Čemu je jednak Tg? Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla

Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangente (), kotangensa () neraskidivo su povezani sa konceptom ugla. Da bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa), i da bismo bili sigurni da „đavo nije tako strašan kao što je naslikan“, krenimo od na samom početku i razumjeti pojam ugla.

Koncept ugla: radijan, stepen

Pogledajmo sliku. Vektor se „okrenuo“ u odnosu na tačku za određenu količinu. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početnu poziciju će biti ugao.

Šta još trebate znati o pojmu ugla? Pa, jedinice ugla, naravno!

Ugao, kako u geometriji tako i u trigonometriji, može se mjeriti u stepenima i radijanima.

Ugao (jedan stepen) je centralni ugao u krugu koji je savijen kružnim lukom jednak delu kruga. Dakle, cijeli krug se sastoji od “komada” kružnih lukova, ili je ugao opisan krugom jednak.

To jest, gornja slika prikazuje ugao jednak, odnosno, ovaj ugao počiva na kružnom luku veličine obima.

Ugao u radijanima je središnji ugao u krugu sastavljen kružnim lukom čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. Pa, jesi li shvatio? Ako nije, hajde da to shvatimo iz crteža.

Dakle, slika prikazuje ugao jednak radijanu, odnosno ovaj ugao počiva na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kruga (dužina je jednaka dužini ili je poluprečnik jednak dužina luka). Dakle, dužina luka se izračunava po formuli:

Gdje je centralni ugao u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži ugao opisan krugom? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za obim. evo nje:

Pa, hajde sada da povežemo ove dvije formule i otkrijemo da je ugao opisan kružnicom jednak. To jest, korelacijom vrijednosti u stepenima i radijanima, dobijamo to. Odnosno, . Kao što vidite, za razliku od "stepeni", riječ "radijan" je izostavljena, jer je jedinica mjere obično jasna iz konteksta.

Koliko radijana ima? Tako je!

Jasno? Onda samo naprijed i popravi to:

Imate poteškoća? Onda pogledaj odgovori:

Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla

Dakle, shvatili smo koncept ugla. Ali šta je sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, pomoći će nam pravokutni trokut.

Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i kateta: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica); noge su dvije preostale strane i (one susjedne pravom kutu), a ako uzmemo u obzir noge u odnosu na ugao, onda je noga susjedna noga, a noga je suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?

Sinus ugla- ovo je omjer suprotnog (udaljenog) kraka prema hipotenuzi.

U našem trouglu.

Kosinus ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.

U našem trouglu.

Tangenta ugla- ovo je omjer suprotne (udaljene) strane prema susjednoj (bliskoj).

U našem trouglu.

Kotangens ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i suprotne (daleke).

U našem trouglu.

Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na šta, morate to jasno razumjeti tangenta I kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

Kosinus→dodir→dodir→susedni;

Kotangens→dodir→dodir→susedni.

Prije svega, morate zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens, jer omjeri strana trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod istim kutom). Ne vjerujem? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla. Po definiciji, iz trougla: , ali možemo izračunati kosinus ugla iz trougla: . Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!

Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.

Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao.

Jedinični (trigonometrijski) krug

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim. Takav krug se zove single. Bit će vrlo korisno kada proučavate trigonometriju. Stoga, pogledajmo to malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je konstruisan u kartezijanskom koordinatnom sistemu. Polumjer kružnice je jednak jedan, dok središte kružnice leži na početku koordinata, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera ose (u našem primjeru to je radijus).

Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata ose i koordinata ose. Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Zamislite trougao. Pravougaona je jer je okomita na osu.

Čemu je jednak trougao? Tako je. Osim toga, znamo da je radijus jedinične kružnice, što znači . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo šta se dešava:

Čemu je jednak trougao? Pa, naravno! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijete:

Dakle, možete li reći koje koordinate ima tačka koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Šta ako to shvatite i ako su to samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinate! I kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinate! Dakle, tačka.

Čemu su onda i čemu jednaki? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to, a.

