Jednostavne vrste otpora. ravna krivina. Prava krivina Ravna poprečna krivina Prava i poprečna krivina

Prava krivina. Ravno poprečno savijanje Izrada dijagrama faktora unutrašnjih sila za grede Izrada dijagrama Q i M pomoću jednačina Izrada dijagrama Q i M pomoću karakterističnih presjeka (tačaka) Proračun čvrstoće za direktno savijanje greda Glavni naponi pri savijanju. Potpuna provjera čvrstoće greda Koncept centra savijanja Određivanje pomaka u gredama pri savijanju. Pojmovi deformacije greda i uslovi njihove krutosti Diferencijalna jednadžba zakrivljene ose grede Metoda direktne integracije Primeri određivanja pomaka u gredama metodom direktne integracije Fizičko značenje integracionih konstanti Metoda početnih parametara (univerzalna jednačina krive osa grede). Primjeri određivanja pomaka u gredi metodom početnih parametara Određivanje pomaka Mohrovom metodom. Pravilo A.K. Vereshchagin. Izračunavanje Mohrovog integrala prema pravilu A.K. Vereshchagina Primjeri određivanja pomaka korištenjem Mohr integralne Bibliografije Direktno savijanje. Ravna poprečna krivina. 1.1. Izrada dijagrama unutarnjih faktora sile za grede Direktno savijanje je vrsta deformacije pri kojoj u poprečnim presjecima šipke nastaju dva unutarnja faktora sile: moment savijanja i poprečna sila. U određenom slučaju, posmična sila može biti nula, tada se savijanje naziva čistim. Kod ravnog poprečnog savijanja sve sile se nalaze u jednoj od glavnih ravnina inercije štapa i okomito na njegovu uzdužnu os, a momenti se nalaze u istoj ravnini (sl. 1.1, a, b). Rice. 1.1 Poprečna sila u proizvoljnom poprečnom presjeku grede numerički je jednaka algebarskom zbiru projekcija na normalu na osu grede svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani razmatranog presjeka. Poprečna sila u m-n presjeku grede (slika 1.2, a) smatra se pozitivnom ako je rezultanta vanjskih sila lijevo od presjeka usmjerena prema gore, a desno - prema dolje, a negativna - u suprotnom slučaju (Sl. 1.2, b). Rice. 1.2 Prilikom izračunavanja poprečne sile u datom presjeku, vanjske sile koje leže lijevo od presjeka uzimaju se sa znakom plus ako su usmjerene prema gore, a sa znakom minus ako su usmjerene naniže. Za desnu stranu grede - obrnuto. 5 Moment savijanja u proizvoljnom poprečnom presjeku grede numerički je jednak algebarskom zbiru momenata oko središnje ose z presjeka svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani razmatranog presjeka. Moment savijanja u presjeku m-n grede (slika 1.3, a) smatra se pozitivnim ako je rezultujući moment vanjskih sila lijevo od presjeka usmjeren u smjeru kazaljke na satu, a desno - suprotno od kazaljke na satu, a negativan - u suprotnom smjeru. slučaj (sl. 1.3, b). Rice. 1.3 Prilikom izračunavanja momenta savijanja u datom presjeku, momenti vanjskih sila koji leže lijevo od presjeka smatraju se pozitivnim ako su usmjereni u smjeru kazaljke na satu. Za desnu stranu grede - obrnuto. Pogodno je odrediti znak momenta savijanja prema prirodi deformacije grede. Moment savijanja smatra se pozitivnim ako se u razmatranom presjeku odsječeni dio grede savija konveksno prema dolje, odnosno rastegnuta su donja vlakna. U suprotnom slučaju, moment savijanja u presjeku je negativan. Postoje diferencijalni odnosi između momenta savijanja M, posmične sile Q i intenziteta opterećenja q. 1. Prvi izvod posmične sile duž apscise presjeka jednak je intenzitetu raspoređenog opterećenja, tj. . (1.1) 2. Prvi izvod momenta savijanja duž apscise presjeka jednak je poprečnoj sili, tj. (1.2) 3. Drugi izvod u odnosu na apscisu presjeka jednak je intenzitetu raspoređenog opterećenja, tj. (1.3) Raspodijeljeno opterećenje usmjereno prema gore smatramo pozitivnim. Iz diferencijalnih odnosa između M, Q, q slijedi niz važnih zaključaka: 1. Ako je na presjeku grede: a) poprečna sila pozitivna, tada se povećava moment savijanja; b) sila smicanja je negativna, tada se moment savijanja smanjuje; c) poprečna sila je nula, tada moment savijanja ima konstantnu vrijednost (čisto savijanje); 6 d) poprečna sila prolazi kroz nulu, menjajući predznak sa plus na minus, max M M, u suprotnom slučaju M Mmin. 2. Ako nema raspoređenog opterećenja na presjeku grede, tada je poprečna sila konstantna, a moment savijanja se mijenja prema linearnom zakonu. 3. Ako je na presjeku grede ravnomjerno raspoređeno opterećenje, tada se poprečna sila mijenja po linearnom zakonu, a moment savijanja - prema zakonu kvadratne parabole, konveksno okrenute u smjeru opterećenja ( u slučaju konstruisanja dijagrama M sa strane rastegnutih vlakana). 4. U presjeku pod koncentrisanom silom, dijagram Q ima skok (po veličini sile), dijagram M ima pregib u smjeru sile. 5. U dijelu gdje se primjenjuje koncentrirani moment, dijagram M ima skok jednak vrijednosti ovog momenta. Ovo se ne odražava na Q dijagramu. Kada su grede opterećene složenim opterećenjem, crtaju se dijagrami poprečnih sila Q i momenata savijanja M. Dijagram Q(M) je graf koji prikazuje zakon promjene poprečne sile (momenta savijanja) duž dužine grede. Na osnovu analize dijagrama M i Q određuju se opasni presjeci grede. Pozitivne ordinate Q dijagrama polažu se prema gore, a negativne ordinate polažu se od osnovne linije povučene paralelno s uzdužnom osom grede. Pozitivne ordinate M dijagrama se polažu prema gore, a negativne ordinate prema gore, odnosno M dijagram se konstruiše sa strane rastegnutih vlakana. Konstrukciju Q i M dijagrama za grede treba započeti određivanjem reakcija potpore. Za gredu sa jednim stegnutim i drugim slobodnim krajem, konstrukcija dijagrama Q i M može se započeti od slobodnog kraja, bez određivanja reakcija u ulegnuću. 