Iz statike je poznato da su geometrijski zbir sila u ravnoteži i zbir njihovih momenata u odnosu na bilo koji centar O jednak nuli, i, kao što je prikazano u § 120, to vrijedi za sile koje djeluju ne samo na kruto tijelo, ali i na bilo kojem varijabilnom mehaničkom sistemu.

Zatim, na osnovu d'Alembertovog principa, trebalo bi da bude:

Hajde da uvedemo notaciju:

Veličine predstavljaju glavni vektor i glavni moment u odnosu na centar O sistema inercijskih sila. Kao rezultat toga, uzimajući u obzir da su geometrijski zbir unutrašnjih sila i zbir njihovih momenata jednaki nuli, dobijamo iz jednakosti (86):

Primjena jednačina (88), koje proizilaze iz d'Alembertovog principa, pojednostavljuje proces rješavanja problema, jer ove jednačine ne sadrže unutrašnje sile. U suštini, jednačine (88) su ekvivalentne jednačinama koje izražavaju teoreme o promjeni količine gibanja i glavnog momenta količine gibanja sistema, a razlikuju se od njih samo po obliku.

Jednačine (88) su posebno pogodne za korištenje pri proučavanju kretanja krutog tijela ili sistema krutih tijela. Za potpuno proučavanje kretanja bilo kog promenljivog sistema, ove jednačine neće biti dovoljne, kao što jednačine statike nisu dovoljne za proučavanje ravnoteže bilo kog mehaničkog sistema (videti § 120).

U projekcijama na koordinatne ose, jednakosti (88) daju jednačine analogne odgovarajućim jednačinama statike (vidi §§ 16, 30). Da biste koristili ove jednadžbe u rješavanju problema, morate znati izraze za glavni vektor i glavni moment sila inercije.

U zaključku, treba naglasiti da se prilikom proučavanja kretanja u odnosu na inercijski referentni okvir, koji se ovdje razmatra, inercijske sile uvode samo kada se primjenjuje d'Alembertov princip za rješavanje problema.

d'Alambertov princip za materijalnu tačku. Oblik jednačine kretanja u skladu sa Newtonovim zakonima nije jedini. Ove jednačine se mogu napisati iu drugim oblicima. Jedna od ovih mogućnosti je d'Alambertov princip, što formalno dozvoljava da diferencijalne jednadžbe kretanja poprime oblik jednadžbi ravnoteže.

Ovaj princip se može smatrati nezavisnim aksiomom, koji zamjenjuje drugi Newtonov zakon. Koristimo ga kao sredstvo za rješavanje problema i izvodimo ga iz Newtonovog zakona.

Razmotrite kretanje materijalne tačke u odnosu na inercijski referentni okvir. Za besplatni materijalni bod

imamo: to = = I.

Prenos vektora to na desnoj strani jednakosti, ovaj omjer se može predstaviti kao jednadžba ravnoteže: ja - to - 0.

Predstavljamo koncept sile inercije. Nazovimo vektor usmjeren suprotno od ubrzanja i jednak je proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja sila inercije materijalne tačke: = -ta.

Koristeći ovaj koncept možemo napisati (slika 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Rice. 3.42.

za materijalnu tačku

Jednačina (3.47) je d'Alembertov princip za slobodnu materijalnu tačku: ako se sila inercije doda silama primijenjenim na tačku, tada će tačka biti u stanju ravnoteže.

Strogo govoreći, navedeni stav nije d'Alembertov princip u onom obliku u kojem ga je formulisao autor.

d'Alembert je razmišljao neslobodno kretanje tačke, bez korištenja principa oslobađanja od veza, bez uvođenja reakcije veze. Primećujući da se u prisustvu veze ubrzanje tačke ne poklapa u pravcu sa silom i ta F R, uveo je koncept izgubio struju P - to i naveo da primjena izgubljene sile na tačku ne remeti njeno stanje ravnoteže, budući da je izgubljena sila uravnotežena reakcijom veze.

Relacija (3.47) je osnovna jednadžba kinetostatike, ili Hermannova Peterburška načelna jednačina-Euler. Metoda kinetostatike može se smatrati modifikacijom d'Alembertovog principa, uključujući i slobodnu materijalnu tačku, što je pogodnije za praktičnu upotrebu. Stoga se u većini književnih izvora jednačina (3.47) naziva d'Alembertovim principom.