Šta ako je ugao veći? Na primjer, kao na ovoj slici:

Šta se promijenilo u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovo pravokutnom trokutu. Zamislite pravougaoni trougao: ugao (kao susedni ugao). Koje su vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

Pa, kao što možete vidjeti, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati; vrijednost kosinusa ugla - koordinata; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi se primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose. Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene vrijednosti, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice ili. Da li je moguće rotirati radijus vektor na ili na? Pa, naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan puni okret i zaustaviti se na poziciji ili.

U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri puna okretaja i zaustaviti se na poziciji ili.

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da uglovi koji se razlikuju po ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Slika ispod prikazuje ugao. Ista slika odgovara uglu, itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Imate poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:

Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama uglova. Pa, počnimo redom: ugao na odgovara tački s koordinatama, dakle:

Ne postoji;

Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da uglovi u odgovaraju tačkama sa koordinatama, respektivno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:

Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i, date u donjoj tabeli, mora se zapamtiti:

Ne boj se, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavno zapamtiti odgovarajuće vrijednosti:

Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla (), kao i vrijednost tangente kuta. Poznavajući ove vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:

Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojilac " " će se poklopiti i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti sve vrijednosti iz tabele.

Koordinate tačke na kružnici

Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegov polumjer i ugao rotacije?

Pa, naravno da možete! Hajde da ga izvadimo opšta formula za pronalaženje koordinata tačke.

Na primjer, evo kruga ispred nas:

Dato nam je da je tačka centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom tačke po stepenima.

Kao što se vidi sa slike, koordinata tačke odgovara dužini segmenta. Dužina segmenta odgovara koordinati centra kruga, odnosno jednaka je. Dužina segmenta se može izraziti pomoću definicije kosinusa:

Onda imamo to za koordinate tačke.

Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za tačku. dakle,

Dakle, općenito se koordinate tačaka određuju formulama:

Koordinate centra kruga,

polumjer kruga,

Ugao rotacije radijusa vektora.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate centra jednake nuli, a radijus jednak jedan:

Pa, hajde da isprobamo ove formule vježbajući pronalaženje tačaka na kružnici?

1. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.

2. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.

3. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.

4. Tačka je centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.

5. Tačka je centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.

Imate problema s pronalaženjem koordinata tačke na kružnici?

Riješite ovih pet primjera (ili budite dobri u rješavanju) i naučit ćete ih pronaći!

1.

To možete primijetiti. Ali znamo šta odgovara punoj revoluciji početne tačke. Tako će željena tačka biti u istoj poziciji kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo tražene koordinate tačke:

2. Jedinični krug je centriran u tački, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To možete primijetiti. Znamo šta odgovara dva puna okretanja početne tačke. Tako će željena tačka biti u istoj poziciji kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo tražene koordinate tačke:

Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Prisjećamo se njihovog značenja i dobijamo:

Dakle, željena tačka ima koordinate.

3. Jedinični krug je centriran u tački, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To možete primijetiti. Opišimo dotični primjer na slici:

Radijus čini uglove jednake i sa osom. Znajući da su tablične vrijednosti kosinusa i sinusa jednake, i utvrdivši da kosinus ovdje ima negativnu vrijednost, a sinus pozitivnu, imamo:

O takvim primjerima se detaljnije govori kada se proučavaju formule za redukciju trigonometrijskih funkcija u temi.

Dakle, željena tačka ima koordinate.

4.

Ugao rotacije radijusa vektora (prema uslovu)

Da bismo odredili odgovarajuće znakove sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:

Kao što vidite, vrijednost je, odnosno, pozitivna, a vrijednost, odnosno negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobijamo da:

Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađemo koordinate:

Dakle, željena tačka ima koordinate.

5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku gdje

Koordinate središta kruga (u našem primjeru,

Radijus kruga (prema uslovu)

Ugao rotacije radijusa vektora (prema uslovu).

Zamijenimo sve vrijednosti u formulu i dobijemo:

i - tabelarne vrijednosti. Prisjetimo se i zamijenimo ih u formulu:

Dakle, željena tačka ima koordinate.

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Sinus ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.

Kosinus ugla je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.

Tangent ugla je omjer suprotne (daleke) strane i susjedne (bliske) strane.

