Lekcija o trigonometrijskim funkcijama ugaonog argumenta. Trigonometrijske funkcije numeričkog i kutnog argumenta. Prave sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Trigonometrijske funkcije numerički argument sredili smo to. Uzeli smo tačku A na kružnici i tražili sinuse i kosinuse rezultujućeg ugla β.

Tačku smo označili kao A, ali se u algebri često označava kao t i date su sve formule/funkcije s njom. Takođe nećemo odstupiti od kanona. One. t - ovo će, dakle, biti određeni broj numerička funkcija(na primjer sint)

Logično je da, pošto imamo krug poluprečnika jedan, onda

Trigonometrijske funkcije argumenta kuta uspješno smo ga također analizirali - prema kanonima, za takve funkcije ćemo pisati: sin α°, što znači pod α° bilo koji ugao sa brojem stepeni koji nam je potreban.

Zraka ovog ugla će nam dati drugu tačku na kružnici (OA - tačka A) i odgovarajuće tačke C i B za numeričku argument funkciju, ako nam je potrebna: sin t = sin α°

Prave sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Nikad to ne zaboravi Y osa je linija sinusa, X osa je linija kosinusa! Tačke dobijene iz kruga su označene na ovim osama.

A linije tangenta i kotangensa su paralelne s njima i prolaze kroz tačke (1; 0) i (0; 1) respektivno.

Koji god da se uzme realni broj t, on se može povezati sa jednoznačno definisanim brojem sin t. Istina, pravilo podudaranja je prilično složeno; kao što smo vidjeli gore, ono je sljedeće.

Pronaći po broju t vrijednost grijeha t, potrebno vam je:

1) postaviti brojevnu kružnicu u koordinatnu ravan tako da se centar kružnice poklapa sa ishodištem koordinata, a početna tačka A kružnice pada u tačku (1; 0);

2) naći tačku na kružnici koja odgovara broju t;

3) naći ordinatu ove tačke.

Ova ordinata je sin t.

Zapravo mi pričamo o tome o funkciji u = sin t, gdje je t bilo koji realan broj.

Sve ove funkcije se pozivaju trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta t.

Jedi cela linija relacije koje povezuju vrijednosti različitih trigonometrijskih funkcija, već smo dobili neke od ovih relacija:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Iz posljednje dvije formule lako je dobiti odnos koji povezuje tg t i ctg t:

Sve ove formule se koriste u slučajevima kada je, znajući vrijednost trigonometrijske funkcije, potrebno izračunati vrijednosti drugih trigonometrijskih funkcija.

Izrazi "sinus", "kosinus", "tangenta" i "kotangenta" su zapravo bili poznati, međutim, i dalje su se koristili u nešto drugačijem tumačenju: u geometriji i fizici su smatrali sinus, kosinus, tangentu i kotangens. na čelu(ali ne

brojevima, kao što je bilo u prethodnim paragrafima).

Iz geometrije je poznato da je sinus (kosinus) oštar ugao je omjer kateta pravokutnog trokuta i njegove hipotenuze, a tangenta (kotangensa) ugla je omjer kateta pravokutnog trokuta. U prethodnim paragrafima razvijen je drugačiji pristup konceptima sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa. U stvari, ovi pristupi su međusobno povezani.

Uzmimo ugao sa stepenom b o i postavimo ga u model „numeričkog kruga u pravougaonom koordinatnom sistemu” kao što je prikazano na Sl. 14

vrh ugla je kompatibilan sa centrom

krugovi (sa ishodištem koordinatnog sistema),

i jedna strana ugla je kompatibilna sa

pozitivni zrak x-ose. Tačka

presek druge strane ugla sa

označimo krugom slovo M. Ordina-

Slika 14 b o, a apscisa ove tačke je kosinus ugla b o.

Za pronalaženje sinusa ili kosinusa ugla b o uopće nije potrebno svaki put raditi ove vrlo složene konstrukcije.

Dovoljno je napomenuti da luk AM čini isti dio dužine brojevne kružnice kao i ugao b o od ugla od 360°. Ako je dužina luka AM označena slovom t, dobijamo:

dakle,

Na primjer,

Vjeruje se da je 30° mjera stepena ugla, a radijanska mjera istog ugla: 30° = rad. Uopšte:

Posebno mi je drago odakle to, zauzvrat, dobijamo.

Dakle, šta je 1 radijan? Jedi razne mere dužine segmenata: centimetri, metri, jardi itd. Postoje i različite mjere za označavanje veličine uglova. Razmatramo centralne uglove jedinične kružnice. Ugao od 1° je centralni ugao, koji počiva na luku koji je dio kružnice. Ugao od 1 radijana je centralni ugao savijen lukom dužine 1, tj. na luku čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. Iz formule nalazimo da je 1 rad = 57,3°.