Ako tačka nije besplatna, tj. na njega je nametnuto ograničenje, pogodno je podijeliti sile koje djeluju na tačku na aktivne 1, R°(postavka-

dato) i reakcija CU veze: p(a) + n =

Ova tehnika je zgodna, jer je za neke vrste veza moguće sastaviti jednadžbu kretanja na način da u nju nisu uključene reakcije ovih veza. Dakle, d'Alembertov princip za neslobodnu tačku može se zapisati kao (slika 3.43):

R (a)+/V+ R W) = 0, (3.48)

tj. ako se na neslobodnu materijalnu tačku, pored aktivnih sila i reakcije spajanja, primeni inercijalna sila, tada će rezultujući sistem sila biti u ravnoteži u svakom trenutku.

Rice. 3.43.

materijalna tačka

a- sa engleskog, aktivan- aktivan. Podsjetimo da se sile nazivaju aktivnim ako zadrže svoje vrijednosti kada se sve veze uklone.

Kada se razmatra krivolinijsko kretanje tačke, preporučljivo je predstaviti silu inercije u obliku dvije komponente: G "‘ n) \u003d -ta n- centrifugalni i W, p) \u003d -ta x - tangenta (slika 3.44).

Rice. 3.44.

kretanje materijalne tačke

Podsjetimo da izrazi za normalno i tangencijalno ubrzanje imaju oblik: a p -U 2 / p i i t = s1U D/L

Tada možete napisati: P^ t) - -t-p Rp p) - -t-t, ili na kraju: P

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3,49)

Jednakost (3.49) izražava d'Alembertov princip za krivolinijsko kretanje neslobodne tačke.

Razmotrimo nit dužine /, na čijem je kraju fiksirana tačka mase t. Nit se rotira oko vertikalne ose, opisujući stožastu površinu sa konstantnim uglom nagiba generatriksa a. Odredite odgovarajuću konstantnu brzinu tačke i napetost niti T(Sl. 3.45).

Rice. 3.45.

kretanje neslobodne materijalne tačke

Da, ali: /u, /, a = const. Naći: T, V.

Primijenimo na tačku inercijalne sile usmjerene suprotno od odgovarajućih komponenti ubrzanja. Imajte na umu da je tangencijalna sila inercije nula, jer je po uslovu brzina konstantna:

/1°") = -ta = -t-= Oh

a centrifugalna sila inercije određena je izrazom P^ m) \u003d mU 2 /p, gdje je p = /Bta.

Primjena d'Alembertovog principa na ovaj problem omogućava nam da zapišemo jednačinu kretanja proučavane materijalne tačke u obliku uslova za ravnotežu sila koje se slijevaju: t? + T + Pp n) = 0.

U ovom slučaju, sve jednadžbe ravnoteže vrijede u projekciji na prirodne koordinatne osi:

X^n=0, - FJ" 1+ Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + T cosa = 0,

+ T sin a =

-mg + T cosa = 0,

gde da nađemo T= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

d'Alambertov princip za sistem materijalnih tačaka. Razmotrimo kretanje mehaničkog sistema materijalnih tačaka. Kao i kod povlačenja OZMS-a, sile primijenjene na svaku tačku dijelimo na vanjske i unutrašnje (slika 3.46).

Rice. 3.46.

Neka je ' rezultanta vanjskih sila primijenjenih na /-tu ​​tačku, i / G (L - rezultanta unutrašnjih sila primijenjenih na istu tačku. U skladu sa d'Alambertovim principom, inercijalne sile se moraju primijeniti na svaki materijal tačka sistema: Rr n) = -t,a g

Tada sile primijenjene na svaku tačku sistema zadovoljavaju relaciju:

1?E) + pY) + p0n)

one. sistem materijalnih tačaka će biti u ravnoteži ako se na svaku njegovu tačku primeni dodatna sila inercije. Dakle, uz pomoć d'Alembertovog principa moguće je jednačinama kretanja sistema dati oblik jednačina ravnoteže.

Izrazimo kinetostatske uslove ravnoteže sistema pomoću statičkih ekvivalenata inercijalnih sila i vanjskih sila. U tu svrhu zbrajamo sve P jednačine (a), opisujući sile primijenjene na pojedine tačke sistema. Zatim izračunavamo momente svih vanjskih i unutrašnjih sila i sila inercije primijenjenih na pojedinačne tačke, u odnosu na proizvoljnu tačku O:

g a X R "E> + g a X /*") + g a X P t > =0. і = 1,2,..., ".

Zatim sumiramo, kao rezultat dobijemo

// p str

'(E) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M ( 0 E) + M ( 0 n + M% a) = 0.

Ukoliko K i)= 0 i M 1 0 p = 0, konačno imamo:

ÍÂ (?) + L (/I) = 0;

M (a E) + M(‘n) = 0.

Iz sistema jednadžbi (3.50) može se vidjeti da je glavni vektor inercijskih sila uravnotežen glavnim vektorom vanjskih sila, a glavni moment inercijskih sila u odnosu na proizvoljnu tačku uravnotežen glavnim momentom vanjskih sila. u odnosu na istu tačku.

Prilikom rješavanja zadataka potrebno je imati izraze za glavni vektor i glavni moment inercijskih sila. Veličine i smjerovi ovih vektora zavise od raspodjele ubrzanja pojedinih tačaka i njihovih masa. U pravilu, direktna definicija ja (sh) i M ( ”" ] geometrijsko zbrajanje može se izvesti relativno jednostavno samo kada P - 2 ili P= 3. Istovremeno, u problemu kretanja krutog tijela moguće je izraziti statičke ekvivalente sila inercije u pojedinim slučajevima kretanja u zavisnosti od kinematičkih karakteristika.

Glavni vektor i glavni moment sila inercije krutog tijela u različitim slučajevima kretanja. Prema teoremi o kretanju centra mase t sa c \u003d I (E). Prema d'Alambertovom principu imamo: I (1P) + I (E) = Oh, gde da nađemo: I "1P) = -t sa sa. Dakle, sa bilo kojim pokretom tijela glavni vektor inercijskih sila jednak je umnošku mase tijela i ubrzanja centra mase i usmjeren je suprotno od ubrzanja centra mase(Sl. 3.47).

Rice. 3.47.

Izrazimo glavni moment inercijalnih sila pri rotacionom kretanju tela oko fiksne ose okomite na ravan materijalne simetrije tela (slika 3.48). Sile inercije primijenjene na / -tačku: R"! n) = m, x op; 2 i R? P)= /u,ep,.

Kako sve centrifugalne sile inercije sijeku os rotacije, glavni moment ovih sila inercije je nula, a glavni moment tangencijalnih inercijskih sila je:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - J z (3.51)

Dakle, glavni moment tangencijalnih sila inercije oko ose rotacije jednak je umnošku momenta inercije oko ove ose i ugaonog ubrzanja, a smer glavnog momenta tangencijalnih sila inercije je suprotan od smjer ugaonog ubrzanja.

Rice. 3.48.

oko ose rotacije

Zatim izražavamo sile inercije za ravno-paralelno kretanje tijela. Razmatrajući ravnoparalelno kretanje tijela (slika 3.49) kao zbir translacijskog kretanja zajedno sa centrom mase i rotacija okolo osa koja prolazi kroz centar mase okomito na ravan kretanja, može se dokazati, u prisustvu ravni materijalne simetrije koja se poklapa sa ravninom kretanja centra mase, da su sile inercije u ravni paralelnom kretanju ekvivalentne glavnom vektoru / ? (" p) primijenjen na centar mase suprotan je ubrzanju centra mase, a glavni moment inercijskih sila M^ n) u odnosu na središnju os, okomito na ravninu kretanja, usmjerenu u smjeru suprotnom od ugaonog ubrzanja:

Rice. 3.49.

Bilješke.

• 1. Imajte na umu da, budući da d’Alembertov princip dozvoljava samo napišite jednačinu kretanja u obliku jednačine ravnoteže, onda ne daje nikakve integrale jednačine kretanja.
• 2. Naglašavamo to sila inercije u d'Alambertovom principu je fiktivno siva, primjenjuju se uz djelujuće sile s jedinom svrhom postizanja ravnotežnog sistema. Međutim, u prirodi postoje sile koje su geometrijski jednake silama inercije, ali se te sile primjenjuju na druga (ubrzavajuća) tijela, u interakciji s kojima nastaje sila ubrzanja koja se primjenjuje na razmatrano tijelo koje se kreće. Na primjer, kada se pomiče točka fiksirana na niti koja se rotira konstantnom brzinom oko kružnice u horizontalnoj ravni, napetost niti je tačno jednaka sila inercije, one. sila reakcije tačke na niti, dok se tačka pomiče pod dejstvom reakcije niti na nju.
• 3. Kao što je već pokazano, gornji oblik d'Alembertovog principa razlikuje se od onog koji je koristio sam d'Alembert. Metodu sastavljanja diferencijalnih jednačina gibanja sistema, koja se ovdje koristi, razvili su i proširili brojni naučnici iz Sankt Peterburga i dobila je ime kinetostatska metoda.

Primjena metoda mehanike na neke probleme dinamike šinskih vozila:

? kretanje šinskog vozila duž zakrivljene pruge. Trenutno se, zahvaljujući mogućnostima kompjuterske tehnologije, analiza svih mehaničkih pojava koje se javljaju tokom kretanja šinskog vozila u krivini vrši pomoću prilično složenog modela, koji uzima u obzir čitav skup pojedinačnih tijela sistema. i karakteristike veza između njih. Ovaj pristup omogućava dobijanje svih potrebnih kinematičkih i dinamičkih karakteristika kretanja.

Međutim, prilikom analize konačnih rezultata i izvođenja preliminarnih procjena u tehničkoj literaturi, prilično se često susreću određena izobličenja nekih pojmova mehanike. Stoga je preporučljivo govoriti o najoriginalnijim osnovama koje se koriste u opisivanju kretanja posade u krivulji.

Predstavimo neke matematičke opise razmatranih procesa u elementarnoj formulaciji.

Za ispravno, dosljedno objašnjenje karakteristika stacionarno kretanje posade u kružnoj krivulji potrebno je:

• izabrati metodu mehanike koja se koristi za opisivanje ovog kretanja;
• polaziti od jasnog, sa stanovišta mehanike, koncepta "sile";
• ne zaboravite zakon jednakosti akcije i reakcije.

Proces kretanja posade u krivini neizbježno podrazumijeva promjenu smjera brzine. Karakteristika brzine ove promjene je normalno ubrzanje usmjereno na centar zakrivljenosti krivolinijske putanje centra mase: a p - V 2/p, gde je p poluprečnik krive.

Tokom kretanja, vozilo dolazi u interakciju sa šinom, što rezultira normalnim i tangencijalnim reaktivnim silama koje se primenjuju na osovinske parove. Naravno, na šine se primjenjuju jednake i suprotne sile pritiska. Prema gore navedenim mehaničkim konceptima, sila se shvaća kao rezultat interakcije tijela, odnosno tijela i polja. U problemu koji se razmatra postoje dva fizička sistema: vagon sa točkovima i šinski kolosek, pa se sile moraju tražiti na mestima njihovog dodira. Osim toga, interakcija posade i gravitacionog polja Zemlje stvara gravitaciju.

Opis kretanja posade u krivulji može se napraviti pomoću opšte teoreme dinamike, koje su posljedice OZMS-a, ili na osnovu principi mehanike(na primjer, d'Alembertov princip), koji je osnova kinetostatska metoda.

Želeći da objasnim jednake karakteristike metode za uzimanje u obzir zakrivljenosti ose kolosijeka na karakteristike kretanja posade, prvo koristimo najjednostavniji idealizirani model. Posada će se smatrati materijalnim avionom čija je masa jednaka masi ovog sistema.

Centar mase koji leži u ovoj ravni izvodi dato kretanje duž putanje koja je kongruentna osi putanje, brzinom v. Kontakt sa šinom vrši se u dve tačke preseka pokretne ravni sa šinskim navojima. Dakle, govoreći o interakciji vozila sa šinom, možemo govoriti o koncentrisanim silama, koje su rezultanta svih reakcija šina na pojedinačne osovinske pare sa svake od šina. Štaviše, priroda pojave reaktivnih sila je beznačajna;

? kretanje vagona duž pruge bez podizanja vanjske šine. Na sl. 3.50 prikazuje projektnu šemu posade koja se kreće duž zakrivljene staze. Vanjske i unutrašnje šine, u ovom slučaju, nalaze se na istom nivou. Na sl. 3.50 prikazuje sile koje djeluju na posadu i reakcije veza. Naglašavamo da nema u ovoj shemi nema stvarnih centrifugalnih sila.

U okviru Njutnove geometrijske mehanike, kretanje vozila u krivini opisuje se opštim teoremama dinamike sistema.

U ovom slučaju, prema teoremi o kretanju centra mase,

t c a c - I a), (a)

gdje je R) glavni vektor vanjskih sila.