Kotangens ugla je omjer susjedne (bliske) strane i suprotne (daleke) strane.

Trigonometrija je tema koju mnogi ljudi izbjegavaju. Unatoč tome, ako nađete pravi pristup, postat će vam vrlo zanimljivo. Trigonometrijske formule, uključujući formule za pronalaženje tangente, koriste se u mnogim područjima stvarnog života. Ovaj članak će govoriti o načinima pronalaženja tangente kuta i dati primjere korištenja ove veličine u životu. Ovo će vam dati motivaciju za proučavanje ove teme.

Unatoč mišljenju koje postoji među većinom školaraca, trigonometrija se u životu prilično često koristi. Jasan primjer praktične primjene će vam dati poticaj da ne budete lijeni. Evo nekoliko područja aktivnosti u kojima se koriste trigonometrijski proračuni, uključujući pronalaženje tangente kuta:

• Ekonomija.
• Astronomija.
• Avijacija.
• Inženjering.

Dakle, ispod su načini da pronađete tg.

Kako pronaći tg ugla

Pronalaženje tangente ugla je prilično jednostavno. Možete učiti zadatu temu i samo zapamtiti pravila, ali vam sve to može izletjeti iz glave tokom ispita. Stoga je vrijedno ovom pitanju pristupiti inteligentno. Osnovne formule koje treba zapamtiti:

• tg0° = 0
• tg30° = 1/√3
• tg45° = 1
• tg60° = √3
• tg90° = ∞ (beskonačno/neizvjesno)

Imajte na umu da su vrijednosti rastuće: što je veći kut, to je veća vrijednost tangente. Shodno tome, sa stepenom vrednosti ugla od 0°, dobijamo 0. Sa vrednošću od trideset stepeni dobijamo jedan podeljen korenom od tri, itd., dok ne dođemo do 90°. Kod njega je vrijednost tangente jednaka beskonačnosti ili neizvjesnosti (zavisno od konkretne situacije).

Ovi izrazi proizlaze iz pravila za pronalaženje tangente kroz pravougli trokut. Dakle, tangent ugla A (tgA) jednak je omjeru suprotne i susjedne strane. Zamislite da vam je dat pravougaoni trougao u kojem su sve strane poznate, ali ugao nije poznat. Da biste riješili problem, morate pronaći tangentu ugla A. Veličina stranice koja leži nasuprot kuta je 1, a veličina susjednog kraka je √3. Njihov omjer daje 1/√3. Već znamo da je ugao kod ovog indikatora 30 stepeni. Prema tome, ugao A = 30°.

U pravokutnom trokutu, pod pravim uglom, obje tangente su susjedne. Suprotna strana ovog ugla je hipotenuza. Upravo zato što dva kraka ne možemo podijeliti jedan u drugi (uslov nalaženja će biti narušen), tangenta od 90° u ovom slučaju ne postoji.

Uz sve to, često morate pronaći tangentu tupog ugla. Tipično, problemi uključuju tupe uglove od 120 ili 150 stepeni. Formula za pronalaženje tangente tupog ugla je sljedeća: tg(180-a) = tga.
Na primjer, trebamo pronaći tangentu od 120°. Pitanje koje trebate sebi postaviti je: koliko trebate oduzeti od 180 da biste dobili 120? Definitivno 60°. Iz toga slijedi da su tangenta 120° i tangenta 60° jednake jedna drugoj i tan120° = √3. Koristeći istu logiku, možete pronaći tangente od 150 i 180 stepeni. Njihove vrijednosti bit će jednake 1/√3, odnosno 0 Vrijednosti tangenta drugih uglova date su u trigonometrijskoj tablici, ali se koriste izuzetno rijetko.

Kako pronaći ugao tg na mreži

Postoji mnogo online resursa za pronalaženje tangente ugla. Jedna od njih je web stranica FXYZ. Pratite ovaj link. Videćete stranicu na kojoj će biti date osnovne formule vezane za tangentu, kao i kalkulator. Korištenje kalkulatora je prilično jednostavno. Morate unijeti odgovarajuće i kalkulator će izračunati odgovor. Ovaj jednostavan algoritam će vam pomoći ako ste nešto zaboravili. Na ovoj stranici postoje dva kalkulatora. Jedan je za pronalaženje vrijednosti tangente na osnovu dužine krakova trougla, a drugi je zasnovan na vrijednosti ugla. Koristite računar koji je potreban za zadatak.

