Direktno i inverzna proporcionalnost

Ako je t vrijeme kretanja pješaka (u satima), s prijeđeni put (u kilometrima), a on se ravnomjerno kreće brzinom od 4 km/h, tada se odnos između ovih veličina može izraziti formulom s = 4t. Pošto svaka vrijednost t odgovara jednoj vrijednosti s, možemo reći da je funkcija definirana pomoću formule s = 4t. Zove se direktna proporcionalnost i definira se na sljedeći način.

Definicija. Direktna proporcionalnost je funkcija koja se može specificirati pomoću formule y=kx, gdje je k realni broj različit od nule.

Naziv funkcije y = k x je zbog činjenice da u formuli y = k x postoje varijable x i y, koje mogu biti vrijednosti veličina. A ako je omjer dvije veličine jednak nekom broju različitom od nule, one se nazivaju direktno proporcionalna . U našem slučaju = k (k≠0). Ovaj broj se zove koeficijent proporcionalnosti.

Funkcija y = k x je matematički model mnogih realnih situacija koje su već razmatrane početni kurs matematike. Jedan od njih je gore opisan. Drugi primjer: ako jedna vreća brašna sadrži 2 kg, a kupljeno je x takvih vreća, onda se cjelokupna masa kupljenog brašna (označena sa y) može predstaviti formulom y = 2x, tj. odnos između broja vreća i ukupne mase kupljenog brašna je direktno proporcionalan sa koeficijentom k=2.

Prisjetimo se nekih svojstava direktne proporcionalnosti koja se izučavaju u školskom predmetu matematike.

1. Područje definicije funkcije y = k x i raspona njenih vrijednosti je skup realnih brojeva.

2. Grafikon direktne proporcionalnosti je prava linija koja prolazi kroz početak koordinata. Stoga je za konstruiranje grafa direktne proporcionalnosti dovoljno pronaći samo jednu tačku koja joj pripada i koja se ne poklapa s ishodištem koordinata, a zatim povući pravu liniju kroz ovu tačku i početak koordinata.

Na primjer, za konstruiranje grafika funkcije y = 2x, dovoljno je imati tačku sa koordinatama (1, 2), a zatim kroz nju povući pravu liniju i ishodište koordinata (slika 7).

3. Za k > 0, funkcija y = khx raste u cijelom domenu definicije; na k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Ako je funkcija f direktna proporcionalnost i (x 1, y 1), (x 2, y 2) su parovi odgovarajućih vrijednosti varijabli x i y, i x 2 ≠0 tada.

Zaista, ako je funkcija f direktna proporcionalnost, onda se može dati formulom y = khx, a zatim y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Pošto je kod x 2 ≠0 i k≠0, onda je y 2 ≠0. Zato a to znači .

Ako su vrijednosti varijabli x i y pozitivni realni brojevi, tada se dokazano svojstvo direktne proporcionalnosti može formulirati na sljedeći način: sa povećanjem (smanjenjem) vrijednosti varijable x nekoliko puta, odgovarajuća vrijednost varijable y raste (smanjuje) za isti iznos.

Ovo svojstvo je svojstveno samo direktnoj proporcionalnosti i može se koristiti pri rješavanju riječnih zadataka u kojima se razmatraju direktno proporcionalne veličine.

Zadatak 1. Za 8 sati strugar je proizveo 16 dijelova. Koliko će sati trebati strugu da proizvede 48 dijelova ako radi istom produktivnošću?

Rješenje. U problemu se razmatraju količine - vrijeme rada tokara, broj dijelova koji je on napravio i produktivnost (tj. broj dijelova koje je tokar napravio za 1 sat), a zadnja vrijednost je konstantna, a druga dva uzimaju različita značenja. Osim toga, broj izrađenih dijelova i vrijeme rada su direktno proporcionalne veličine, jer je njihov odnos jednak određenom broju koji nije jednak nuli, odnosno broju dijelova koje napravi strugar za 1 sat izrađenih dijelova označava se slovom y, vrijeme rada je x, a produktivnost je k, onda dobijamo da je = k ili y = khx, tj. Matematički model situacije predstavljene u zadatku je direktna proporcionalnost.