1.2. Konstrukcija Q i M dijagrama korištenjem Beam jednadžbe podijeljena je na dijelove unutar kojih funkcije momenta savijanja i posmične sile ostaju konstantne (nemaju diskontinuitete). Granice presjeka su tačke primjene koncentrisanih sila, parovi sila i mjesta promjene intenziteta raspoređenog opterećenja. Na svakoj sekciji uzima se proizvoljni presek na udaljenosti x od početka koordinata i za ovaj presek se sastavljaju jednadžbe za Q i M. Koristeći ove jednačine, konstruišu se dijagrami Q i M. Primer 1.1 Konstruisati dijagrame poprečnih sile Q i momente savijanja M za datu gredu (slika 1.4,a). Rješenje: 1. Određivanje reakcija podrške. Sastavljamo jednadžbe ravnoteže: iz kojih dobijamo Reakcije nosača su tačno određene. Greda ima četiri sekcije Sl. 1.4 opterećenja: CA, AD, DB, BE. 2. Konstrukcija dijagrama Q. Sekcija CA. U sekciji CA 1 crtamo proizvoljni presek 1-1 na udaljenosti x1 od lijevog kraja grede. Q definiramo kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju lijevo od sekcije 1-1: Znak minus se uzima jer je sila koja djeluje lijevo od presjeka usmjerena naniže. Izraz za Q ne zavisi od varijable x1. Dijagram Q u ovom odeljku će biti prikazan kao prava linija paralelna sa osom apscise. Sekcija AD. Na presjeku crtamo proizvoljni presjek 2-2 na udaljenosti x2 od lijevog kraja grede. Q2 definiramo kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju lijevo od sekcije 2-2: 8 Vrijednost Q je konstantna u presjeku (ne ovisi o varijabli x2). Q dijagram na presjeku je ravna linija paralelna sa osom apscise. Plot DB. Na mjestu crtamo proizvoljni dio 3-3 na udaljenosti x3 od desnog kraja grede. Definiramo Q3 kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju desno od odjeljka 3-3: Rezultirajući izraz je jednačina nagnute prave linije. Odjeljak BE. Na mjestu crtamo dio 4-4 na udaljenosti x4 od desnog kraja grede. Definiramo Q kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju desno od odjeljka 4-4: 4 Ovdje se uzima znak plus jer je rezultantno opterećenje desno od sekcije 4-4 usmjereno naniže. Na osnovu dobijenih vrednosti konstruišemo Q dijagrame (sl. 1.4, b). 3. Konstrukcija dijagrama M. Parcela m1. Moment savijanja u sekciji 1-1 definiramo kao algebarski zbir momenata sila koje djeluju lijevo od presjeka 1-1. – jednačina prave linije. Sekcija A 3 Određujemo moment savijanja u sekciji 2-2 kao algebarski zbir momenata sila koje djeluju lijevo od sekcije 2-2. – jednačina prave linije. Odjeljak DB 4 Moment savijanja u dijelu 3-3 određujemo kao algebarski zbir momenata sila koje djeluju desno od odjeljka 3-3. – jednačina kvadratne parabole. 9 Nalazimo tri vrijednosti na krajevima presjeka i u tački sa koordinatom xk, gdje je odsječak BE 1 Određujemo moment savijanja u presjeku 4-4 kao algebarski zbir momenata sila koje djeluju desno od presjeka 4-4. – jednadžba kvadratne parabole, nalazimo tri vrijednosti M4: Koristeći dobijene vrijednosti, konstruišemo dijagram M (sl. 1.4, c). U sekcijama CA i AD Q dijagram je ograničen pravim linijama paralelnim sa osom apscise, a u presecima DB i BE - kosim pravim linijama. U odsjecima C, A i B na Q dijagramu postoje skokovi veličine odgovarajućih sila, što služi kao provjera ispravnosti Q dijagrama. U dijelovima gdje je Q  0 momenti rastu s lijeva na desno. U područjima gdje je Q  0, momenti se smanjuju. Pod koncentrisanim silama dolazi do pregiba u smjeru djelovanja sila. Pod koncentrisanim momentom dolazi do skoka veličine trenutka. Ovo ukazuje na ispravnost konstrukcije dijagrama M. Primjer 1.2 Konstruirajte dijagrame Q i M za gredu na dva oslonca opterećena raspoređenim opterećenjem, čiji intenzitet varira po linearnom zakonu (slika 1.5, a). Rješenje Određivanje reakcija podrške. Rezultanta raspoređenog opterećenja jednaka je površini trokuta, koji je dijagram opterećenja i primjenjuje se na težište ovog trokuta. Sastavljamo zbir momenata svih sila u odnosu na tačke A i B: Konstruisanje dijagrama Q. Nacrtajmo proizvoljan presek na udaljenosti x od levog oslonca. Ordinata dijagrama opterećenja koja odgovara presjeku određena je iz sličnosti trokuta Rezultanta onog dijela opterećenja koji se nalazi lijevo od presjeka Poprečna sila u presjeku je jednaka Poprečna sila se mijenja prema zakonu kvadratne parabole Izjednačavajući jednadžbu poprečne sile sa nulom, nalazimo apscisu presjeka u kojem dijagram Q prolazi kroz nulu: Q dijagram je prikazan na sl. 1.5, b. Moment savijanja u proizvoljnom presjeku je jednak Moment savijanja varira prema zakonu kubične parabole: Moment savijanja ima maksimalnu vrijednost u presjeku gdje je 0, odnosno na dijagramu M prikazano na sl. 1.5, c. 1.3. Konstruisanje dijagrama Q i M iz karakterističnih preseka (tačaka) Koristeći diferencijalne zavisnosti između M, Q, q i zaključaka koji iz njih proizilaze, preporučljivo je konstruisati dijagrame Q i M iz karakterističnih preseka (bez sastavljanja jednačina). Pomoću ove metode izračunavaju se vrijednosti Q i M u karakterističnim presjecima. Karakteristični presjeci su granični presjeci presjeka, kao i presjeci u kojima dati interni faktor sile ima ekstremnu vrijednost. U granicama između karakterističnih presjeka, obris 12 dijagrama se uspostavlja na osnovu diferencijalnih ovisnosti između M, Q, q i zaključaka koji iz njih proizlaze. Primjer 1.3 Konstruirajte dijagrame Q i M za gredu prikazanu na Sl. 1.6, a. Rice. 1.6. Rješenje: Q i M dijagrame počinjemo s konstruiranjem od slobodnog kraja grede, dok reakcije u ugradnji nije potrebno određivati. Greda ima tri utovarne sekcije: AB, BC, CD. Nema raspoređenog opterećenja u sekcijama AB i BC. Smične sile su konstantne. Q dijagram je ograničen na prave linije paralelne sa x-osi. Momenti savijanja variraju linearno. Dijagram M je ograničen pravim linijama nagnutim prema osi apscise. Na sekciji CD je jednoliko raspoređeno opterećenje. Poprečne sile variraju prema linearnom zakonu, a momenti savijanja - prema zakonu kvadratne parabole s konveksnošću u smjeru raspoređenog opterećenja. Na granici presjeka AB i BC poprečna sila se naglo mijenja. Na granici presjeka BC i CD, moment savijanja se naglo mijenja. 1. Konstrukcija dijagrama Q. Izračunavamo vrijednosti poprečnih sila Q u graničnim presjecima presjeka: Na osnovu rezultata proračuna konstruiramo dijagram Q za gredu (sl. 1, b). Iz dijagrama Q slijedi da je poprečna sila na presjeku CD jednaka nuli u presjeku koji se nalazi na udaljenosti qa a q od početka ovog presjeka. U ovom dijelu, moment savijanja ima svoju maksimalnu vrijednost. 2. Izrada dijagrama M. Izračunavamo vrijednosti momenata savijanja u graničnim presjecima presjeka: U maksimalnom momentu u presjeku Na osnovu rezultata proračuna konstruišemo dijagram M (sl. 5.6, c). Primjer 1.4 Koristeći dati dijagram momenata savijanja (Sl. 1.7, a) za gredu (Sl. 1.7, b), odredite djelujuća opterećenja i konstruirajte dijagram Q. Krug označava vrh kvadratne parabole. Rješenje: Odredimo opterećenja koja djeluju na gredu. Presjek AC je opterećen ravnomjerno raspoređenim opterećenjem, jer je dijagram M u ovom presjeku kvadratna parabola. U referentnoj sekciji B, koncentrirani moment se primjenjuje na gredu, djelujući u smjeru kazaljke na satu, jer na dijagramu M imamo skok naviše za veličinu momenta. U NE presjeku, greda nije opterećena, jer je M dijagram u ovom dijelu ograničen nagnutom ravnom linijom. Reakcija oslonca B određuje se iz uslova da je moment savijanja u presjeku C jednak nuli, tj. Da bismo odredili intenzitet raspoređenog opterećenja, kreiramo izraz za moment savijanja u presjeku A kao zbir momenata sile na desnoj strani i izjednačiti je sa nulom.Sada odredimo reakciju oslonca A. Za to ćemo sastaviti izraz za momente savijanja u presjeku kao zbir momenata sila na lijevoj strani.Proračunski dijagram grede sa opterećenjem prikazan je na sl. 1.7, c. Počevši od lijevog kraja grede, izračunavamo vrijednosti poprečnih sila u graničnim presjecima presjeka: Dijagram Q je prikazan na Sl. 1.7, d. Razmatrani problem se može riješiti iscrtavanjem funkcionalnih ovisnosti za M, Q u svakom dijelu. Odaberimo ishodište koordinata na lijevom kraju grede. U AC presjeku, dijagram M je izražen kvadratnom parabolom, čija jednačina ima oblik Konstante a, b, c nalaze se iz uslova da parabola prolazi kroz tri tačke sa poznatim koordinatama: Zamjena koordinata tačaka U jednadžbu parabole dobijamo: Izraz za moment savijanja će biti Diferenciranjem funkcije M1 dobijamo zavisnost za poprečnu silu Nakon diferenciranja funkcije Q dobijamo izraz za intenzitet raspoređenog opterećenja. U preseku NE, izraz za moment savijanja je predstavljen u obliku linearne funkcije.Za određivanje konstanti a i b koristimo uslove da ova prava linija prolazi kroz dve tačke čije su koordinate poznate. dobiti dvije jednadžbe: ,b iz kojih imamo 20. Jednačina za moment savijanja u presjeku NE će biti Nakon dvostruke diferencijacije M2, naći ćemo. Koristeći pronađene vrijednosti M i Q, konstruiramo dijagrame momenti savijanja i posmične sile za gredu. Pored raspoređenog opterećenja, koncentrisane sile se primjenjuju na gredu u tri sekcije, gdje postoje skokovi na dijagramu Q i koncentrirani momenti u dijelu gdje je udar na dijagramu M. Primjer 1.5 Za gredu (slika 1.8, a) odrediti racionalni položaj šarke C, pri kojem je najveći moment savijanja u rasponu jednak momentu savijanja u ugradnji (u apsolutnoj vrijednosti). Konstruisati dijagrame Q i M. Rješenje Određivanje reakcija potpore. Unatoč činjenici da je ukupan broj potpornih karika četiri, greda je statički određena. Moment savijanja u šarki C je nula, što nam omogućava da napravimo dodatnu jednačinu: zbroj momenata oko šarke svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani ove šarke jednak je nuli. Sastavimo zbir momenata svih sila desno od šarke C. Dijagram Q za gredu je ograničen kosom ravnom linijom, pošto je q = const. Određujemo vrijednosti poprečnih sila u graničnim presjecima grede: Apscisa xK presjeka, gdje je Q = 0, određena je jednadžbom iz koje je dijagram M za gredu ograničen kvadratnom parabolom. Izrazi za momente savijanja u presjecima, gdje je Q = 0, odnosno u ugradnji se zapisuju na sljedeći način: Iz uvjeta jednakosti momenata dobijamo kvadratnu jednačinu za željeni parametar x: Realna vrijednost x2x 1.029 m. Određujemo numeričke vrijednosti poprečnih sila i momenata savijanja u karakterističnim presjecima grede.Slika 1.8, b prikazuje dijagram Q, a na sl. 1.8, c – dijagram M. Razmatrani problem bi se mogao riješiti podjelom zglobne grede na njene sastavne elemente, kao što je prikazano na sl. 1.8, d. Na početku se određuju reakcije nosača VC i VB. Dijagrami Q i M konstruiraju se za viseću gredu SV iz djelovanja opterećenja primijenjenog na nju. Zatim se kreću do glavne grede AC, opterećujući je dodatnom silom VC, koja je sila pritiska grede CB na gredu AC. Nakon toga se grade dijagrami Q i M za gredu AC. 1.4. Proračun čvrstoće za direktno savijanje greda Proračun čvrstoće na osnovu normalnih i posmičnih napona. Kada se greda savija direktno u svojim poprečnim presjecima, nastaju normalni i tangencijalni naponi (slika 1.9). 18 Fig. 1.9 Normalni naponi su povezani s momentom savijanja, tangencijalni naponi povezani su sa posmičnom silom. Kod ravnog čistog savijanja, posmična naprezanja su nula. Normalni naponi u proizvoljnoj tački poprečnog presjeka grede određeni su formulom (1.4) gdje je M moment savijanja u datom presjeku; Iz – moment inercije presjeka u odnosu na neutralnu osu z; y je udaljenost od tačke u kojoj je određen normalni napon do neutralne z ose. Normalni naponi duž visine presjeka se mijenjaju po linearnom zakonu i dostižu svoju najveću vrijednost u tačkama koje su udaljene od neutralne ose.Ako je presjek simetričan u odnosu na neutralnu os (sl. 1.11), onda Sl. 1.11 najveća vlačna i tlačna naprezanja su ista i određena su formulom,  je aksijalni moment otpora presjeka pri savijanju. Za pravougaoni presek širine b i visine h: (1.7) Za kružni presek prečnika d: (1.8) Za prstenasti presek   – unutrašnji i spoljašnji prečnik prstena, respektivno. Za grede od plastičnih materijala najracionalniji su simetrični oblici od 20 presjeka (I-greda, kutijasti, prstenasti). Za grede od krhkih materijala koji ne odolijevaju podjednako napetosti i kompresiji, racionalni su presjeci koji su asimetrični u odnosu na neutralnu z-os (T-greda, U-oblika, asimetrična I-greda). Za grede konstantnog presjeka izrađene od plastičnih materijala simetričnog oblika poprečnog presjeka, uvjet čvrstoće se zapisuje na sljedeći način: (1.10) gdje je Mmax maksimalni moment savijanja u modulu; – dozvoljeno naprezanje za materijal. Za grede konstantnog poprečnog presjeka izrađene od plastičnih materijala asimetričnih oblika presjeka, uvjet čvrstoće se zapisuje u sljedećem obliku: (1. 11) Za grede od krhkih materijala sa presjecima koji su asimetrični u odnosu na neutralnu osu, ako je dijagram M nedvosmislen (slika 1.12), potrebno je zapisati dva uslova čvrstoće - rastojanje od neutralne ose do najudaljenije tačke rastegnute i komprimirane zone opasnog dijela; P – dozvoljena naprezanja za zatezanje i sabijanje, respektivno. Sl.1.12. 21 Ako dijagram momenata savijanja ima presjeke različitih predznaka (slika 1.13), tada je pored provjere presjeka 1-1, gdje djeluje Mmax, potrebno izračunati najveća vlačna naprezanja za presjek 2-2 (sa najvećim moment suprotnog predznaka). Rice. 1.13 Uz glavni proračun pomoću normalnih napona, u nekim slučajevima je potrebno provjeriti čvrstoću grede pomoću tangencijalnih napona. Tangencijalni naponi u gredama izračunavaju se pomoću formule D. I. Žuravskog (1.13) gdje je Q poprečna sila u poprečnom presjeku grede koja se razmatra; Szots – statički moment u odnosu na neutralnu os područja dijela presjeka koji se nalazi na jednoj strani prave linije koja je povučena kroz datu tačku i paralelna sa osom z; b – širina presjeka na nivou tačke koja se razmatra; Iz je moment inercije cijelog presjeka u odnosu na neutralnu z os. U mnogim slučajevima, maksimalna posmična naprezanja se javljaju na razini neutralnog sloja grede (pravokutnik, I-greda, krug). U takvim slučajevima, uvjet čvrstoće za tangencijalna naprezanja zapisuje se u obliku, (1.14) gdje je Qmax najveća poprečna sila po veličini; – dozvoljeno naprezanje na smicanje za materijal. Za pravokutni presjek grede, uvjet čvrstoće ima oblik (1.15) A je površina poprečnog presjeka grede. Za kružni presjek, uvjet čvrstoće je predstavljen u obliku (1.16) Za I-presjek, uvjet čvrstoće se piše na sljedeći način: (1.17) gdje je Szo,tmsax statički moment polupresjeka u odnosu na neutralni presjek. osa; d – debljina zida I-grede. Obično se dimenzije poprečnog presjeka grede određuju iz stanja čvrstoće pod normalnim naprezanjima. Provjera čvrstoće greda posmičnim naprezanjem obavezna je za kratke grede i grede bilo koje dužine ako su u blizini oslonaca koncentrisane sile velike veličine, kao i za drvene, zakivane i zavarene grede. Primjer 1.6 Provjerite čvrstoću grede kutijastog presjeka (slika 1.14) koristeći normalne i posmične naprezanja, ako je MPa. Konstruirajte dijagrame u opasnom dijelu grede. Rice. 1.14 Rješenje 23 1. Izrada dijagrama Q i M pomoću karakterističnih presjeka. S obzirom na lijevu stranu grede, dobijamo dijagram poprečnih sila prikazan na Sl. 1.14, c. Dijagram momenata savijanja prikazan je na sl. 5.14, g. 2. Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka 3. Najveća normalna naprezanja u presjeku C, gdje Mmax djeluje (modulo): MPa. Maksimalni normalni naponi u gredi su skoro jednaki dozvoljenim. 4. Najveća tangencijalna naprezanja u presjeku C (ili A), gdje djeluje max Q (modulo): Ovdje je statički moment površine polupresjeka u odnosu na neutralnu osu; b2 cm – širina presjeka u nivou neutralne ose. 5. Tangencijalni naponi u tački (u zidu) u presjeku C: Sl. 1.15 Ovdje je Szomc 834.5 108 cm3 statički moment površine presjeka koji se nalazi iznad prave koja prolazi kroz tačku K1; b2 cm – debljina zida na nivou tačke K1. Dijagrami  i  za presjek C grede prikazani su na sl. 1.15. Primjer 1.7 Za gredu prikazanu na Sl. 1.16, a, potrebno: 1. Konstruirati dijagrame poprečnih sila i momenata savijanja duž karakterističnih presjeka (tačaka). 2. Odrediti dimenzije poprečnog presjeka u obliku kruga, pravokutnika i I-grede iz uvjeta čvrstoće pod normalnim naprezanjima, uporediti površine poprečnog presjeka. 3. Provjerite odabrane dimenzije presjeka grede prema tangencijalnom naprezanju. Zadato: Rješenje: 1. Odrediti reakcije nosača grede Provjera: 2. Konstrukcija dijagrama Q i M. Vrijednosti poprečnih sila u karakterističnim presjecima grede 25 Sl. 1.16 U sekcijama CA i AD, intenzitet opterećenja q = konst. Shodno tome, u ovim područjima Q dijagram je ograničen na prave linije nagnute prema osi. U presjeku DB, intenzitet raspoređenog opterećenja je q = 0, stoga je u ovom dijelu dijagram Q ograničen na pravu liniju paralelnu s osom x. Q dijagram za gredu je prikazan na Sl. 1.16, b. Vrijednosti momenata savijanja u karakterističnim presjecima grede: U drugom presjeku određujemo apscisu x2 presjeka u kojem je Q = 0: Maksimalni moment u drugom presjeku Dijagram M za gredu je prikazan na sl. 1.16, c. 2. Na osnovu normalnih napona kreiramo stanje čvrstoće, iz kojeg određujemo traženi aksijalni moment otpora presjeka iz izraza određenog potrebnim prečnikom d grede kružnog presjeka. Površina kružnog presjeka. Za gredu pravougaonog presjeka. Potrebna visina presjeka Površina pravokutnog presjeka Odredite potreban broj I-grede. Koristeći tablice GOST 8239-89, nalazimo najbližu veću vrijednost aksijalnog momenta otpora 597 cm3, što odgovara I-gredi br. 33 sa karakteristikama: A z 9840 cm4. Provjera tolerancije: (preopterećenje za 1% od dozvoljenih 5%) najbliža I-greda br. 30 (Š 2 cm3) dovodi do značajnog preopterećenja (više od 5%). Konačno prihvatamo I-gredu br. 33. Upoređujemo površine okruglog i pravougaonog preseka sa najmanjom površinom A I-grede: Od tri razmatrana preseka, najekonomičniji je presek I-grede. 3. Izračunavamo najveća normalna naprezanja u opasnom preseku 27 I-grede (slika 1.17, a): Normalni naponi u zidu blizu prirubnice preseka I-grede Dijagram normalnih napona u opasnom preseku grede greda je prikazana na sl. 1.17, b. 5. Odredite najveće posmične napone za odabrane presjeke grede. a) pravougaoni presjek grede: b) okrugli presjek grede: c) presjek I-grede: Tangencijalni naponi u zidu blizu prirubnice I-grede u opasnom presjeku A (desno) (u tački 2): dijagram tangencijalnih naprezanja u opasnim presjecima I-grede prikazan je na Sl. 1.17, c. Maksimalna tangencijalna naprezanja u gredi ne prelaze dozvoljena naprezanja. Primjer 1.8. Odredite dopušteno opterećenje na gredi (sl. 1.18, a), ako je 60 MPa, date su dimenzije poprečnog presjeka (sl. 1.19, a). Izraditi dijagram normalnih napona u opasnom presjeku grede pri dopuštenom opterećenju. Slika 1.18 1. Određivanje reakcija nosača greda. Zbog simetrije sistema 2. Konstrukcija dijagrama Q i M pomoću karakterističnih presjeka. Poprečne sile u karakterističnim presjecima grede: Dijagram Q za gredu je prikazan na Sl. 5.18, b. Momenti savijanja u karakterističnim presjecima grede Za drugu polovicu grede ordinate M su duž osi simetrije. Dijagram M za gredu je prikazan na sl. 1.18, b. 3. Geometrijske karakteristike presjeka (sl. 1.19). Liku dijelimo na dva jednostavna elementa: I-greda - 1 i pravougaonik - 2. Sl. 1.19 Prema asortimanu za I-gredu br. 20 imamo Za pravougaonik: Statički moment površine presjeka u odnosu na osu z1 Udaljenost od ose z1 do centra gravitacije presjeka Moment inercije presjeka relativni na glavnu centralnu osu z čitavog preseka prema formulama za prelazak na paralelne ose 4. Uslov čvrstoće za normalna naprezanja za opasnu tačku „a” (Sl. 1.19) u opasnom preseku I (Sl. 1.18): Nakon zamene numerički podaci 5. Uz dozvoljeno opterećenje u opasnom presjeku, normalni naponi u tačkama “a” i “b” će biti jednaki: Dijagram normalnih naprezanja za opasan dio 1-1 je prikazan na sl. 1.19, b.

Prava krivina- ovo je vrsta deformacije u kojoj u poprečnim presjecima štapa nastaju dva unutarnja faktora sile: moment savijanja i poprečna sila.

Čista krivina- ovo je poseban slučaj direktnog savijanja, u kojem se u poprečnim presjecima štapa javlja samo moment savijanja, a poprečna sila je nula.

Primjer čistog zavoja - presjeka CD na štapu AB. Moment savijanja je količina Pa par vanjskih sila koje uzrokuju savijanje. Od ravnoteže dijela štapa lijevo od poprečnog presjeka mn proizilazi da su unutrašnje sile raspoređene po ovoj sekciji statički ekvivalentne momentu M, jednak i suprotan momentu savijanja Pa.

Da bismo pronašli raspodjelu ovih unutrašnjih sila po poprečnom presjeku, potrebno je razmotriti deformaciju štapa.

U najjednostavnijem slučaju, štap ima uzdužnu ravninu simetrije i podložan je djelovanju vanjskih parova sila koje se nalaze u ovoj ravnini. Tada će se savijanje dogoditi u istoj ravni.

Osa šipke nn 1 je linija koja prolazi kroz težišta njegovih poprečnih presjeka.

Neka poprečni presjek štapa bude pravougaonik. Nacrtajmo dvije okomite linije na njegovim rubovima mm I str. Prilikom savijanja ove linije ostaju ravne i rotiraju se tako da ostaju okomite na uzdužna vlakna štapa.

Dalja teorija savijanja temelji se na pretpostavci da ne samo linije mm I str, ali cijeli ravan poprečni presjek štapa nakon savijanja ostaje ravan i normalan na uzdužna vlakna štapa. Stoga, tokom savijanja, poprečni presjeci mm I str rotiraju jedna u odnosu na drugu oko osi okomitih na ravan savijanja (ravnina crtanja). U ovom slučaju, uzdužna vlakna na konveksnoj strani doživljavaju napetost, a vlakna na konkavnoj strani doživljavaju kompresiju.

Neutralna površina- Ovo je površina koja ne doživljava deformacije pri savijanju. (Sada se nalazi okomito na crtež, deformisanu os štapa nn 1 pripada ovoj površini).

Neutralna os presjeka- ovo je sjecište neutralne površine s bilo kojim poprečnim presjekom (sada se također nalazi okomito na crtež).

Neka je proizvoljno vlakno na udaljenosti y sa neutralne površine. ρ – radijus zakrivljenosti zakrivljene ose. Dot O– centar zakrivljenosti. Hajde da povučemo liniju n 1 s 1 paralelno mm.ss 1– apsolutno izduženje vlakana.

Relativna ekstenzija εx vlakna

Iz toga slijedi deformacija uzdužnih vlakana proporcionalno udaljenosti y od neutralne površine i obrnuto proporcionalno polumjeru zakrivljenosti ρ .

Uzdužno izduženje vlakana konveksne strane štapa je praćeno bočno suženje, a uzdužno skraćenje konkavne strane je bočna ekspanzija, kao u slučaju jednostavnog istezanja i kompresije. Zbog toga se mijenja izgled svih poprečnih presjeka, okomite stranice pravokutnika postaju nagnute. Bočna deformacija z:

μ - Poissonov omjer.

Zbog ovog izobličenja, sve ravne linije poprečnog presjeka paralelne su s osi z, savijeni su tako da ostanu normalni na bočne strane presjeka. Radijus zakrivljenosti ove krive R biće više od ρ u istom pogledu kao ε x u apsolutnoj vrijednosti je veći od ε z i dobijamo

Ove deformacije uzdužnih vlakana odgovaraju naponima

Napon u bilo kojem vlaknu je proporcionalan njegovoj udaljenosti od neutralne ose n 1 n 2. Položaj neutralne ose i radijus zakrivljenosti ρ – dvije nepoznanice u jednačini za σ x – može se odrediti iz uslova da sile raspoređene na bilo koji poprečni presjek formiraju par sila koje uravnotežuju vanjski moment M.

Sve navedeno vrijedi i ako štap nema uzdužnu ravan simetrije u kojoj djeluje moment savijanja, sve dok moment savijanja djeluje u aksijalnoj ravni, koja sadrži jedan od dva glavne osovine presjek. Ovi avioni se zovu glavne ravni savijanja.

Kada postoji ravan simetrije i moment savijanja djeluje u ovoj ravni, otklon se događa upravo u njoj. Momenti unutrašnjih sila u odnosu na osu z uravnotežiti spoljašnji momenat M. Trenuci napora oko ose y međusobno se uništavaju.

Za konzolnu gredu opterećenu raspoređenim opterećenjem intenziteta kN/m i koncentriranim momentom od kN m (slika 3.12), potrebno je: konstruirati dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja, odabrati gredu kružnog poprečnog presjeka sa dozvoljeno normalno naprezanje kN/cm2 i provjeriti čvrstoću grede prema tangencijalnim naprezanjima uz dopušteno tangencijalno naprezanje kN/cm2. Dimenzije grede m; m; m.

Proračunska shema za problem direktnog poprečnog savijanja

Rice. 3.12

Rješenje problema "ravno poprečno savijanje"

Određivanje reakcija podrške

Horizontalna reakcija u ugradnji je nula, jer vanjska opterećenja u smjeru z-ose ne djeluju na gredu.

Odabiremo smjerove preostalih reaktivnih sila koje nastaju u ugradnji: usmjerit ćemo vertikalnu reakciju, na primjer, prema dolje, a trenutak - u smjeru kazaljke na satu. Njihove vrijednosti se određuju iz statičkih jednačina:

Prilikom sastavljanja ovih jednadžbi smatramo da je trenutak pozitivan pri rotaciji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a projekcija sile je pozitivna ako se njen smjer poklapa sa pozitivnim smjerom y-ose.

Iz prve jednačine nalazimo trenutak na pečatu:

Iz druge jednadžbe - vertikalna reakcija:

Pozitivne vrijednosti koje smo dobili za trenutak i vertikalna reakcija u ugradnji ukazuju na to da smo pogodili njihov smjer.

U skladu sa prirodom pričvršćivanja i opterećenja grede, njegovu dužinu dijelimo na dva dijela. Duž granica svakog od ovih presjeka ocrtaćemo četiri poprečna presjeka (vidi sliku 3.12), u kojima ćemo metodom presjeka (ROZU) izračunati vrijednosti sila smicanja i momenata savijanja.

Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desnu stranu grede. Zamijenimo njegovo djelovanje na preostaloj lijevoj strani sa silom rezanja i momentom savijanja. Radi praktičnosti izračunavanja njihovih vrijednosti, pokrijmo odbačenu desnu stranu grede komadom papira, poravnavajući lijevi rub lista s presjekom koji se razmatra.

Podsjetimo da posmična sila koja nastaje u bilo kojem poprečnom presjeku mora uravnotežiti sve vanjske sile (aktivne i reaktivne) koje djeluju na dio grede koji se smatra (to jest, vidljivim) od nas. Prema tome, sila smicanja mora biti jednaka algebarskom zbroju svih sila koje vidimo.

Predstavimo i pravilo predznaka za silu smicanja: vanjska sila koja djeluje na dio grede koja se razmatra i koja teži da ovaj dio "zarotira" u odnosu na presjek u smjeru kazaljke na satu uzrokuje pozitivnu silu smicanja u presjeku. Takva vanjska sila je uključena u algebarski zbir za definiciju sa znakom plus.

U našem slučaju vidimo samo reakciju oslonca, koji rotira nama vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (u odnosu na rub papira) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zbog toga

kN.

Moment savijanja u bilo kojem presjeku mora uravnotežiti moment koji stvaraju nama vidljive vanjske sile u odnosu na dotični presjek. Prema tome, jednak je algebarskom zbiru momenata svih sila koje djeluju na dio grede koji razmatramo, u odnosu na presjek koji se razmatra (drugim riječima, u odnosu na ivicu komada papira). U tom slučaju vanjsko opterećenje, savijanje razmatranog dijela grede s konveksnošću prema dolje, uzrokuje pozitivan moment savijanja u presjeku. A trenutak stvoren takvim opterećenjem uključen je u algebarski zbir za određivanje sa znakom "plus".

Vidimo dva pokušaja: reakciju i završni trenutak. Međutim, poluga sile u odnosu na dio 1 je nula. Zbog toga

kNm.

Uzeli smo znak „plus“ jer reaktivni moment savija dio snopa koji nam je vidljiv konveksno prema dolje.

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada, za razliku od prvog dijela, sila ima rame: m. Dakle

kN; kNm.

Odjeljak 3. Zatvarajući desnu stranu grede, nalazimo

kN;

Odjeljak 4. Pokrijte lijevu stranu grede čaršavom. Onda

kNm.

kNm.

.

Koristeći pronađene vrijednosti, konstruiramo dijagrame sila smicanja (sl. 3.12, b) i momenata savijanja (sl. 3.12, c).

Pod neopterećenim područjima, dijagram sila smicanja ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q - duž nagnute ravne linije prema gore. Ispod reakcije oslonca na dijagramu je skok naniže za vrijednost ove reakcije, odnosno za 40 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lom ispod reakcije oslonca. Ugao savijanja usmjeren je prema reakciji oslonca. Pod raspoređenim opterećenjem q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U dijelu 6 na dijagramu nalazi se ekstremum, jer dijagram sile smicanja na ovom mjestu prolazi kroz nultu vrijednost.

Odredite potreban promjer poprečnog presjeka grede

Uvjet normalnog naprezanja ima oblik:

,

gdje je moment otpora grede pri savijanju. Za gredu kružnog poprečnog preseka ona je jednaka:

.

Najveća apsolutna vrijednost momenta savijanja javlja se u trećem dijelu grede: kN cm

Tada se traženi promjer grede određuje formulom

cm.

Prihvatamo mm. Onda

kN/cm2 kN/cm2.

"Prenapon" je

,

šta je dozvoljeno.

Čvrstoću grede provjeravamo najvećim posmičnim naponima

Najveća tangencijalna naprezanja koja nastaju u poprečnom presjeku grede kružnog poprečnog presjeka izračunavaju se po formuli

,

gdje je površina poprečnog presjeka.

Prema dijagramu, najveća algebarska vrijednost sile smicanja jednaka je kN. Onda

kN/cm2 kN/cm2,

odnosno uslov čvrstoće za tangencijalna napona je takođe zadovoljen i to sa velikom marginom.

Primjer rješavanja problema "ravno poprečno savijanje" br.2

Stanje primjera problema na ravno poprečno savijanje

Za jednostavno oslonjenu gredu opterećenu raspoređenim opterećenjem intenziteta kN/m, koncentriranom silom kN i koncentriranim momentom kN m (slika 3.13), potrebno je konstruirati dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja i odabrati gredu I-grede. poprečni presjek sa dozvoljenim normalnim naprezanjem kN/cm2 i dopuštenim tangencijalnim naprezanjem kN/cm2. Raspon grede m.

Primjer problema ravnog savijanja - proračunski dijagram

Rice. 3.13

Rješenje primjera problema o ravnom savijanju

Određivanje reakcija podrške

Za datu gredu sa jednostavnom osloncem potrebno je pronaći tri reakcije oslonca: , i . Budući da na gredu djeluju samo vertikalna opterećenja okomita na njegovu os, horizontalna reakcija fiksnog zglobnog nosača A je nula: .

Smjerovi vertikalnih reakcija biraju se proizvoljno. Usmjerimo, na primjer, obje vertikalne reakcije prema gore. Da bismo izračunali njihove vrijednosti, napravimo dvije statičke jednadžbe:

Podsjetimo da je rezultanta linearnog opterećenja, ravnomjerno raspoređena na presjeku dužine l, jednaka , odnosno jednaka je površini dijagrama ovog opterećenja i primjenjuje se na težište ovog opterećenja. dijagram, odnosno na sredini dužine.

;

kN.

Provjerimo: .

Podsjetimo da se sile čiji se smjer poklapa s pozitivnim smjerom y-ose projiciraju (projiciraju) na ovu os sa znakom plus:

to je istina.

Izrađujemo dijagrame sila smicanja i momenata savijanja

Dužinu grede dijelimo na zasebne dijelove. Granice ovih sekcija su tačke primene koncentrisanih sila (aktivnih i/ili reaktivnih), kao i tačke koje odgovaraju početku i kraju raspoređenog opterećenja. U našem problemu postoje tri takva dijela. Duž granica ovih presjeka ocrtaćemo šest poprečnih presjeka u kojima ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja (slika 3.13, a).

Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desnu stranu grede. Radi praktičnosti izračunavanja sile smicanja i momenta savijanja koji nastaju u ovom dijelu, dio grede koji smo odbacili prekriti ćemo komadom papira, poravnavajući lijevi rub lista papira sa samim presjekom.

Sila smicanja u presjeku grede jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) koje vidimo. U ovom slučaju vidimo reakciju oslonca i linearno opterećenje q raspoređeno na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zbog toga

kN.

Znak plus se uzima jer sila rotira nama vidljivi dio snopa u odnosu na prvi dio (rub papira) u smjeru kazaljke na satu.

Moment savijanja u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje vidimo u odnosu na presjek koji se razmatra (odnosno u odnosu na ivicu komada papira). Vidimo reakciju potpore i linearno opterećenje q raspoređeno na beskonačno malu dužinu. Međutim, sila ima polugu od nule. Rezultirajuće linearno opterećenje je također nula. Zbog toga

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada vidimo reakciju i opterećenje q koji djeluju na dio dužine . Rezultirajuće linearno opterećenje je jednako . Pričvršćuje se na sredini dijela dužine. Zbog toga

Podsjetimo, prilikom određivanja predznaka momenta savijanja, mi mentalno oslobađamo dio grede koji vidimo od svih stvarnih potpornih pričvršćenja i zamišljamo ga kao da je stegnut u razmatranom presjeku (odnosno, mentalno zamišljamo lijevi rub komad papira kao čvrsti uložak).

Odjeljak 3. Zatvorimo desnu stranu. Dobijamo

Odjeljak 4. Pokrijte desnu stranu grede čaršavom. Onda

Sada, da provjerimo ispravnost proračuna, pokrijmo lijevu stranu grede komadom papira. Vidimo koncentriranu silu P, reakciju desnog oslonca i linearno opterećenje q raspoređeno na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zbog toga

kNm.

Odnosno, sve je tačno.

Odjeljak 5. Kao i prije, zatvorite lijevu stranu grede. Imat će

kN;

kNm.

Odjeljak 6. Ponovo zatvorimo lijevu stranu grede. Dobijamo

kN;

Koristeći pronađene vrijednosti, konstruiramo dijagrame posmičnih sila (sl. 3.13, b) i momenata savijanja (sl. 3.13, c).

Pazimo da ispod neopterećenog područja dijagram sila smicanja ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q - duž ravne linije koja se spušta prema dolje. Na dijagramu su tri skoka: ispod reakcije - gore za 37,5 kN, ispod reakcije - gore za 132,5 kN i pod silom P - dolje za 50 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo lomove pod koncentrisanom silom P i pod reakcijama oslonca. Uglovi loma usmjereni su prema ovim silama. Pod raspoređenim opterećenjem intenziteta q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. Ispod koncentrisanog momenta dolazi do skoka od 60 kN m, odnosno po veličini samog momenta. U sekciji 7 na dijagramu nalazi se ekstrem, budući da dijagram sile smicanja za ovu dionicu prolazi kroz nultu vrijednost (). Odredimo udaljenost od presjeka 7 do lijevog oslonca.

Počećemo s najjednostavnijim slučajem, takozvanim čistim savijanjem.

Čisto savijanje je poseban slučaj savijanja u kojem je poprečna sila u presjecima grede nula. Čisto savijanje može nastati samo kada je vlastita težina grede toliko mala da se njen utjecaj može zanemariti. Za grede na dva nosača, primjeri opterećenja koja uzrokuju čisto

savijanje, prikazano na sl. 88. U presjecima ovih greda, gdje je Q = 0 i, prema tome, M = const; dolazi do čistog savijanja.

Sile u bilo kojem dijelu grede tijekom čistog savijanja svode se na par sila čija ravnina djelovanja prolazi kroz os grede, a moment je konstantan.

Naponi se mogu odrediti na osnovu sljedećih razmatranja.

1. Tangencijalne komponente sila duž elementarnih površina u poprečnom presjeku grede ne mogu se svesti na par sila čija je ravan djelovanja okomita na ravninu presjeka. Iz toga slijedi da je sila savijanja u presjeku rezultat djelovanja duž elementarnih područja

samo normalne sile, pa se stoga čistim savijanjem naponi smanjuju samo na normalu.

2. Da bi se napori na elementarnim lokacijama sveli na samo par sila, među njima mora biti i pozitivnih i negativnih. Stoga moraju postojati i zatezna i kompresiona vlakna grede.

3. Zbog činjenice da su sile u različitim presjecima iste, naponi u odgovarajućim tačkama presjeka su isti.

Razmotrimo neki element blizu površine (slika 89, a). S obzirom da se na njegovu donju ivicu, koja se poklapa s površinom grede, ne primjenjuju sile, na njoj nema naprezanja. Dakle, na gornjoj ivici elementa nema naprezanja, jer u suprotnom element ne bi bio u ravnoteži.S obzirom na visinski susedni element (sl. 89, b), dolazimo do

Isti zaključak itd. Iz toga slijedi da nema naprezanja duž horizontalnih rubova nijednog elementa. S obzirom na elemente koji čine horizontalni sloj, počevši od elementa blizu površine grede (Sl. 90), dolazimo do zaključka da nema naprezanja duž bočnih vertikalnih rubova nijednog elementa. Dakle, stanje naprezanja bilo kojeg elementa (slika 91, a), au granici, vlakana, treba prikazati kao što je prikazano na sl. 91,b, tj. može biti ili aksijalna napetost ili aksijalna kompresija.

4. Zbog simetričnosti primjene vanjskih sila, presjek po sredini dužine grede nakon deformacije treba ostati ravan i normalan na os grede (Sl. 92, a). Iz istog razloga, preseci u četvrtinama dužine grede takođe ostaju ravni i normalni na osu grede (Sl. 92, b), osim ako krajnji delovi grede tokom deformacije ostanu ravni i normalni na osu grede. greda. Sličan zaključak vrijedi za presjeke u osmini dužine grede (sl. 92, c), itd. Prema tome, ako tokom savijanja vanjski dijelovi grede ostanu ravni, onda za bilo koji presjek ostaje

Ispravna je izjava da nakon deformacije ostaje ravna i normalna na os zakrivljene grede. Ali u ovom slučaju, očito je da se promjena izduženja vlakana grede duž njegove visine treba dogoditi ne samo kontinuirano, već i monotono. Ako slojem nazovemo skup vlakana koja imaju ista izduženja, onda iz rečenog slijedi da rastegnuta i stisnuta vlakna grede treba da budu smještena na suprotnim stranama sloja u kojem su izduženja vlakana jednaka. na nulu. Nazvaćemo vlakna čija su izduženja nula neutralna; sloj koji se sastoji od neutralnih vlakana je neutralni sloj; linija presjeka neutralnog sloja s ravninom poprečnog presjeka grede - neutralna linija ovog presjeka. Zatim, na osnovu prethodnog rezonovanja, može se tvrditi da kod čistog savijanja grede, u svakom odseku postoji neutralna linija koja deli ovaj presek na dva dela (zone): zonu rastegnutih vlakana (istegnuta zona) i zona komprimiranih vlakana (komprimirana zona). ). Shodno tome, u točkama rastegnute zone presjeka treba da djeluju normalna vlačna naprezanja, u točkama tlačne zone - tlačna naprezanja, a u točkama neutralne linije naponi su jednaki nuli.

Dakle, uz čisto savijanje grede konstantnog poprečnog presjeka:

1) u presecima deluju samo normalni naponi;

2) ceo deo se može podeliti na dva dela (zone) - rastegnuti i sabijeni; granica zona je linija neutralnog presjeka, u čijim su točkama normalni naponi jednaki nuli;

3) bilo koji uzdužni element grede (u granici, bilo koje vlakno) je podvrgnut aksijalnom zatezanju ili kompresiji, tako da susedna vlakna ne interaguju jedno sa drugim;

4) ako krajnji presjeci grede tokom deformacije ostanu ravni i normalni na osu, tada svi njeni poprečni presjeci ostaju ravni i normalni na osu zakrivljene grede.

Stanje naprezanja grede pri čistom savijanju

Razmotrimo element grede podložan čistom savijanju, zaključno koji se nalaze između sekcija m-m i n-n, koji su razmaknuti jedan od drugog na beskonačno maloj udaljenosti dx (slika 93). Zbog položaja (4) prethodnog stava, presjeci m- m i n - n, koji su prije deformacije bili paralelni, nakon savijanja, ostajući ravni, formiraće ugao dQ i sjeći se duž prave linije koja prolazi kroz tačku C, koja je centar zakrivljenosti neutralno vlakno NN. Tada će se dio AB vlakna zatvoren između njih, smješten na udaljenosti z od neutralnog vlakna (pozitivan smjer osi z uzima prema konveksnosti grede tokom savijanja), nakon deformacije pretvoriti u luk AB. komad neutralnog vlakna O1O2, koji se pretvorio u luk, O1O2 neće promijeniti svoju dužinu, dok će vlakno AB dobiti izduženje:

prije deformacije

nakon deformacije

gdje je p polumjer zakrivljenosti neutralnog vlakna.

Stoga je apsolutno produženje segmenta AB jednako

i relativnog izduženja

Kako je prema položaju (3) vlakno AB podvrgnuto aksijalnoj napetosti, onda prilikom elastične deformacije

To pokazuje da su normalni naponi duž visine grede raspoređeni prema linearnom zakonu (slika 94). Pošto jednaka sila svih sila na svim elementarnim presjecima mora biti jednaka nuli, onda

odakle, zamjenom vrijednosti iz (5.8), nalazimo

Ali posljednji integral je statički moment oko ose Oy, okomit na ravan djelovanja sila savijanja.

Zbog svoje jednakosti nuli, ova os mora proći kroz težište O presjeka. Dakle, neutralna linija presjeka grede je prava linija y, okomita na ravninu djelovanja sila savijanja. Zove se neutralna os preseka grede. Tada iz (5.8) proizilazi da su naponi u tačkama koje leže na istoj udaljenosti od neutralne ose isti.

Slučaj čistog savijanja, u kojem sile savijanja djeluju samo u jednoj ravni, uzrokujući savijanje samo u toj ravni, je planarno čisto savijanje. Ako navedena ravan prolazi kroz osu Oz, tada bi moment elementarnih sila u odnosu na ovu osu trebao biti jednak nuli, tj.

Zamjenjujući ovdje vrijednost σ iz (5.8), nalazimo

Integral na lijevoj strani ove jednakosti, kao što je poznato, je centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na y i z osi, pa je

Osi oko kojih je centrifugalni moment inercije presjeka jednak nuli nazivaju se glavne osi inercije ovog presjeka. Ako oni, pored toga, prolaze kroz težište presjeka, onda se mogu nazvati glavnim središnjim osi inercije presjeka. Dakle, kod ravnog čistog savijanja, smjer ravnine djelovanja sila savijanja i neutralna os presjeka su glavne središnje osi inercije potonjeg. Drugim riječima, za postizanje ravnog, čistog savijanja grede, opterećenje se na njega ne može primijeniti proizvoljno: ono se mora svesti na sile koje djeluju u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi inercije presjeka grede. greda; u ovom slučaju, druga glavna središnja osa inercije će biti neutralna os presjeka.

Kao što je poznato, u slučaju presjeka koji je simetričan u odnosu na bilo koju os, os simetrije je jedna od njegovih glavnih središnjih osi inercije. Posljedično, u ovom konkretnom slučaju sigurno ćemo postići čisto savijanje primjenom odgovarajućih opterećenja u ravnini koja prolazi kroz uzdužnu os grede i os simetrije njenog presjeka. Prava linija okomita na os simetrije i koja prolazi kroz težište presjeka je neutralna os ovog presjeka.

Nakon utvrđivanja položaja neutralne ose, nije teško pronaći veličinu naprezanja u bilo kojoj tački presjeka. U stvari, budući da zbir momenata elementarnih sila u odnosu na neutralnu osu yy mora biti jednak momentu savijanja, tada

odakle, zamjenom vrijednosti σ iz (5.8), nalazimo

Pošto je integral je. moment inercije preseka u odnosu na osu yy, tada

a iz izraza (5.8) dobijamo

Proizvod EI Y naziva se krutost grede na savijanje.

Najveća vlačna i najveća tlačna naprezanja u apsolutnoj vrijednosti djeluju u točkama presjeka za koje je apsolutna vrijednost z najveća, odnosno u točkama koje su najudaljenije od neutralne ose. Uz notaciju, sl. 95 imamo

Vrijednost Jy/h1 naziva se momentom otpora presjeka na napetost i označava se Wyr; slično, Jy/h2 se naziva momentom otpora presjeka na kompresiju

i označimo Wyc, dakle

i zbog toga

Ako je neutralna osa osa simetrije presjeka, tada je h1 = h2 = h/2 i, prema tome, Wyp = Wyc, pa ih nema potrebe razlikovati, a koriste se istim zapisom:

nazivajući W y jednostavno momentom otpora presjeka. Prema tome, u slučaju presjeka simetričnog oko neutralne ose,

Svi navedeni zaključci dobiveni su na temelju pretpostavke da poprečni presjeci grede pri savijanju ostaju ravni i normalni na svoju os (hipoteza ravnih presjeka). Kao što je pokazano, ova pretpostavka vrijedi samo u slučaju kada krajnji (krajnji) dijelovi grede ostaju ravni tijekom savijanja. S druge strane, iz hipoteze ravnih presjeka proizilazi da bi elementarne sile u takvim presjecima trebale biti raspoređene po linearnom zakonu. Stoga je za valjanost rezultirajuće teorije ravnog čistog savijanja potrebno da se momenti savijanja na krajevima grede primjenjuju u obliku elementarnih sila raspoređenih po visini presjeka prema linearnom zakonu (Sl. 96), što se podudara sa zakonom raspodjele naprezanja po visini presječnih greda. Međutim, na temelju Saint-Venantovog principa, može se tvrditi da će promjena metode primjene momenata savijanja na krajevima grede uzrokovati samo lokalne deformacije, čiji će učinak utjecati samo na određenu udaljenost od ovih krajeva (približno jednaku do visine presjeka). Dijelovi koji se nalaze na ostatku dužine grede ostat će ravni. Slijedom toga, navedena teorija ravnog čistog savijanja za bilo koju metodu primjene momenata savijanja vrijedi samo unutar srednjeg dijela dužine grede, koji se nalazi od njegovih krajeva na udaljenostima približno jednakim visini presjeka. Odavde je jasno da je ova teorija očigledno neprimjenjiva ako visina presjeka prelazi polovinu dužine ili raspona grede.

Klasifikacija vrsta savijanja štapa

Bend Ova vrsta deformacije naziva se u kojoj se momenti savijanja javljaju u poprečnim presjecima šipke. Šipka koja se savija obično se naziva greda. Ako su momenti savijanja jedini unutrašnji faktori sile u poprečnim presjecima, onda štap doživljava čista krivina. Ako se momenti savijanja javljaju zajedno s poprečnim silama, tada se takvo savijanje naziva poprečno.

Grede, osovine, osovine i drugi konstrukcijski dijelovi rade za savijanje.

Hajde da predstavimo neke koncepte. Ravan koja prolazi kroz jednu od glavnih centralnih osi presjeka i geometrijsku os štapa naziva se glavna ravnina. Ravan u kojoj djeluju vanjska opterećenja, uzrokujući savijanje grede, naziva se force plane. Linija presjeka ravnine sile sa ravninom poprečnog presjeka štapa naziva se dalekovod. Ovisno o relativnom položaju sile i glavne ravnine grede, razlikuje se ravno ili koso savijanje. Ako se ravan sile poklapa s jednom od glavnih ravnina, tada štap doživljava ravna krivina(Sl. 5.1, A), ako se ne poklapa - koso(Sl. 5.1, b).

Rice. 5.1. Savijanje šipke: A- ravno; b- koso

Sa geometrijske tačke gledišta, savijanje štapa je praćeno promjenom zakrivljenosti ose štapa. Prvobitno ravna os štapa postaje zakrivljena kada je savijena. U slučaju direktnog savijanja, zakrivljena os štapa leži u ravni sile, a u slučaju kosog savijanja, ona leži u ravni različitoj od ravni sile.

Promatrajući savijanje gumene šipke, možete primijetiti da je dio njenih uzdužnih vlakana rastegnut, a drugi dio stisnut. Očigledno, između rastegnutih i stisnutih vlakana štapa postoji sloj vlakana koji ne doživljavaju ni napetost ni kompresiju - tzv. neutralni sloj. Linija presjeka neutralnog sloja štapa sa ravninom njegovog poprečnog presjeka naziva se linija neutralnog presjeka.

U pravilu, opterećenja koja djeluju na gredu mogu se klasificirati u jedan od tri tipa: koncentrisane sile R, koncentrisanih trenutaka M raspoređena opterećenja intenziteta ts(Sl. 5.2). I. dio grede koji se nalazi između oslonaca naziva se u letu, II dio grede smješten na jednoj strani nosača - konzola.