Kao što ste možda primijetili, pronalaženje tangente i drugih trigonometrijskih pokazatelja se vrlo često koristi u stvarnom životu, a pronalaženje ovih vrijednosti nije nimalo teško. Ako shvatite suštinu nalaza, onda nećete morati ništa pamtiti - sami ćete moći doći do tačnog odgovora. Ako nešto i dalje ne uspije, upotrijebite kalkulator, ali ga nemojte pretjerati. Niko vam neće dati ovu priliku tokom ispita, testa ili školskog testa. Štaviše, ako upišete fakultet na kojem se izučava trigonometrija više matematike, bez osnovnog znanja moraćete ozbiljno da se potrudite da se ne skrate.

Započet ćemo naše proučavanje trigonometrije s pravokutnim trokutom. Hajde da definišemo šta su sinus i kosinus, kao i tangenta i kotangens oštrog ugla. Ovo su osnove trigonometrije.

Podsjetimo to pravi ugao je ugao jednak 90 stepeni. Drugim riječima, pola okrenutog ugla.

Oštar ugao- manje od 90 stepeni.

Tupi ugao- veći od 90 stepeni. U odnosu na takav ugao, "tupo" nije uvreda, već matematički pojam :-)

Nacrtajmo pravougli trougao. Pravi ugao se obično označava sa . Imajte na umu da je strana nasuprot uglu označena istim slovom, samo malim. Dakle, strana suprotna kutu A označena je .

Ugao je označen odgovarajućim grčkim slovom.

Hipotenuza pravouglog trougla je strana naspram pravog ugla.

noge- strane suprotne oštrim uglovima.

Noga koja leži nasuprot ugla naziva se suprotno(u odnosu na ugao). Drugi krak, koji leži na jednoj od strana ugla, naziva se susjedni.

Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane i hipotenuze:

Kosinus oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Tangenta oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer suprotne strane i susjedne:

Druga (ekvivalentna) definicija: tangenta oštrog ugla je omjer sinusa ugla i njegovog kosinusa:

Kotangens oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjedne strane prema suprotnoj strani (ili, što je isto, omjer kosinusa i sinusa):

Obratite pažnju na osnovne odnose za sinus, kosinus, tangentu i kotangens u nastavku. Oni će nam biti od koristi prilikom rješavanja problema.

Dokažimo neke od njih.

U redu, dali smo definicije i zapisali formule. Ali zašto nam još uvijek trebaju sinus, kosinus, tangent i kotangens?

Znamo to zbir uglova bilo kojeg trougla je jednak.

Znamo odnos između stranke pravougaonog trougla. Ovo je Pitagorina teorema: .

Ispada da znajući dva ugla u trouglu možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane pravokutnog trougla, možete pronaći treću. To znači da uglovi imaju svoj odnos, a stranice imaju svoj. Ali šta da radite ako u pravokutnom trokutu znate jedan ugao (osim pravog) i jednu stranu, ali morate pronaći druge strane?

To je ono sa čim su se ljudi u prošlosti susreli kada su pravili karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće direktno izmjeriti sve strane trougla.

Sinus, kosinus i tangenta - još se nazivaju trigonometrijske funkcije ugla- dati odnose između stranke I uglovi trougao. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente uglova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.

Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" uglove od do.

Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tabeli. Pri odgovarajućim vrijednostima ugla, tangenta i kotangens ne postoje.

Pogledajmo nekoliko trigonometrijskih problema iz FIPI banke zadataka.

1. U trokutu, ugao je , . Pronađite .

Problem je riješen za četiri sekunde.

Zbog , .

2. U trokutu, ugao je , , . Pronađite .

Pronađimo ga pomoću Pitagorine teoreme.

Problem je riješen.

Često u problemima postoje trouglovi sa uglovima i ili sa uglovima i. Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!