Projektovanje oba dela izraza (a) na pratećim prirodnim koordinatnim osa, čiji je centar u centru mase vozila, sa jediničnim vektorima m, i, b i vjerovati t s = t.

U projekciji na glavnu normalu dobijamo da je n \u003d F n, ili

mV / p \u003d Fn (b)

gdje F n - stvarna moć reakcije šine na parove točkova, što je zbir projekcija reakcija šine na normalu na putanju. To mogu biti usmjeravajuće sile pritiska šina na prirubnicama kotača. Nema drugih vanjskih sila u ovom pravcu.

U projekciji izraza (a) na binormalnom dobijamo:

O = -mg+Nout+N gostionica. (sa)

Evo indeksa van 1 odgovaraju spoljašnjem, a gostionica- unutrašnja šina krivine. Lijeva strana u izrazu (c) jednaka je nuli, jer je projekcija ubrzanja na binormalu jednaka nuli.

Treću jednačinu dobijamo koristeći teoremu o promjeni ugaonog momenta u odnosu na centar mase:

dK c /dt = ^M c . (d)

Dizajniranje izraza d na t osi, gdje je t = nxb - vektorski proizvod jediničnih vektora P i b, s obzirom na to KCl\u003d U St s t, U St - moment inercije posade oko ose tangente na putanju centra mase, imat ćemo

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (e)

budući da je kutno ubrzanje oko m ose u ravnomjernom kretanju duž kružne krivulje nula.

Izrazi ( b), (c) i (e) su sistem linearnih algebarskih jednadžbi za tri nepoznate veličine M-tp> rješavajući koje, dobijamo:

Rice. 3.50.

Dakle, dosljedna primjena općih teorema dinamike omogućava nam da u razmatranom problemu ustanovimo sve pojave povezane s prolaskom posade krivolinijskog dijela staze.

U stvari, oba točka su podložna silama usmjerenim unutar krivine. Rezultanta ovih sila stvara moment oko centra mase vozila, koji može uzrokovati rotaciju, pa čak i prevrtanje van krivine ako V 2 N/p5" > g. Djelovanje ove sile dovodi do habanja kotača. Naravno, suprotno usmjerena sila djeluje na šinu -R p uzrokuje trošenje šina.

Imajte na umu da se u gornjoj izjavi može pronaći samo rezultanta horizontalnih reakcija dvije tračnice R. Da bi se odredila raspodjela ove sile između unutrašnje i vanjske tračnice, potrebno je riješiti statički neodređeni problem korištenjem dodatnih uvjeta. Osim toga, tokom kretanja vagona, normalne reakcije vanjskih i unutrašnjih šina imaju različite vrijednosti. Vanjski navoj šine je više opterećen.

Reakcija unutrašnjeg navoja na vozilo je manja i pri određenoj vrijednosti brzine može biti jednaka nuli.

U klasičnoj mehanici ovo stanje se naziva prevrtanje, iako zapravo još nema prevrtanja. Da bi se saznalo kada dolazi do stanja stvarnog prevrtanja, treba razmotriti rotaciju automobila oko ose koja je paralelna sa m i koja prolazi kroz tačku kontakta točka sa spoljnom šinom na t F 0. Takav zadatak je od čisto akademskog interesa, jer je, naravno, neprihvatljivo da se pravi sistem dovede u takvo stanje.

Još jednom naglašavamo da smo u objašnjavanju svih pojava polazili od činjenice kretanje automobila pod dejstvom samo stvarnih sila.

Imajte na umu da je diferencijalna jednadžba rotacije oko ose m, čak i kod = 0, napisana u odnosu na centralnu osu m. Odabir ove ose u drugoj tački dovodi do promjene oblika lijeve strane jednačine teorema momenta. Stoga je nemoguće, na primjer, zapisati ovu jednačinu u istom obliku u odnosu na osu koja prolazi kroz točku kontakta točka sa tračnicom, iako bi se činilo da bi bilo lakše pronaći vrijednost normalnih reakcija u ovom slučaju. Međutim, ovaj pristup će dovesti do pogrešnog rezultata: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Može se pokazati da je stvar u tome da jednačina rotacije oko ose koja prolazi, na primjer, kroz tačku To, mora biti napisan uzimajući u obzir moment količine gibanja tijela iz translacijskog dijela kretanja g x x ta s: J Cl? t+ t(g ks xx d)=^ M Kh.