Problem se može riješiti na dva aritmetička načina:

1. način: 2. način:

1) 16:8 = 2 (djeca) 1) 48:16 = 3 (puta)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Rješavajući zadatak na prvi način, prvo smo pronašli koeficijent proporcionalnosti k, jednak je 2, a zatim, znajući da je y = 2x, našli smo vrijednost x pod uslovom da je y = 48.

Prilikom rješavanja zadatka na drugi način koristili smo svojstvo direktne proporcionalnosti: onoliko puta koliko se poveća broj dijelova koje je napravio strugar, za isti se iznos povećava i vrijeme za njihovu izradu.

Hajdemo sada da razmotrimo funkciju koja se zove inverzna proporcionalnost.

Ako je t vrijeme kretanja pješaka (u satima), v njegova brzina (u km/h) i prešao je 12 km, onda se odnos između ovih veličina može izraziti formulom v∙t = 20 ili v = .

Pošto svaka vrijednost t (t ≠ 0) odgovara jednoj vrijednosti brzine v, možemo reći da je funkcija specificirana pomoću formule v =. Zove se inverzna proporcionalnost i definira se na sljedeći način.

Definicija. Inverzna proporcionalnost je funkcija koja se može specificirati pomoću formule y =, gdje je k realan broj koji nije jednak nuli.

Naziv ove funkcije je zbog činjenice da y = postoje varijable x i y, koje mogu biti vrijednosti količina. A ako je proizvod dvije veličine jednak nekom broju različitom od nule, onda se one nazivaju obrnuto proporcionalnim. U našem slučaju xy = k(k ≠0). Ovaj broj k naziva se koeficijent proporcionalnosti.

Funkcija y = je matematički model mnogih realnih situacija razmatranih već u početnom kursu matematike. Jedan od njih je opisan prije definicije inverzne proporcionalnosti. Drugi primjer: ako ste kupili 12 kg brašna i stavili ga u l: y kg limenki svaka, onda se odnos između ovih količina može predstaviti u u obliku x-y= 12, tj. obrnuto je proporcionalan koeficijentu k=12.

Prisjetimo se nekih svojstava inverzne proporcionalnosti poznatih iz školski kurs matematike.

1. Domena definicije funkcije y = a raspon njegovih vrijednosti x je skup realnih brojeva koji nisu nula.

2. Graf inverzne proporcionalnosti je hiperbola.

3. Za k > 0, grane hiperbole nalaze se u 1. i 3. četvrtini i funkcija y = opada u cijelom domenu definicije x (slika 8).

Rice. 8 Sl.9

Na k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = raste u cijelom domenu definicije x (slika 9).

4. Ako je funkcija f inverzne proporcionalnosti i (x 1, y 1), (x 2, y 2) su parovi odgovarajućih vrijednosti varijabli x i y, onda.

Zaista, ako je funkcija f inverzna proporcionalnost, onda se može dati formulom y = , a zatim . Kako je x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, onda

Ako su vrijednosti varijabli x i y pozitivni realni brojevi, tada se ovo svojstvo inverzne proporcionalnosti može formulirati na sljedeći način: s povećanjem (smanjenjem) vrijednosti varijable x nekoliko puta, odgovarajuća vrijednost varijable y se smanjuje (povećava) za isti iznos.

Ovo svojstvo je svojstveno samo inverznoj proporcionalnosti i može se koristiti pri rješavanju riječnih zadataka u kojima se razmatraju obrnuto proporcionalne veličine.

Zadatak 2. Biciklista je, krećući se brzinom od 10 km/h, prešao put od A do B za 6 sati Koliko će vremena biciklista provesti na povratku ako se kreće brzinom od 20 km/h?