Kada razmatramo funkciju u = sin t (ili bilo koju drugu trigonometrijsku funkciju), nezavisnu varijablu t možemo smatrati numeričkim argumentom, kao što je bio slučaj u prethodnim paragrafima, ali također možemo smatrati ovu varijablu mjerom ugao, tj. ugao argument. Stoga, kada se govori o trigonometrijskoj funkciji, u određenom smislu nema razlike smatrati je funkcijom numeričkog ili kutnog argumenta.

Predstavlja video lekciju "Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta". vizuelni materijal održati čas matematike na relevantnu temu. Video je osmišljen tako da je materijal koji se proučava predstavljen što je više moguće učenicima za razumijevanje, lak za pamćenje i dobro otkriva vezu između dostupnih informacija o trigonometrijskim funkcijama iz odjeljka proučavanja trokuta i njihove definicije pomoću jedinice krug. Može postati samostalni dio lekcija, pošto u potpunosti pokriva ovu temu, dopunjena važnim komentarima tokom izgovaranja.

Da se jasno pokaže veza različite definicije trigonometrijske funkcije, koriste se animacijski efekti. Isticanje teksta fontom u boji, jasnim, razumljivim konstrukcijama i dodavanjem komentara pomaže vam da brzo savladate i zapamtite gradivo i brzo postignete ciljeve lekcije. Veze između definicija trigonometrijskih funkcija jasno su demonstrirane kroz efekte animacije i isticanje boja, promovišući razumijevanje i zadržavanje materijala. Priručnik ima za cilj povećanje efikasnosti obuke.

Lekcija počinje uvodom u temu. Zatim se prisjećaju definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog ugla pravokutnog trokuta. Definicija istaknuta u okviru nas podsjeća da se sinus i kosinus formiraju kao omjer kateta prema hipotenuzi, tangenta i kotangens su formirani omjerom kateta. Učenici se također podsjećaju na nedavno naučeno gradivo da kada se razmatra tačka na jediničnom krugu, apscisa tačke je kosinus, a ordinata sinus broja koji odgovara toj tački. Veza između ovih koncepata je demonstrirana pomoću konstrukcije. Na ekranu se prikazuje jedinični krug postavljen tako da se njegovo središte poklapa sa ishodištem. Iz ishodišta koordinata konstruiše se zraka koja čini ugao α sa pozitivnom poluosom apscise. Ova zraka seče jediničnu kružnicu u tački O. Iz tačke se okomite spuštaju na apscisu i os ordinate, pokazujući da koordinate ove tačke određuju kosinus i sinus ugla α. Primećuje se da je dužina luka AO od tačke preseka jedinične kružnice sa pozitivnim smerom ose apscise do tačke O isti deo celog luka kao i ugao α od 360°. Ovo vam omogućava da kreirate proporciju α/360=t/2π, koja se odmah prikazuje i ističe crvenom bojom za pamćenje. Iz ove proporcije se izvodi vrijednost t=πα/180°. Uzimajući ovo u obzir, određuje se odnos između definicija sinusa i kosinusa: sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Na primjer, dat je nalaz sin60°. Zamjenom stepena mjere ugla u formulu, dobijamo sin π·60°/180°. Smanjujući razlomak za 60, dobijamo sin π/3, koji je jednak √3/2. Napominje se da ako je 60° stepen ugla, onda se π/3 naziva radijanskom mjerom ugla. Postoje dvije moguće oznake za omjer stepena mjere ugla i radijanske mjere: 60°=π/3 i 60°=π/3 rad.

Koncept ugla od jednog stepena definiše se kao centralni ugao savijen lukom čija dužina 1/360 predstavlja deo obima. Sljedeća definicija otkriva koncept ugla od jednog radijana - centralnog ugla zasnovanog na luku dužine jedan, ili jednakom poluprečniku kruga. Definicije su označene kao važne i istaknute za pamćenje.

Da biste pretvorili jedan stepen ugla u radijansku meru i obrnuto, koristite formulu α°=πα/180 rad. Ova formula je istaknuta u okviru na ekranu. Iz ove formule slijedi da je 1° = π/180 rad. U ovom slučaju, jedan radijan odgovara kutu od 180°/π≈57,3°. Primjećuje se da se pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija nezavisne varijable t može smatrati i numeričkim i kutnim argumentom.