Dakle, umjesto jednačine (c) u projekciji na osu St dobijamo izraz

(8 )

/ St? t+ t[g ks X a c) t = -teB + N ipp 25,

gdje je u zagradama vrijednost projekcije na os St vektorskog proizvoda ? ks ha s.

Pokažimo da nam uzastopna implementacija potrebnih procedura omogućava pronalaženje s w iz rezultirajuće jednačine). Od sl. 3.50 to pokazuje

g ks - bp + Hb i a c =

Izračunajmo vektorski proizvod:

Ovdje se uzima u obzir da php = 0 i bxn = - t. Stoga,

tNU 2

2L g / lp 5 ',

gdje nalazimo reakciju unutrašnje šine:

što je isto kao rezultat dobijen u izrazu (/).

U zaključku izlaganja problema ističemo da je razmatranje automobila u pokret korištenje Newtonovih metoda geometrijske mehanike omogućava rješavanje problema bez uvođenja fiktivne i ove inercije. Potrebno je samo pravilno koristiti sve odredbe mehanike. Međutim, treba napomenuti da upotreba ove metode može biti povezana sa većom količinom proračuna nego, na primjer, kada se koristi d'Alembertov princip.

Hajde sada da pokažemo kako se isti problem rešava na osnovu upotrebe d'Alembertovog principa u opšteprihvaćenom obliku kinetostatičke metode. U tom slučaju potrebno je primijeniti dopunu

navojem fiktivno sila inercije: G* = -ta sp = -t-P. i eki-

stranica zaustavlja, tj. sada ubrzanje njegovog centra mase a c= 0. Na sl. 3.51 prikazuje takve sistem mirovanja. Sve sile koje se na njega primjenjuju, uključujući silu inercije, moraju zadovoljiti kinetostatičke jednačine ravnoteža, ne kretanje, kao u prethodnom slučaju.

Ova okolnost nam omogućava da pronađemo sve nepoznate količine iz jednadžba ravnoteže. U ovom slučaju, izbor oblika jednadžbi ravnoteže i tačaka u odnosu na koje se računaju momenti postaje proizvoljan. Poslednja okolnost nam omogućava da pronađemo sve nepoznate nezavisno jedna od druge:

I M. = oh I m,_= oh

-n = oko.

1 at MP

Rice. 3.51. Projektna shema sila koje djeluju na posadu pod istim uvjetima kao na sl. 3,50 kada se koristi d'Alembertov princip

Lako je vidjeti da se rješenja ovog sistema jednadžbi poklapaju sa odgovarajućim formulama dobijenim korištenjem teorije dinamike. Dakle, u primjeru koji se razmatra, primjena d'Alembertovog principa omogućila je donekle pojednostavljenje rješenja problema.

Međutim, pri tumačenju rezultata treba imati na umu da je dodatno primijenjena inercijska sila fiktivna u smislu da je u stvarnosti ne postoji takva sila koja djeluje na posadu. Osim toga, ova sila ne zadovoljava treći Newtonov zakon – nema „drugog kraja“ ove sile, tj. nema opozicije.

Općenito, pri rješavanju mnogih problema mehanike, uključujući i problem kretanja posade u krivulji, zgodno je primijeniti d'Alembertov princip. Međutim, ne treba dovoditi u vezu nikakve pojave akcija ovu silu inercije. Na primjer, reći da ova centrifugalna sila inercije dodatno opterećuje vanjsku šinu i rasterećuje unutrašnju, a štoviše, ta sila može uzrokovati prevrtanje vozila. Ovo nije samo nepismeno, već i besmisleno.

Podsjetimo još jednom da su vanjske primijenjene sile koje djeluju na vagon u krivini i mijenjaju stanje njegovog kretanja gravitacija, vertikalne i horizontalne reakcije šina;

? kretanje vagona duž krivine sa elevacijom vanjske šine. Kako je pokazano, procesi koji se javljaju kada vozilo prolazi kroz krivine bez podizanja vanjske šine povezani su sa neželjenim posljedicama - neravnomjernim vertikalnim opterećenjem šina, značajnim normalnim horizontalnim odgovorom šine na točak, praćen povećanim habanjem. i točkova i šina, mogućnost prevrtanja pri prekoračenju brzine.pomeranje određene granice itd.