Rješenje. Zadatak razmatra sljedeće veličine: brzinu bicikliste, vrijeme kretanja i udaljenost od A do B, pri čemu je posljednja veličina konstantna, dok druge dvije imaju različite vrijednosti. Osim toga, brzina i vrijeme kretanja su obrnuto proporcionalne veličine, jer je njihov proizvod jednak određenom broju, odnosno prijeđenom putu. Ako se vrijeme kretanja bicikliste označi slovom y, brzina sa x, a udaljenost AB sa k, onda dobijamo da je xy = k ili y =, tj. Matematički model situacije prikazane u zadatku je inverzna proporcionalnost.

Postoje dva načina za rješavanje problema:

1. način: 2. način:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (puta)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Rješavajući zadatak na prvi način, prvo smo našli koeficijent proporcionalnosti k, jednak je 60, a zatim, znajući da je y =, našli smo vrijednost y pod uslovom da je x = 20.

Prilikom rješavanja zadatka na drugi način koristili smo svojstvo inverzne proporcionalnosti: koliko puta se povećava brzina kretanja, vrijeme za prelazak iste udaljenosti se smanjuje za isti broj.

Imajte na umu da prilikom rješavanja specifične zadatke sa obrnuto proporcionalnim ili direktno proporcionalnim veličinama, na x i y se nameću neka ograničenja, posebno se mogu smatrati ne na cijeli skup realnih brojeva, već na njegove podskupove.

Problem 3. Lena je kupila x olovaka, a Katya 2 puta više. Broj olovaka koje je Katya kupila označiti sa y, izraziti y sa x i konstruisati graf utvrđene korespondencije pod uslovom da je x≤5. Je li ova korespondencija funkcija? Koji je njegov domen definicije i raspon vrijednosti?

Rješenje. Katya je kupila = 2 olovke. Prilikom crtanja funkcije y=2x potrebno je uzeti u obzir da varijabla x označava broj olovaka i x≤5, što znači da može poprimiti samo vrijednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ovo će biti domen definicije ove funkcije. Da biste dobili raspon vrijednosti ove funkcije, trebate svaku vrijednost x iz raspona definicije pomnožiti sa 2, tj. ovo će biti skup (0, 2, 4, 6, 8, 10). Stoga će graf funkcije y = 2x sa domenom definicije (0, 1, 2, 3, 4, 5) biti skup tačaka prikazanih na slici 10. Sve ove tačke pripadaju pravoj liniji y = 2x .

Primjer

4 / 5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8, itd. Faktor proporcionalnosti Konstantni odnos proporcionalnih veličina se naziva

faktor proporcionalnosti

faktor proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko je jedinica jedne veličine po jedinici druge. Direktna proporcionalnost- funkcionalna zavisnost, u kojoj određena veličina zavisi od druge veličine na način da njihov odnos ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju

proporcionalno

, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dvaput promijeni u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.(Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:) = fMatematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:,f = xacon

s

t Inverzna proporcionalnost

Inverzna proporcionalnost

- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, inverzna proporcionalnost se zapisuje kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Wikimedia fondacija.

2010. Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti korisno ne samo na časovima matematike, već i van škole.

Tako različite proporcije

faktor proporcionalnosti Proporcionalnost

Na primjer, što više truda uložite u učenje za ispite, to su više ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, to će vaš ranac biti teži za nošenje. One. Količina truda uloženog u pripremu ispita direktno je proporcionalna dobijenim ocjenama. A broj stvari spakovanih u ranac je direktno proporcionalan njegovoj težini.

s- Ovo funkcionalna zavisnost, u kojem smanjenje ili povećanje za nekoliko puta u nezavisnoj količini (to se zove argument) uzrokuje proporcionalno (tj. isti broj puta) povećanje ili smanjenje zavisne veličine (naziva se funkcija).