U nastavku su prikazani primjeri korištenja stečenog znanja u rješavanju matematičkih zadataka. U primjeru 1, trebate pretvoriti vrijednosti iz stupnjeva u radijane 135° i 905°. Na desnoj strani ekrana nalazi se formula koja pokazuje odnos između stupnjeva i radijana. Nakon zamjene vrijednosti u formulu, dobijamo (π/180)·135. Nakon što ovaj razlomak smanjimo za 45, dobijamo vrijednost 135° = 3π/4. Za pretvaranje ugla od 905° u radijansku mjeru koristi se ista formula. Nakon zamjene vrijednosti u nju, ispada (π/180)·905=181π/36 rad.

U drugom primjeru riješen je inverzni problem - nađena je mjera stepena uglova izražena u radijanima π/12, -21π/20, 2,4π. Na desnoj strani ekrana prisjećamo se proučavane formule za vezu stepena i radijanske mjere ugla 1 rad = 180°/π. Svaki primjer se rješava zamjenom radijanske mjere u formulu. Zamjenom π/12, dobijamo (180°/π)·(π/12)=15°. Vrijednosti preostalih uglova nalaze se na sličan način -21π/20=-189° i 2,4π=432°.

Video lekcija “Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta” preporučuje se za korištenje u tradicionalnim časovima matematike radi povećanja efikasnosti učenja. Materijal će pomoći da se osigura vidljivost učenja tokom učenja na daljinu na ovu temu. Detaljno, razumljivo objašnjenje teme i rješenja problema na njoj može pomoći učeniku da samostalno savlada gradivo.

DEKODIRANJE TEKSTA:

"Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta."

Iz geometrije već znamo da je sinus (kosinus) oštrog ugla pravokutnog trokuta omjer kateta i hipotenuze, a tangenta (kotangenta) je omjer kateta. A u algebri apscisu tačke na jediničnom krugu nazivamo kosinusom, a ordinatu ove tačke sinusom. Potrudimo se da sve ovo bude usko povezano.

Postavimo ugao sa stepenom mere α° (alfa stepeni), kao što je prikazano na slici 1: vrh ugla je kompatibilan sa centrom jedinične kružnice (sa ishodištem koordinatnog sistema), a jedna strana ugla kompatibilan je s pozitivnim zrakom ose apscise. Druga strana ugla seče kružnicu u tački O. Ordinata tačke O je sinus ugla alfa, a apscisa ove tačke je kosinus od alfa.

Imajte na umu da je luk AO isti dio dužine jedinične kružnice kao i ugao alfa iz ugla od trista šezdeset stepeni. Označimo dužinu luka AO sa t(te), tada ćemo sastaviti proporciju =

(alfa je da veruje šezdeset kao što je te dva pi) Odavde nalazimo te: t = = (te je jednako pi alfa podeljeno sa sto osamdeset).

Dakle, da biste pronašli sinus ili kosinus ugla alfa stepeni, možete koristiti formulu:

sin α° = sint = sin (sinus alfa stepeni jednaka sinusu te i jednak je sinusu parcijalnog pi alfa na sto osamdeset),

cosα° = trošak = cos (kosinus alfa stepeni je jednak kosinsu od te i jednak je kosinus parcijalnog pi alfa do sto osamdeset).

Na primjer, sin 60° = sin = sin = (sinus od šezdeset stupnjeva jednak je sinusu od pi za tri, prema tabeli osnovnih vrijednosti sinusa, jednak je korijenu tri po dva) .

Vjeruje se da je 60° stepen mjera ugla, a (pi sa tri) radijanska mjera istog ugla, odnosno 60° = drago(Šezdeset stepeni je jednako pi puta tri radijana). Ukratko, dogovorili smo se oko oznake drago izostaviti, odnosno sljedeći unos je prihvatljiv: 60°= (prikaži skraćenice radijanska mjera = rad.)

Ugao od jednog stepena je centralni ugao koji savija luk koji je (tristo šezdeseti) deo luka. Ugao od jednog radijana je centralni ugao koji počiva na luku dužine jedan, odnosno na luku čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice (smatramo centralne uglove jedinične kružnice da pokazuju ugao u pi radijanima na krugu).

Podsjetimo se važna formula pretvaranje stupnjeva u radijane:

α° = drago. (alfa je jednako pi alfa podijeljeno sa sto osamdeset, radijani) Konkretno, 1° = drago(jedan stepen je jednak pi podijeljeno sa sto osamdeset radijana).

Odavde možemo pronaći taj jedan radijan jednak omjeru sto osamdeset stepeni na pi i približno jednako pedeset sedam zapeta tri stepena: 1 drago= ≈ 57,3°.

Iz navedenog: kada govorimo o bilo kojoj trigonometrijskoj funkciji, na primjer o funkciji s = sint (es je jednako sinus te), nezavisna varijabla t(te) može se smatrati i numeričkim argumentom i kutnim argumentom.

Pogledajmo primjere.

PRIMJER 1. Pretvori iz stepeni u radijane: a) 135°; b) 905°.

