Rješavanje eksponencijalnih nejednačina. Eksponencijalne jednadžbe i nejednačine

U ovoj lekciji ćemo pogledati razne eksponencijalne nejednakosti i naučiti kako ih riješiti, na osnovu tehnike rješavanja najjednostavnijih eksponencijalne nejednakosti

1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije

Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Rješenje svih eksponencijalnih jednačina i nejednačina zasniva se na ovim svojstvima.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stepen, a ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y je zavisna varijabla, funkcija.

Rice. 1. Grafikon eksponencijalne funkcije

Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrujući eksponencijalnu funkciju s bazom većom od jedan i manjom od jedan, ali većom od nule.

Obje krive prolaze kroz tačku (0;1)

Svojstva eksponencijalne funkcije:

Domen: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona, raste sa, opada sa.

Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti zadanu vrijednost jednog argumenta.

Kada , kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule inkluzivno do plus beskonačno, tj. za date vrijednosti argumenta imamo monotono rastuću funkciju (). Naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule uključujući, tj. za date vrijednosti argumenta imamo monotono opadajuću funkciju ().

2. Najjednostavnije eksponencijalne nejednačine, metoda rješenja, primjer

Na osnovu navedenog, predstavljamo metodu za rješavanje jednostavnih eksponencijalnih nejednačina:

Tehnika rješavanja nejednačina:

Izjednačiti osnove stepeni;

Uporedite metriku tako što ćete sačuvati ili promeniti u suprotan znak nejednakosti.

Rješenje složenih eksponencijalnih nejednakosti obično se sastoji u svođenju na najjednostavnije eksponencijalne nejednakosti.

Osnova stepena je veća od jedan, što znači da je znak nejednakosti sačuvan:

Transformirajmo desnu stranu prema svojstvima stepena:

Osnova stepena je manja od jedan, znak nejednakosti mora biti obrnut:

Za rješavanje kvadratne nejednakosti rješavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu:

Koristeći Vietinu teoremu nalazimo korijene:

Grane parabole su usmjerene prema gore.

Dakle, imamo rješenje nejednakosti:

Lako je pretpostaviti da se desna strana može predstaviti kao stepen sa eksponentom nula:

Osnova stepena je veća od jedan, znak nejednakosti se ne menja, dobijamo:

Prisjetimo se tehnike rješavanja takvih nejednakosti.

Uzmimo u obzir razlomku-racionalnu funkciju:

Pronalazimo domen definicije:

Pronalaženje korijena funkcije:

Funkcija ima jedan korijen,

Odabiremo intervale konstantnog predznaka i određujemo predznake funkcije na svakom intervalu:

Rice. 2. Intervali konstantnosti znaka

Tako smo dobili odgovor.

odgovor:

3. Rješavanje standardnih eksponencijalnih nejednačina

Razmotrimo nejednakosti sa istim pokazateljima, ali različitim osnovama.

Jedno od svojstava eksponencijalne funkcije je da za bilo koju vrijednost argumenta uzima striktno pozitivne vrijednosti, što znači da se može podijeliti na eksponencijalnu funkciju. Podijelimo datu nejednakost desnom stranom:

Osnova stepena je veća od jedan, znak nejednakosti je sačuvan.

Ilustrujmo rješenje:

Slika 6.3 prikazuje grafikone funkcija i . Očigledno, kada je argument veći od nule, graf funkcije je veći, ova funkcija je veća. Kada su vrijednosti argumenata negativne, funkcija ide niže, manja je. Kada je argument jednak, funkcije su jednake, što znači dati poen je također rješenje zadate nejednakosti.

Rice. 3. Ilustracija na primjer 4

Transformirajmo datu nejednakost prema svojstvima stepena:

Evo nekoliko sličnih pojmova:

Podijelimo oba dijela na:

Sada nastavljamo rješavati slično kao u primjeru 4, podijelimo oba dijela sa:

Osnova stepena je veća od jedan, ostaje znak nejednakosti:

4. Grafičko rješenje eksponencijalnih nejednačina

Primjer 6 - Grafički riješite nejednačinu:

Pogledajmo funkcije na lijevoj i desnoj strani i napravimo graf za svaku od njih.

Funkcija je eksponencijalna i raste u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.

Funkcija je linearna i opada u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.

Ako se ove funkcije sijeku, odnosno sistem ima rješenje, onda je takvo rješenje jedinstveno i lako se može pogoditi. Da bismo to učinili, ponavljamo preko cijelih brojeva ()

Lako je vidjeti da je korijen ovog sistema:

Dakle, grafovi funkcija se sijeku u tački s argumentom jednakim jedan.

Sada moramo dobiti odgovor. Značenje date nejednakosti je da eksponent mora biti veći ili jednak linearna funkcija, odnosno da bude viši ili da se poklapa s njim. Odgovor je očigledan: (slika 6.4)

Rice. 4. Ilustracija na primjer 6

Dakle, pogledali smo rješavanje različitih standardnih eksponencijalnih nejednačina. Zatim prelazimo na razmatranje složenijih eksponencijalnih nejednakosti.

Bibliografija

Mordkovich A. G. Algebra i principi matematička analiza. - M.: Mnemozina. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Drofa. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Prosvetljenje.

Math. md. Matematika-ponavljanje. com. Diffur. kemsu. ru.

Zadaća

1. Algebra i počeci analize, razredi 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, br. 472, 473;

2. Riješite nejednačinu:

3. Riješite nejednakost.

a x = b je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. U njemu a veće od nule i A nije jednako jedan.

Rješavanje eksponencijalnih jednačina

Iz svojstava eksponencijalne funkcije znamo da je njen raspon vrijednosti ograničen na pozitivne realne brojeve. Tada ako je b = 0, jednadžba nema rješenja. Ista situacija se javlja i u jednačini gdje je b

Pretpostavimo sada da je b>0. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a je veća od jedinice, tada će funkcija rasti u cijelom domenu definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu A ispunjen je sledeći uslov 0

Na osnovu ovoga i primjenom teoreme o korijenu, nalazimo da jednadžba a x = b ima jedan korijen, za b>0 i pozitivan a nije jednako jednom. Da biste ga pronašli, trebate predstaviti b kao b = a c.
Onda je očigledno da Withće biti rješenje jednačine a x = a c .

Hajde da razmotrimo sljedeći primjer: riješiti jednačinu 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

Zamislimo 25 kao 5 2, dobijamo:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Ili šta je ekvivalentno:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Rezultirajuću kvadratnu jednačinu rješavamo bilo kojim od poznate metode. Dobijamo dva korijena x = 3 i x = -1.

Odgovor: 3;-1.

Rešimo jednačinu 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Napravimo zamenu: t=2 x i dobijemo sledeću kvadratnu jednačinu:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Ovu jednačinu rješavamo bilo kojom od poznatih metoda. Dobijamo korijene t1 = 1 t2 = 4

Sada rješavamo jednačine 2 x = 1 i 2 x = 4.

Odgovor: 0;2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednačina

Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednačina također se temelji na svojstvima rastućih i opadajućih funkcija. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veća od jedan, tada će funkcija rasti u cijelom domenu definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu A ispunjen je sledeći uslov 0, tada će ova funkcija biti opadajuća na cijelom skupu realnih brojeva.