Hajde da ilustrujemo jednostavan primjer. Želite kupiti jabuke na pijaci. Jabuke na tezgi i količina novca u vašem novčaniku su u obrnutoj proporciji. One. Što više jabuka kupite, to će vam ostati manje novca.

Funkcija i njen graf

Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. U kojoj Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Njegov domen definicije je skup svih realnih brojeva osim Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula: = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Opseg su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
4. Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne siječe koordinatne ose.
7. Nema nule.
8. Ako k> 0 (tj. argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanji ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:

Problemi inverzne proporcionalnosti

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Oni nisu previše komplikovani, a njihovo rješavanje pomoći će vam da vizualizirate što je inverzna proporcionalnost i kako to znanje može biti korisno u vašem svakodnevnom životu.

Zadatak br. 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne do odredišta. Koliko će mu trebati da pređe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo početi tako što ćemo zapisati formulu koja opisuje odnos između vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas uvelike podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. I ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na putu i brzina kojom se kreće u obrnutoj proporciji.

Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je prema uslovu 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Zatim izračunavamo udaljenost koristeći formulu S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje je potrebno od nas prema uslovima problema: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina su zaista obrnuto proporcionalni: pri brzini 2 puta većoj od prvobitne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na putu.

Rješenje ovog problema se također može napisati kao proporcija. Dakle, prvo napravimo ovaj dijagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice pokazuju obrnuto proporcionalni odnos. Također predlažu da se pri sastavljanju proporcije desna strana zapisa mora okrenuti: 60/120 = x/6. Gdje dobijamo x = 60 * 6/120 = 3 sata.

Zadatak br. 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadatu količinu posla mogu obaviti za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?

Zapišimo uslove zadatka u obliku vizuelni dijagram:

↓ 6 radnika – 4 sata

↓ 3 radnika – x ​​h

Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. I dobijamo x = 6 * 4/3 = 8 sati Ako ima 2 puta manje radnika, preostali će potrošiti 2 puta više vremena na sav posao.

Zadatak br. 3. U bazen vode dvije cijevi. Kroz jednu cijev voda teče brzinom od 2 l/s i napuni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev, bazen će se napuniti za 75 minuta. Kojom brzinom voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?

Za početak, smanjimo sve količine koje su nam date prema uslovima problema na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama u minuti: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Pošto iz uslova proizlazi da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina protoka vode manja. Proporcionalnost je inverzna. Izrazimo nepoznatu brzinu kroz x i nacrtajmo sljedeći dijagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

A onda pravimo proporciju: 120/x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrima u sekundi, svodimo odgovor koji smo dobili na isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s;

Zadatak br. 4. Mala privatna štamparija štampa vizit karte. Zaposleni u štampariji radi brzinom od 42 vizit karte na sat i radi ceo dan - 8 sati. Ako je radio brže i odštampao 48 vizitkarti za sat vremena, koliko bi ranije mogao otići kući?

Pratimo dokazani put i pravimo dijagram prema uslovima problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 vizit karte/sat – 8 sati

↓ 48 vizitkarti/h – x h

Imamo obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više vizitkarti odštampa zaposleni u štampariji po satu, isto toliko puta manje vremena će mu trebati da završi isti posao. Znajući ovo, napravimo proporciju:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 sati.

Dakle, pošto je posao završio za 7 sati, radnik štamparije je mogao da ide kući sat ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ovi problemi inverzne proporcionalnosti zaista jednostavni. Nadamo se da sada i vi o njima razmišljate na taj način. A glavna stvar je to znanje o obrnutom proporcionalna zavisnost količine bi vam se zaista mogle pokazati korisnim više puta.

Ne samo na časovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada se spremite za put, u kupovinu, odlučite da zaradite malo više novca tokom praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere inverznih i direktno proporcionalnih odnosa primjećujete oko sebe. Neka bude takva igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak na društvene mreže tako da i vaši prijatelji i drugovi iz razreda mogu da se igraju.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.