Rješenje. Koristimo formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane:

a) 135° = 1° ∙ 135 = drago ∙ 135 = drago

(sto trideset i pet stepeni je jednako pi puta sto osamdeset radijana pomnoženo sa sto trideset pet, a nakon smanjenja jednako je tri pi puta četiri radijana)

b) Slično, koristeći formulu za pretvaranje stepena mere u radijansku meru, dobijamo

905° = drago ∙ 905 = drago.

(devetsto pet stepeni jednako je sto osamdeset jedan pi puta trideset šest radijana).

PRIMJER 2. Izraziti u stepenima: a) ; b) - ; c) 2.4π

(pi preko dvanaest; minus dvadeset jedan pi preko dvadeset; dva zareza četiri pi).

Rješenje. a) Izrazimo pi sa dvanaest u stepenima, koristimo formulu za pretvaranje radijanske mjere ugla u stepen u 1 drago=, dobijamo

drago = 1 drago∙ = ∙ = 15° (pi puta dvanaest radijana jednako je umnošku jednog radijana i pi puta dvanaest. Zamijenimo sto osamdeset za pi umjesto jednog radijana i smanjimo, dobijemo petnaest stepeni)

Slično kao b) - = 1 drago∙ (-) = ∙ (-)= - 189° (minus dvadeset jedan pi puta dvadeset jednako je minus sto osamdeset devet stepeni),

c) 2,4π = 1 drago∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (dva boda četiri pi jednaka su četiri stotine trideset i dva stepena).

Lekcija i prezentacija na temu: "Trigonometrijska funkcija ugaonog argumenta, stepena mjera ugla i radijana"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru

Šta ćemo proučavati:
1. Prisjetimo se geometrije.
2. Definicija kutnog argumenta.
3. Stepen mjera ugla.
4. Radijanska mjera ugla.
5. Šta je radijan?
6. Primjeri i zadaci za samostalno rješavanje.

Ponavljanje geometrije

Ljudi, u našim funkcijama:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Varijabla t može uzeti ne samo numeričke vrijednosti, odnosno biti numerički argument, već se može smatrati i mjerom ugla - kutnim argumentom.

Prisjetimo se geometrije!
Kako smo tamo definirali sinus, kosinus, tangent, kotangens?

Sinus ugla - omjer suprotne strane prema hipotenuzi

Kosinus ugla - omjer susjednog kraka i hipotenuze

Tangent ugla je omjer suprotne i susjedne strane.

Kotangens ugla je omjer susjedne i suprotne strane.

Definicija trigonometrijske funkcije argumenta kuta

Definirajmo trigonometrijske funkcije kao funkcije kutnog argumenta na brojevnom krugu:
Koristeći brojevni krug i koordinatni sistem, uvijek možemo lako pronaći sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla:

Postavimo vrh našeg ugla α u centar kružnice, tj. u centar koordinatne ose i postavite jednu od strana tako da se poklapa s pozitivnim smjerom ose apscise (OA)
Tada druga stranica siječe brojevnu kružnicu u tački M.

Ordinate tačka M: sinus ugla α
Abscisa tačka M: kosinus ugla α

Imajte na umu da je dužina luka AM isti dio jedinične kružnice kao i naš ugao α od 360 stepeni: gdje je t dužina luka AM.

Stepen mjera ugla

1) Ljudi, dobili smo formulu za određivanje stepena mjere ugla kroz dužinu luka brojevnog kruga, pogledajmo je pobliže:

Zatim pišemo trigonometrijske funkcije u obliku:

Na primjer:

Radijanska mjera uglova

Prilikom izračunavanja stepena ili radijanske mjere ugla, zapamtite! :
Na primjer:

Između ostalog! Oznaka rad. možete ga spustiti!

Šta je radijan?

Dragi prijatelji, suočeni smo sa novim konceptom - Radian. Pa šta je to?

Postoje različite mjere dužine, vremena, težine, na primjer: metar, kilometar, sekunda, sat, gram, kilogram i druge. Dakle, radijan je jedna od mjera ugla. Vrijedno je razmotriti centralne uglove, odnosno one koji se nalaze u središtu brojevnog kruga.
Ugao od 1 stepena je centralni ugao savijen lukom jednakim 1/360 obima.

Ugao od 1 radijana je središnji ugao sastavljen lukom jednakim 1 u jediničnom krugu, a u proizvoljnoj kružnici lukom jednak poluprečniku krugovima.

primjeri:

Primjeri konverzije iz stepena mjere ugla u radijansku mjeru i obrnuto

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Pronađite radijansku mjeru uglova:
a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°

2. Pronađite:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)

3. Nađite stepene mjere uglova: