d'Alambertov princip

Glavni rad Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Traktat o dinamici" - objavljen je 1743.

Prvi dio rasprave posvećen je konstrukciji analitičke statike. Ovdje d'Alembert formulira "osnovne principe mehanike", među kojima su "princip inercije", "princip zbrajanja kretanja" i "princip ravnoteže".

"Princip inercije" je formulisan odvojeno za slučaj mirovanja i za slučaj ravnomernog pravolinijskog kretanja. "Sila inercije, - piše d'Alembert, ja, zajedno s Njutnom, nazivam svojstvo tijela da održava stanje u kojem se nalazi."

"Princip sabiranja kretanja" je zakon sabiranja brzina i sila prema pravilu paralelograma. Na osnovu ovog principa, d'Alembert rješava probleme statike.

"Princip ravnoteže" je formuliran kao sljedeća teorema: "Ako dva tijela koja se kreću brzinama obrnuto proporcionalnim njihovim masama imaju suprotne smjerove, tako da se jedno tijelo ne može kretati bez pomjeranja s mjesta na drugo tijelo, tada će ova tijela biti u ravnoteži ". U drugom dijelu Traktata, d'Alembert je predložio opći metod za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja za bilo koji materijalni sistem, zasnovan na svođenju problema dinamike na statiku. Formulirao je pravilo za svaki sistem materijalnih tačaka, kasnije nazvano "D'Alembertov princip", prema kojem se sile primijenjene na tačke sistema mogu razložiti na "djelujuće", odnosno one koje uzrokuju ubrzanje sistem, i "izgubljeni", neophodni za ravnotežu sistema. d'Alembert smatra da sile koje odgovaraju "izgubljenom" ubrzanju formiraju takvu kombinaciju koja ne utiče na stvarno ponašanje sistema. Drugim rečima, ako se na sistem primeni samo skup "izgubljenih" sila, onda će sistem ostati u mirovanju. Modernu formulaciju d'Alamberovog principa dao je M. E. Žukovski u svom "Kursu teorijske mehanike": "Ako se u bilo kom trenutku sistem zaustavi, on se kreće, a mi mu dodajemo, pored njegovog pokretanja sile, sve sile inercije koje odgovaraju datom trenutku u vremenu, tada će se posmatrati ravnoteža, dok će sve sile pritiska, napetosti, itd. koje se razvijaju između delova sistema u takvoj ravnoteži, biti realne sile pritisak, napetost itd. kada se sistem kreće u razmatranom trenutku vremena“. Treba napomenuti da ni sam d'Alembert, prilikom predstavljanja svog principa, nije pribjegavao ni pojmu sile (s obzirom da nije dovoljno jasan da bi se uvrstio u listu osnovnih pojmova mehanike), a još manje konceptu inercijalne sile. Prikaz d'Alembertovog principa korištenjem pojma "sila" pripada Lagrangeu, koji je u svojoj "Analitičkoj mehanici" dao njen analitički izraz u obliku principa mogućih pomaka. Bio je to Joseph Louis Lagrange (1736-1813) i posebno Leonardo Euler (1707-1783) koji je odigrao bitnu ulogu u konačnoj transformaciji mehanike u analitičku mehaniku.

Analitička mehanika materijalne tačke i Ojlerova dinamika krutog tela

Leonardo Euler- jedan od istaknutih naučnika koji je dao veliki doprinos razvoju fizičko-matematičkih nauka u XVIII veku. Njegov rad je upečatljiv uvidom istraživačke misli, univerzalnošću talenta i ogromnom količinom naučnog naslijeđa ostavljenog iza sebe.

Već u prvim godinama svoje naučne delatnosti u Sankt Peterburgu (Ojler je stigao u Rusiju 1727. godine) izradio je program grandioznog i sveobuhvatnog ciklusa rada u oblasti mehanike. Ovaj dodatak nalazi se u njegovom dvotomnom djelu "Mehanika ili nauka o kretanju, izraženo analitički" (1736). Ojlerova mehanika bila je prvi sistematski kurs Njutnove mehanike. Sadržao je osnove dinamike tačke - Ojler je pod mehanikom razumeo nauku o kretanju, za razliku od nauke o ravnoteži sila, ili statici. Odlučujuća karakteristika Ojlerove "Mehanike" bila je široka upotreba novog matematičkog aparata - diferencijalnog i integralnog računa. Ukratko opisujući glavna djela o mehanici koja su se pojavila na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, Euler je primijetio sin-tetiko-geometrijski stil njihovog rada, koji je stvorio mnogo posla za čitatelje. Na ovaj način su napisani Njutnovi elementi i kasnija Foronomija (1716) J. Hermana. Euler ističe da se djela Hermana i Newtona navode "po običaju starih ljudi uz pomoć sintetičkih geometrijskih dokaza" bez upotrebe analize, "samo putem koje se može postići potpuno razumijevanje ovih stvari".

Sintetičko-geometrijska metoda nije imala generalizujući karakter, već je zahtijevala, po pravilu, individualne konstrukcije za svaki zadatak posebno. Ojler priznaje da je nakon proučavanja „Foronomije“ i „Početaka“ on, kako mu se činilo, „prilično jasno razumeo rešenja mnogih problema, ali više nije mogao da rešava probleme koji su donekle odstupali od njih“. Zatim je pokušao da "izoluje analizu ove sintetičke metode i da analitički uradi iste predloge u svoju korist." Ojler napominje da je zahvaljujući tome mnogo bolje shvatio suštinu problema. Razvio je fundamentalno nove metode za proučavanje problema mehanike, stvorio njen matematički aparat i briljantno ga primijenio na mnoge složene probleme. Zahvaljujući Euleru, diferencijalna geometrija, diferencijalne jednadžbe i varijacijski račun postali su alati mehanike. Ojlerov metod, koji su kasnije razvili njegovi nasljednici, bio je nedvosmislen i adekvatan predmetu.

Ojlerov rad o dinamici krutog tijela "Teorija kretanja krutih tijela" ima veliki uvod od šest odjeljaka, gdje je ponovo ocrtana dinamika tačke. U uvodu je napravljen niz izmjena: posebno se jednadžbe gibanja tačke pišu pomoću projekcije na os fiksnih pravokutnih koordinata (a ne na tangentu, glavnu normalu i normalu, tj. osa nepokretnog prirodnog triedra povezana sa tačkama putanje, kao u "Mehanici").

Nakon uvoda, "Traktat o kretanju krutih tijela" sastoji se od 19 odjeljaka. Traktat je zasnovan na d'Alambertovom principu. Ukratko se zadržavajući na translacijskom kretanju krutog tijela i uvodeći koncept centra inercije, Euler razmatra rotacije oko fiksne ose i oko fiksne tačke.Ovde su formule za projekcije trenutne ugaone brzine, ugaonog ubrzanja na koordinatnu osu, tzv. Eulerovih uglova itd. opisani su, nakon čega Euler prelazi na dinamiku samog krutog tijela. On izvodi diferencijalne jednadžbe za rotaciju teškog tijela oko njegovog nepokretnog težišta u u odsustvu vanjskih sila i rješava ih za jednostavan poseban slučaj. tako je nastao poznati i jednako važan problem u teoriji žiroskopa oko rotacije krutog tijela oko fiksne tačke. Euler je radio i na teoriji brodogradnje, u očima hidro- i aeromehanike, balistike, teorija stabilnosti i teorija malih vibracija, nebeska mehanika i sl.

Osam godina nakon objavljivanja Mehanike, Ojler je obogatio nauku prvom preciznom formulacijom principa najmanjeg dejstva. Formulacija principa najmanje akcije, koja je pripadala Maupertuisu, bila je još uvijek vrlo nesavršena. Prva naučna formulacija principa pripada Euleru. Svoj princip je formulirao na sljedeći način: integral ima najmanju vrijednost za realnu putanju, ako uzmemo u obzir

posljednja u grupi mogućih trajektorija koje imaju zajednički početni i krajnji položaj i koje se izvode sa istom vrijednošću energije. Ojler daje svom principu tačan matematički izraz i rigorozno opravdanje za jednu materijalnu tačku, testira delovanje centralnih sila. Tokom 1746-1749 pp. Euler je napisao nekoliko radova o figurama ravnoteže fleksibilne niti, gdje je princip najmanjeg djelovanja primijenjen na probleme u kojima djeluju elastične sile.

Tako je do 1744. mehanika obogaćena sa dva važna principa: d'Alembertovim principom i Maupertuis-Eulerovim principom najmanjeg djelovanja. Na osnovu ovih principa, Lagrange je izgradio sistem analitičke mehanike.

Ako uzmemo u obzir sistem koji se sastoji od nekoliko materijalnih tačaka, ističući jednu određenu tačku s poznatom masom, onda pod djelovanjem vanjskih i unutrašnjih sila koje se na njega primjenjuju, on dobiva određeno ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir. Među takvim silama mogu postojati i aktivne sile i reakcije spajanja.

Sila inercije tačke je vektorska veličina, koja je po apsolutnoj vrednosti jednaka proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja. Ova vrijednost se ponekad naziva d'Alembertova sila inercije, usmjerena je suprotno od ubrzanja. U ovom slučaju se otkriva sljedeće svojstvo pokretne tačke: ako u svakom trenutku dodamo silu inercije silama koje stvarno djeluju na tačku, tada će rezultirajući sistem sila biti uravnotežen. Dakle, moguće je formulisati d'Alembertov princip za jednu materijalnu tačku. Ova izjava je u potpunosti u skladu sa drugim Newtonovim zakonom.

d'Alembertovi principi za sistem

Ako ponovimo sve argumente za svaku tačku u sistemu, oni dovode do sljedećeg zaključka, koji izražava d'Alambertov princip formulisan za sistem: ako u bilo kom trenutku primenimo na svaku od tačaka u sistemu, pored stvarno delujućih spoljašnjih i unutrašnjih sila, tada će ovaj sistem biti u ravnoteži, pa se na njega mogu primeniti sve jednačine koje se koriste u statici.

Ako primijenimo d'Alembertov princip za rješavanje problema dinamike, onda se jednačine kretanja sistema mogu sastaviti u obliku nama poznatih jednačina ravnoteže. Ovaj princip uvelike pojednostavljuje proračune i čini pristup rješavanju problema jedinstvenim.

Primjena d'Alembertovog principa

Treba uzeti u obzir da na pokretnu tačku u mehaničkom sistemu djeluju samo vanjske i unutrašnje sile, koje nastaju kao rezultat interakcije tačaka među sobom, kao i sa tijelima koja nisu uključena u ovaj sistem. Pod uticajem svih ovih sila tačke se kreću određenim ubrzanjima. Sile inercije ne djeluju na pokretne tačke, inače bi se kretale bez ubrzanja ili mirovale.

Sile inercije se uvode samo da bi se sastavljale jednadžbe dinamike uz pomoć jednostavnijih i pogodnijih metoda statike. Takođe se uzima u obzir da je geometrijski zbir unutrašnjih sila i zbir njihovih momenata jednak nuli. Upotreba jednačina koje proizilaze iz d'Alembertovog principa olakšava proces rješavanja problema, jer ove jednačine više ne sadrže unutrašnje sile.

Pogledaj: ovaj članak je pročitan 44027 puta

Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski

Kratka recenzija

Kompletan materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika

Opšti principi dinamike

Princip Hermanna - Euler - d'Alembert

sila inercije

D'Alembertov princip (princip kinetostatike) je jedan od općih principa mehanike, uz pomoć kojeg se jednačinama dinamike daje oblik jednadžbi statike u obliku. Princip je predložio Hermann 1716. godine, a generalizirao ga je Euler 1737. godine.

Materijalna tačka M kreće se ubrzano pod dejstvom primenjenih sila. Treći zakon dinamike odražava dvostranost mehaničkih procesa u prirodi. Kada su dva tijela u interakciji, sile koje se primjenjuju na svako od njih su jednake po apsolutnoj vrijednosti i usmjerene suprotno. Pošto se te sile primjenjuju na različita tijela, one nisu u ravnoteži. Na primjer, u interakciji nekog tijela ALI i bodova M, koji ima masu m, tačka se ubrzava. Tijelo ALI deluje na tačku M sa silom F=-ma. Prema zakonu akcije i reakcije, materijalna tačka M deluje na telo ALI sa silom F=-F=-ma, koja se zove sila inercije.

Inercijska sila ili d'Alembertova sila- vektorska veličina koja ima dimenziju sile po modulu jednaku proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja, a usmjerena je suprotno od ovog ubrzanja.

d'Alambertov princip za materijalnu tačku

Ako se u bilo kom trenutku sila inercije doda silama koje stvarno deluju na materijalnu tačku, onda će rezultujući sistem sila biti uravnotežen.

To znači da je za rješavanje problema dinamike po principu Hermann - Euler - d'Alembert, pored sila koje se primjenjuju na tačku, potrebno uslovno primijeniti i silu inercije na ovu tačku. primjena inercijalne sile na tačku je uvjetna tehnika koja svodi problem dinamike samo u obliku rješenja problema statike.

d'Alambertov princip za sistem materijalnih tačaka

Ako se u bilo kojem trenutku na svaku tačku sistema, pored vanjskih i unutrašnjih sila koje stvarno djeluju na nju, primjenjuju i odgovarajuće sile inercije, tada će rezultirajući sistem sila biti u ravnoteži i sve jednačine na njega se može primijeniti statika.

d'Alambertov princip za neslobodni mehanički sistem

U bilo kom trenutku, za svaku tačku neslobodnog mehaničkog sistema, pored sila koje stvarno deluju na nju, dodajte odgovarajuće sile inercije, tada će rezultujući sistem sila biti uravnotežen i sve jednačine statike se mogu primeniti na to.

To jest, u svakom trenutku vremena za svaku tačku neslobodnog mehaničkog sistema, geometrijski zbir glavnih vektora datih sila, reakcija oslonaca i sila inercije materijalnih tačaka sistema jednak je nuli.

U bilo kojem trenutku vremena za bilo koju tačku neslobodnog mehaničkog sistema, geometrijski zbir glavnih momenata datih sila, reakcija oslonaca i sila inercije materijalnih tačaka sistema u odnosu na bilo koji fiksni centar jednaka je nuli.

Generalizovani oblik jednadžbi ravnoteže prema d'Alembertovom principu

Dovođenje sila inercije tačaka krutog tijela u najjednostavniji oblik.

Slučajevi svođenja sistema sila inercije krutog tijela na najjednostavniji oblik.

translatorno kretanje

Pri translacijskom kretanju inercijalne sile krutog tijela svode se na jednu rezultantu, koja prolazi kroz centar mase tijela, a po apsolutnoj vrijednosti jednaka je proizvodu mase tijela i modula ubrzanja njegovog centra mase i usmjerena suprotno od ovog ubrzanja.

Nema rotacije oko centra mase, pa je moment inercije nula.

Rotacijsko kretanje tijela oko ose koja prolazi kroz centar mase tijela.

Ako se tijelo okreće oko fiksne ose koja prolazi kroz centar mase tijela, tada se sile inercije svode na jedan par sila koje leže u ravni okomitoj na os rotacije.

Pošto se centar mase ne kreće, glavni vektor inercijalnih sila je nula.

Kretanje aviona

Kod ravnih kretanja tijela, sistem inercijskih sila se svodi na silu koja djeluje na centar mase tijela i par sila. Smjer momenta inercije je suprotan ugaonom ubrzanju tijela.

Princip mogućih pokreta

Princip mogućih pomaka u opštem obliku određuje uslove za ravnotežu svakog mehaničkog sistema, odnosno omogućava rešavanje problema statike, kao problema dinamike.

Kretanje tačaka neslobodnog mehaničkog sistema ograničeno je postojećim vezama. Položaj tačaka sistema određuje se postavljanjem nezavisnih koordinata.

Nezavisne veličine čijim se dodeljivanjem može jedinstveno odrediti položaj svih tačaka mehaničkog sistema nazivaju se generalizovane koordinate ovaj sistem. Po pravilu, broj generalizovanih koordinata mehaničkog sistema jednak je broju stepeni slobode ovog sistema. Na primjer, položaj svih točaka koljenastog mehanizma određen je postavljanjem kuta rotacije poluge.

Mogući ili virtuelni pokreti

Moguća ili virtuelna preseljenja sistema su imaginarni beskonačno mali pomaci tačaka sistema, dozvoljeni u ovom trenutku ograničenjima nametnutim sistemu.

Krivolinijski pomaci tačaka zamjenjuju se segmentima ravnih linija položenim tangencijalno na putanje tačaka.

Broj nezavisnih mogućih kretanja sistema se naziva broj stepeni slobode ovaj sistem.

Mogući ili virtuelni rad

Mogući (ili virtuelni) rad je elementarni rad koji bi sila koja djeluje na materijalnu tačku mogla izvršiti pri pomaku koji se poklapa s mogućim pomakom ove tačke.

Princip mogućih kretanja za mehanički sistem

Za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim ograničenjima, neophodno je i dovoljno da zbir svih aktivnih sila za bilo koji mogući pomak sistema bude jednak nuli.

Jednačina mogućih radova je matematički izraz potrebnih i dovoljnih uslova za ravnotežu bilo kog mehaničkog sistema.

Opća jednadžba dinamike

Opća jednadžba dinamike (d'Alembert - Lagrangeov princip)

Princip mogućih pomaka, koji daje opšti metod za rešavanje problema statike, može se primeniti i na rešavanje problema dinamike. Zasnovan na principu Hermann-Euler-D'Alembert za neslobodan mehanički sistem u bilo kojem trenutku, geometrijski zbir rezultantnih datih sila, rezultanta reakcija ograničenja i inercijalna sila za svaku tačku Mn mehaničke sistem jednak nuli.

Ako sistem dobije mogući pomak, u kojem svaka tačka ima mogući pomak, tada zbir rada ovih sila na pomaku mora biti jednak nuli.

Opća jednadžba dinamike za sistem sa idealnim ograničenjima

Pretpostavimo da su sve veze u razmatranom mehaničkom sistemu dvostrane i idealne (sile trenja, ako ih ima, odnose se na broj datih sila). Tada je zbir rada reakcija veza na moguće pomake sistema jednak nuli.

Kada se mehanički sistem kreće sa idealnim ograničenjima u bilo kojem trenutku, zbir elementarnih robota svih aktivnih (datih) sila i svih inercijalnih sila pri bilo kojem mogućem pomaku sistema jednak je nuli.

Opšte jednačine dinamike omogućavaju sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja bilo kojeg mehaničkog sistema. Ako se mehanički sistem sastoji od odvojenih krutih tijela, tada se sile inercije tačaka svakog tijela mogu svesti na silu koja se primjenjuje u nekoj tački tijela i na par sila. Sila je jednaka glavnom vektoru sila inercije tačaka ovog tijela, a moment para jednak je glavnom momentu ovih sila u odnosu na centar redukcije. Da bismo koristili princip mogućih pomaka, na svako tijelo se primjenjuju date sile koje na njega djeluju, a uvjetno se primjenjuju i sila i par, sastavljeni od inercijskih sila tačaka tijela. Zatim se sistem informiše o mogućem kretanju, a za ceo skup datih sila i sila smanjene inercije formira se opšta jednačina dinamike.

Format: pdf

Veličina: 600KW

Jezik: ruski, ukrajinski

Primjer proračuna cilindričnog zupčanika
Primjer proračuna cilindričnog zupčanika. Proveden je izbor materijala, proračun dopuštenih naprezanja, proračun kontaktne i savijajuće čvrstoće.

Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su nacrtani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran I-greda. U zadatku je analizirana konstrukcija dijagrama korištenjem diferencijalnih ovisnosti, provedena je komparativna analiza različitih poprečnih presjeka greda.

Primjer rješavanja problema torzije osovine
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine za dati promjer, materijal i dopuštena naprezanja. U toku rješavanja grade se dijagrami momenta, posmičnih napona i uglova uvijanja. Vlastita težina osovine se ne uzima u obzir

Primjer rješavanja problema zatezanja-kompresije štapa
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične šipke pri zadanim dopuštenim naprezanjima. Tokom rješavanja grade se dijagrami uzdužnih sila, normalnih napona i pomaka. Vlastita težina šipke se ne uzima u obzir

Primjena teoreme o očuvanju kinetičke energije
Primjer rješavanja problema primjene teoreme o očuvanju kinetičke energije mehaničkog sistema

Kada se materijalna tačka kreće, njeno ubrzanje u svakom trenutku vremena je takvo da date (aktivne) sile koje se primenjuju na tačku, reakcije veza i fiktivna d'Alembertova sila F = - formiraju uravnotežen sistem sila.

Dokaz. Razmotrimo kretanje neslobodne materijalne tačke s masom t u inercijskom referentnom okviru. Prema osnovnom zakonu dinamike i principu oslobađanja od obveznica imamo:

gdje je F rezultanta datih (aktivnih) sila; N je rezultanta reakcija svih veza nametnutih na tačku.

Lako je transformisati (13.1) u oblik:

Vektor F = - to nazvana d'Alembertova sila inercije, sila inercije, ili jednostavno d'Alembertova moć. U nastavku ćemo koristiti samo posljednji termin.

Jednačina (13.3), koja izražava d'Alembertov princip u simboličkom obliku, naziva se kinetostatička jednačina materijalna tačka.

Lako je dobiti generalizaciju d'Alembertovog principa za mehanički sistem (sistem P materijalne tačke).

Za bilo koje to u tački mehaničkog sistema, jednakost (13.3) je zadovoljena:

gdje ? do - rezultanta datih (aktivnih) sila koje djeluju na to-th point; N do - rezultanta reakcija veza postavljenih na k-th tačka; F k \u003d - to k- d'Alamberova sila to-th point.

Očigledno, ako su uslovi ravnoteže (13.4) ispunjeni za svaku trojku sila F*, N* : , F* (za = 1,. .., P), zatim cijeli sistem 3 P snage

je uravnotežen.

Shodno tome, tokom kretanja mehaničkog sistema u svakom trenutku vremena, aktivne sile koje se primenjuju na njega, reakcije veza i d'Alembertove sile tačaka sistema formiraju uravnotežen sistem sila.

Sile sistema (13.5) više nisu konvergentne, stoga, kao što je poznato iz statike (odjeljak 3.4), neophodni i dovoljni uslovi za njegovu ravnotežu imaju sljedeći oblik:

Jednačine (13.6) se nazivaju jednačinama kinetostatike mehaničkog sistema. Za proračune se koriste projekcije ovih vektorskih jednačina na ose koje prolaze kroz momentnu tačku O.

Napomena 1. Pošto su zbir svih unutrašnjih sila sistema, kao i zbir njihovih momenata u odnosu na bilo koju tačku jednaki nuli, onda je u jednadžbi (13.6) dovoljno uzeti u obzir samo reakcije vanjski veze.

Jednačine kinetostatike (13.6) se obično koriste za određivanje reakcija ograničenja mehaničkog sistema kada je dato kretanje sistema, a samim tim i ubrzanja tačaka sistema i d'Alembertovih sila koje zavise od njih. su poznati.

Primjer 1 Pronađite reakcije podrške ALI i AT osovina sa svojom ravnomjernom rotacijom na frekvenciji od 5000 o/min.

Tačkaste mase su čvrsto povezane sa osovinom gp= 0,1 kg, t 2 = 0,2 kg. Poznate veličine AC - CD - DB = 0,4 m h= 0,01 m. Masu okna smatrati zanemarljivom.

Odluka. Da bismo koristili d'Alembertov princip za mehanički sistem koji se sastoji od dvije tačkaste mase, na dijagramu (slika 13.2) naznačimo date sile (gravitacije) Gi, G 2, reakciju veza N4, N # i d 'Alembertove sile F|, F 2.

Smjerovi Dalambresovih sila su suprotni od ubrzanja tačkastih masa t b t 2g koji uniformno opisuju krugove poluprečnika h oko ose AB osovina.

Pronalazimo veličine sila gravitacije i Dalambresovih sila:

Ovdje je kutna brzina osovine ko- 5000* l/30 = 523,6 s Ah ah, Az, dobijamo uslove ravnoteže za ravan sistem paralelnih sila Gi, G 2 , 1Chd, N tf , F ʹ F 2:

Iz jednadžbe momenata nalazimo N in = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, i od jednadžbe projekcije dalje

osa Ay: Na \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 = 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 = 0,06 N.

Jednadžbe kinetostatike (13.6) mogu se koristiti i za dobijanje diferencijalnih jednadžbi gibanja sistema, ako su sastavljene tako da su isključene reakcije ograničenja i kao rezultat toga postaje moguće dobiti zavisnosti ubrzanja na date sile.

Metode rješavanja problema mehanike, koje su do sada razmatrane, zasnivaju se na jednačinama koje slijede ili direktno iz Newtonovih zakona, ili iz općih teorema koje su posljedica ovih zakona. Međutim, ovaj put nije jedini. Ispostavilo se da se jednačine kretanja ili ravnotežni uslovi mehaničkog sistema mogu dobiti pretpostavkom drugih opštih propozicija, zvanih principi mehanike, umesto Njutnovih zakona. U velikom broju slučajeva, primena ovih principa omogućava, kao što ćemo videti, pronalaženje efikasnijih metoda za rešavanje odgovarajućih problema. U ovom poglavlju će se razmatrati jedan od opštih principa mehanike, nazvan d'Alambertov princip.

Hajde da prvo pronađemo izraz principa za jednu materijalnu tačku. Neka sistem aktivnih sila djeluje na materijalnu tačku s masom, čija će rezultanta biti označena reakcijom veze N (ako tačka nije slobodna). Pod djelovanjem svih ovih sila, tačka će se kretati u odnosu na inercijski referentni sistem s određenim ubrzanjem a.

Uvedemo u obzir količinu

ima dimenziju sile. Vektorska veličina koja je po apsolutnoj vrijednosti jednaka proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja i usmjerena suprotno od ovog ubrzanja naziva se sila inercije tačke.

Tada se ispostavlja da kretanje tačke ima sljedeće svojstvo: ako se u bilo kojem trenutku aktivnim silama koje djeluju na tačku i reakciji veze doda sila inercije, tada će rezultirajući sistem sila biti izbalansiran, tj.

Ova odredba izražava d'Alambertov princip za materijalnu tačku. Lako je vidjeti da je on ekvivalentan drugom Newtonovom zakonu i obrnuto. Zaista, drugi Newtonov zakon za razmatranu tačku daje Prenoseći ovdje vrijednost m na desnu stranu jednakosti i uzimajući u obzir notaciju (84), dolazimo do relacije (85). Naprotiv, prenoseći vrijednost iz jednačine (85) na drugi dio jednačine i uzimajući u obzir notaciju (84), dobijamo izraz za drugi Newtonov zakon.

Razmotrimo sada mehanički sistem koji se sastoji od materijalnih tačaka. Izdvojimo neke od tačaka sistema sa masom . Pod djelovanjem vanjskih i unutrašnjih sila koje se na nju primjenjuju (koje uključuju i aktivne sile i reakcije ograničenja), tačka će se kretati u odnosu na inercijski referentni okvir uz određeno ubrzanje. Unosom sile inercije za ovu tačku dobijamo prema jednakosti (85), da

tj. koje čine uravnotežen sistem snaga. Ponavljajući takvo razmišljanje za svaku od tačaka sistema, dolazimo do sljedećeg rezultata, koji izražava d'Alambertov princip za sistem: ako u bilo kojem trenutku do svake od tačaka sistema, pored vanjske i unutrašnjih sila koje na njega djeluju, pripajamo odgovarajuće sile inercije, tada će rezultirajući sistem sila biti uravnotežen i na njega se mogu primijeniti sve jednačine statike.

Matematički, d'Alembertov princip za sistem je izražen vektorskim jednakostima oblika (85), koje su očigledno ekvivalentne diferencijalnim jednačinama gibanja sistema (13) dobijenim u § 106. Stoga, iz d'Alembertovog principa, kao i iz jednačina (13), mogu se dobiti sve opšte teoreme dinamike.

Značaj d'Alamberovog principa leži u činjenici da kada se direktno primenjuje na probleme dinamike, jednačine kretanja sistema se sastavljaju u obliku dobro poznatih jednačina ravnoteže; ovo čini pristup rješavanju problema ujednačenim i često pojednostavljuje odgovarajuće proračune. Pored toga, u vezi sa principom mogućih pomeranja, koji će biti razmatran u sledećem poglavlju, d'Alembertov princip nam omogućava da dobijemo novu opštu metodu za rešavanje problema dinamike (videti § 141).

Iz statike je poznato da su geometrijski zbir sila u ravnoteži i zbir njihovih momenata u odnosu na bilo koji centar O jednak nuli, i, kao što je prikazano u § 120, to vrijedi za sile koje djeluju ne samo na kruto tijelo, ali i na bilo kojem varijabilnom mehaničkom sistemu.

Zatim, na osnovu d'Alembertovog principa, trebalo bi da bude:

Hajde da uvedemo notaciju:

Veličine predstavljaju glavni vektor i glavni moment u odnosu na centar O sistema inercijskih sila. Kao rezultat toga, uzimajući u obzir da su geometrijski zbir unutrašnjih sila i zbir njihovih momenata jednaki nuli, dobijamo iz jednakosti (86):

Primjena jednačina (88), koje proizilaze iz d'Alembertovog principa, pojednostavljuje proces rješavanja problema, jer ove jednačine ne sadrže unutrašnje sile. U suštini, jednačine (88) su ekvivalentne jednačinama koje izražavaju teoreme o promjeni količine gibanja i glavnog momenta količine gibanja sistema, a razlikuju se od njih samo po obliku.

Jednačine (88) su posebno pogodne za korištenje pri proučavanju kretanja krutog tijela ili sistema krutih tijela. Za potpuno proučavanje kretanja bilo kog promenljivog sistema, ove jednačine neće biti dovoljne, kao što jednačine statike nisu dovoljne za proučavanje ravnoteže bilo kog mehaničkog sistema (videti § 120).

U projekcijama na koordinatne ose, jednakosti (88) daju jednačine analogne odgovarajućim jednačinama statike (vidi §§ 16, 30). Da biste koristili ove jednadžbe pri rješavanju zadataka, morate znati izraze za glavni vektor i glavni moment sila inercije.

U zaključku, treba naglasiti da se prilikom proučavanja kretanja u odnosu na inercijski referentni okvir, koji se ovdje razmatra, inercijske sile uvode samo kada se primjenjuje d'Alembertov princip za rješavanje problema.