Za trokut sa uglovima i krak nasuprot ugla u jednak je polovina hipotenuze.

Trougao sa uglovima i jednakokrak je. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.

Razmatrali smo probleme rješavanja pravokutnih trougla – to jest, pronalaženje nepoznatih stranica ili uglova. Ali to nije sve! Postoji mnogo problema na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike koji uključuju sinus, kosinus, tangens ili kotangens vanjskog ugla trougla. Više o tome u sljedećem članku.

U ovom članku ćemo ispitati koncept tangenta ugla. Počnimo s konceptom pravog ugla. Pravi ugao je ugao jednak 90 0. Ugao koji je manji od 90 stepeni naziva se oštar. Ugao koji je veći od 90 stepeni naziva se tup. Pod uglom od 180 stepeni.

Crtamo trokut sa pravim uglom C, dok će suprotna strana imati istu oznaku (c će biti hipotenuza), a isto radimo i sa drugim uglovima. Strana suprotna oštrom uglu naziva se noga.

Sinus i kosinus se nalaze pomoću kraka i hipotenuze, i to:
sinA = a/c
cosA = b/c

Tangentna formula

tan A = a/b

drugim riječima definicija tangente- ovo je podjela suprotne strane susjednom
Postoji još jedna ekvivalentna tangentna formula

tan A = sinA/cosA

označava grijeh podijeljen sa cos.

Kotangens je skoro isti, samo su vrijednosti zamijenjene.

ctg A = cosA/sinA

Pažnja! Za pomoć roditeljima i nastavnicima GDZ-a u 5. razredu matematike (http://spisaly.ru/gdz/5_klass/math). Sve knjige ponuđene na sajtu mogu se preuzeti ili proučavati online. Pratite link i saznajte više.

Ove trigonometrijske funkcije uvelike olakšavaju izračunavanje uglova. Zahvaljujući sinusima, kosinusima i tangentima, postalo je moguće odrediti sve nepoznate uglove u trouglu, sa jednim poznatim.

Oznake za glavne uglove:
tangenta 30 - 0,577
tangenta 45 - 1,000
tangenta 60 - 1,732

Postoji poseban, čije se vrijednosti mogu dobiti dijeljenjem vrijednosti sinusne i kosinusne tablice, ali budući da je ovo prilično radno intenzivan proces, potrebna je ova tablica tangenta.

Postoji mnogo problema u kojima trougao ima uglove od 90, 30, 60 stepeni. ili 90, 45, 45 stepeni. Za takve brojke, bolje je zapamtiti njihov omjer, kako bi kasnije bilo lakše.

U prvom slučaju, krak nasuprot 30 stepeni jednak je 1/2 hipotenuze.
U drugom slučaju, hipotenuza premašuje katet za oko 2 puta.

Tangenta je trigonometrijska funkcija, numerički jednaka omjeru dužina suprotnih i susjednih krakova. Tangenta se široko koristi u mnogim modernim aplikacijama.

Pozadina

Trigonometrija datira iz vremena kada su naučnici proučavali svojstva stranica pravouglog trougla. Tada je formulisana teorema koja postulira odnos između kateta i hipotenuze, što je samo hiljadu i po godina kasnije dokazao samski matematičar Pitagora. U početku je korišten samo sinus, koji je izračunat kao polovina tetive kružnice opisane oko .

Tangenta se pojavila mnogo kasnije, kada su se naučnici suočili sa zadatkom da odrede dužinu senke koju bacaju objekti koji stoje okomito na površinu zemlje. Tangentu je uveo arapski matematičar Abul-Wafa u desetom vijeku. Istočni naučnik je sastavio posebne tabele za određivanje tangenta i kotangensa, ali ovo otkriće nikada nije stiglo do evropskog kontinenta.

U Evropi su tangente ponovo otkrivene tek u 14. veku: nemački matematičar Johan Muler Regiomontan je koristio ovu funkciju u astronomskim proračunima. Termin "tangenta" potiče od latinske reči tanger, što znači "dodir", a uveden je u upotrebu krajem 16. veka. Ovaj termin je korišten za opisivanje linije tangenti, odnosno tangente na jediničnu kružnicu. Regiomontan je dokazao teoremu tangente i sastavio posebne tablice vrijednosti funkcija koje su bile prikladne i za ravnu i za sfernu geometriju.

Definicija tangente

Geometrijski, tangenta se definira kao omjer suprotne i susjedne strane. Funkcija se uvijek izračunava za ugao i ne zavisi od dužine stranica. Neka nam je trokut sa stranicama A, B i C, gdje je C hipotenuza. Tangens ugla AC će se izračunati kao omjer suprotne strane B prema susjednoj strani A ili tgAC = B/A. Za ugao BC, tangenta se računa kao razlomak, čiji je brojilac dužina suprotne strane ugla A u odnosu na susedni B, koji se matematički zapisuje kao tgBC = A/B. Ugao AB se formira sa dva kraka, pa se ne može izračunati. Noge su stranice koje formiraju pravi ugao, tako da za ugao od 90 stepeni nema tangente.

Osim svoje geometrijske definicije, tangenta se lako može izraziti u terminima drugih trigonometrijskih funkcija. Dakle, za ugao A, tangenta se može izraziti pomoću omjera sinusa i kosinusa:

tgA = sinA / cosA.

Naš program vam omogućava da odredite numeričku vrijednost tangente za bilo koju vrijednost ugla. Da biste to učinili, samo odaberite odgovarajuću funkciju u izborniku i unesite vrijednost kuta u stupnjevima ili radijanima u ćeliju "Ugao". Ako trebate pronaći ugao pomoću poznate trigonometrijske funkcije, koristite funkciju arktangenta. Da biste to učinili, unesite vrijednost tangente u odgovarajuću ćeliju, nakon čega će vam kalkulator vratiti vrijednost ugla.

Pogledajmo nekoliko primjera

Proračun ugla

Neka školski zadatak daje pravokutni trokut sa stranicama A = 5 cm, B = 12 cm, C = 13 cm. Trebate pronaći vrijednosti svih uglova. Dakle, očigledno je da je ugao AB, odnosno ugao koji čine dve krake, prava linija. To je poznato iz same definicije nogu. Sada možemo pronaći tangentu ugla BC, koja će biti numerički jednaka razlomku u kojem je brojilac suprotna stranica A, a imenilac susjedna stranica B. Dakle, tanBC = A/B = 5/12 = 0,416 . Poznavajući tangentu, možemo lako izračunati odgovarajući ugao koristeći online kalkulator. Da biste to učinili, odaberite funkciju tangente u izborniku i unesite vrijednost 0,416 u ćeliju tgα. Program će trenutno prikazati vrijednost ugla kao 22,58 stepeni. Izračunavanje posljednjeg ugla nije teško, jer prema postulatu o zbiru uglova trougla, ugao AC = 180 − 90 − 22,58 = 67,42 stepeni.

Izračun tangente

U školskim problemima najčešće se koriste standardni uglovi, pa je važno da školarci doslovno napamet znaju vrijednosti osnovnih trigonometrijskih funkcija za ove uglove. Koristimo kalkulator da odredimo vrijednosti tangenta za najčešće uglove u problemima:

• tg30 = 0,577;
• tg45 = 1;
• tg60 = 1,732;
• tg90 - nije izračunato;
• tg120 = -1,732;
• tg150 = -0,577;
• tg180 = 0.

Iznad smo saznali zašto se tangenta ne izračunava za vrijednosti od 90 stepeni. Još jedna zanimljiva vrijednost je ugao od 45 stepeni. Zašto je tangenta jednaka 1? Odgovor je očigledan, jer ako je u pravokutnom trouglu jedan ugao jednak 45 stepeni, onda drugi ima istu vrijednost. Dakle, trokut je jednakokračan, njegove noge imaju istu dužinu, a njihov će omjer u svakom slučaju biti jednak 1.

Zaključak

Trigonometrija je kompleksna nauka koja praktično nema primenu u svakodnevnom životu. Međutim, bez trigonometrije ne bi bilo modernih tehnologija, pa ni specijalista primijenjenih nauka bez nje ne bi bilo nigdje. Koristite naše online kalkulatore za izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.