U velikoj mjeri, neugodne pojave koje prate prolazak krivina mogu se izbjeći podizanjem vanjske šine iznad unutrašnje. U ovom slučaju, kočija će se kotrljati duž površine stošca s uglom nagiba generatrike prema horizontalnoj osi (slika 3.52): f L = arcsin (L / 25), ili pod malim uglovima

F A * L/2 S.

Rice. 3.52.

sa elevacijom vanjske šine

U stacionarnom slučaju, kada V- const i φ A = const, možemo razmotriti kretanje ravnog dijela vozila u vlastitoj ravni na isti način kao kada se uklapa u krivinu bez podizanja vanjske šine.

Razmotrimo tehniku ​​rješavanja problema korištenjem općih teorema dinamike. Pretpostavićemo da se centar mase vozila kreće duž kružne krivulje poluprečnika p, iako se u razmatranom slučaju, strogo govoreći, radijus zakrivljenosti ose kolosijeka razlikuje od poluprečnika zakrivljenosti putanje centra mase za malu količinu:

H sin cf L ~ H f A "r.

Stoga, u poređenju sa p, potonja vrijednost se može zanemariti. Kretanje "ravnog dijela" posade će se pripisati pratećim osovinama SuSi x(vidi sliku 3.52), gdje je os su] paralelno sa ravninom staze. Pri konstantnoj brzini kretanja, projekcija ubrzanja centra mase na glavnu normalu putanje njegovog kretanja može se napisati na isti način kao i pri kretanju u krivulji bez elevacije, tj. a p = V i/R.

Projekcije ubrzanja na osu Su, i Cz^ jednaki su redom:

a ux = a p sovf,; I. \u003d a „smy h.

Jednadžbe gibanja ravnog presjeka zasnovane na teoremi o kretanju centra mase i teoremi o promjeni ugaonog momenta u odnosu na osu Cx su sljedeće:

Uzimajući u obzir da je = 0, nakon zamjene dobijamo sistem od tri linearne algebarske jednadžbe u tri nepoznate F vi, N iiw, N (nula:

/i-si Pf l = -mg cosV/ , + N mn + N out; P

-sof A = mgs ipf A + F ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Imajte na umu da nagib ravnine ose kolosijeka zbog elevacije vanjske tračnice dovodi do promjene projekcije ubrzanja centra mase na os Cy, i Cr, što je povezano s promjenom u reakcije šina u odnosu na one u odsustvu nadmorske visine, kada a. - 0, a l Ove promjene u projekcijama ubrzanja mogu se objasniti ako rotaciju vozila oko binormale koja prolazi kroz centar krivine krivulje smatramo geometrijskim zbirom dvije rotacije ω = ω (+ b) oko osi?, y, prolazeći kroz isti centar krive.

Prilikom sastavljanja sistema jednačina (za) nije bila predviđena malenost ugla cp L. Međutim, u praktičnom dizajnu

wtf A ~ /g/25.

Dakle, u slučaju malog f L, sistem jednačina za određivanje reakcija staze na vozilo ima sledeći oblik:

= -g^+ LG, „ + M gsh,;

t- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Rješavajući ove jednačine dobijamo:

N...... =

mg + TU/G

pet/77 K I /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

U konkretnom slučaju kada nema nadmorske visine (I= 0), ovi izrazi se poklapaju sa onima dobijenim ranije (/).

Pređimo sada na analizu rezultata rješavanja problema za I F 0.

Treba napomenuti da se u ovom slučaju smanjuje poprečna reakcija tračnice, usmjerena u ravnini kolosijeka. To se objašnjava činjenicom da u formiranju ubrzanja centra mase u smjeru osi Su sudjeluje ne samo sila //, već i komponenta gravitacije. Štaviše, za određenu vrijednost I\u003d 25K 2 / p? sila R postaje nula:

Imajući to na umu

t g - T,= X A,%>+ X ALI[

• (3.42)

Poziva se vrijednost u zagradama izvanredno ubrzanje. Država kada P = 0, odgovara slučaju u kojem je normalno ubrzanje a nastaje samo projekcijom na osu d>, sile gravitacije posade.

Kada se raspravlja o problemu koji se razmatra, ponekad postoji sofističko rezonovanje da je ubrzanje a p usmjerena horizontalno, a gravitacija - okomito (vidi sliku 3.52), te stoga ne može formirati razmatrano ubrzanje a p at R= 0. Ovo rezonovanje sadrži grešku, jer u formiranju horizontalnog ubrzanja, pored sile R, učestvuju i normalne reakcije D r w u i / V o r. Zbir ove dvije reakcije pri malom f A jednak je 1H tp + 1U oig \u003d mg. Stoga gravitacija još uvijek sudjeluje u formiranju horizontalnog ubrzanja a p, već kroz djelovanje reakcija N m i S oiG

Razmotrimo sada kako se mijenjaju normalne reakcije tračnica, okomitih na površinu kolosijeka.

Imajte na umu da se, za razliku od slučaja /7 = 0, reakcije povećavaju za istu vrijednost TU 2 I/2r28,što je zanemareno jer ///25 - vrijednost je mala. Međutim, u rigoroznom rasuđivanju, izostavite ovaj izraz za izraze i N w ne radi to.

Kada - > -2-, tj. sa izvanrednim pozitivnim ubrzanjem, str. 25

reakcija unutrašnje šine je manja od vanjske, međutim, razlika između njih nije toliko značajna kao kod I = 0.

Ako je izvanredno ubrzanje jednako nuli, vrijednosti reakcije postaju jednake IV oSH = mg|2(za male I), one. visina vanjske šine omogućava ne samo da se dobije RU= 0, ali i izjednačiti pritisak na vanjske i vanjske šine. Ove okolnosti omogućavaju postizanje ujednačenijih vrijednosti habanja za obje šine.

Međutim, zbog kote vanjske šine postoji mogućnost negativne vrijednosti R", što u realnom sistemu sa ograničenjima bez zadržavanja odgovara procesu klizanja vozila duž ose y g one. unutar krive. Zbog istog nagiba staze može doći do preraspodjele reakcija N w i Ne oh! dominantan M sh.

Dakle, proučavanja kretanja vozila u krivini duž putanje sa elevacijom vanjske šine, koja se provode primjenom Newtonovih metoda geometrijske mehanike, omogućavaju analizu stanja sistema bez dodatnih terminoloških hipoteza. U rasuđivanju ne postoje sile inercije.

Razmotrimo sada kako se kretanje kolica u istoj krivulji opisuje korištenjem d'Alembertovog principa.

Primjenjujući ovaj princip u formulaciji metode kinetostatike na isti način kao u prethodnom slučaju, potrebno je primijeniti normalnu (centrifugalnu) silu inercije na centar mase. R„ n), usmjereno u smjeru suprotnom od normalnog ubrzanja (slika 3.53):

Gde sistem opet zaustavlja, tj. posada se ne kreće duž staze. Dakle, sve jednadžbe kinetostatičke ravnoteže vrijede:

I to= °-X r* = o.

/L^ypf, - G‘ str sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Zamjenom vrijednosti ovdje dobijamo isti sistem jednačina kao sistem (/) za bilo koji f / (ili (za) kod malih I.

Dakle, korištenje obje metode dovodi do potpuno istih rezultata. Sistem jednačina ( to) i sistem dobijen na osnovu d'Alembertovog principa su identični.

Međutim, imajte na umu da u konačni rezultati ne uključuju inercijske sile. To je razumljivo, budući da je d'Alembertov princip, koji leži u osnovi metode kinetostatike, samo sredstvo za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja sistema. Istovremeno, vidimo da je u razmatranom problemu primjena d'Alembertovog principa omogućila pojednostavljenje proračuna i da se može preporučiti za praktična proračuna.

Međutim, još jednom naglašavamo da u stvarnosti nema snage TU 2/p primijenjeno na centar mase vozila u pokretu. Stoga sve pojave vezane za kretanje u krivu treba objasniti onako kako je to urađeno na osnovu analize rezultata rješavanja sistema (/), odnosno (za).

U zaključku ističemo da su "Newtonova metoda" i "D'Alembertova metoda" u razmatranom problemu korištene samo u svrhu sastavljanja diferencijalnih jednačina kretanja. Istovremeno, u prvoj fazi ne dobijamo nikakve informacije, osim samih diferencijalnih jednadžbi. Naknadno rješavanje dobijenih jednačina i izvršena analiza nisu vezani za način dobijanja samih jednačina.

Rice. 3.53.

• out- sa engleskog, vanjski- vanjski.
• gostionica- sa engleskog, unutrašnje- enterijer.
• gostionica- sa engleskog, unutrašnje- enterijer.