A.Yu. Sevalnikov
Kvant i vrijeme u modernoj fizičkoj paradigmi

Godine 2000. obilježeno je 100 godina od rođenja kvantne mehanike. Prelazak preko reda vekova i vekova povod je za razgovor o vremenu, a u ovom slučaju upravo u vezi sa godišnjicom kvanta.

Povezivanje koncepta vremena s idejama kvantne mehanike moglo bi izgledati umjetno i nategnuto, ako ne zbog jedne okolnosti. Još uvijek ne razumijemo značenje ove teorije. “Sa sigurnošću se može reći da niko ne razumije značenje kvantne mehanike”, rekao je Richard Feynman. Suočeni sa mikro-fenomenima, suočeni smo sa nekom misterijom koju pokušavamo da odgonetnemo čitav vek. Kako se ne sjetiti riječi velikog Heraklita da „priroda voli da se skriva“.

Kvantna mehanika je puna paradoksa. Zar ne odražavaju samu suštinu ove teorije? Imamo savršen matematički aparat, prelepu matematičku teoriju, čiji su zaključci uvek potvrđeni iskustvom, a istovremeno nam nedostaju bilo kakve „jasne i jasne” ideje o suštini kvantnih fenomena. Teorija ovdje djeluje prije kao simbol iza kojeg se krije druga stvarnost, manifestirana u nesvodljivim kvantnim paradoksima. „Proročište ne otkriva i ne skriva, ono nagoveštava“, kako je rekao Heraklit. Dakle, šta kvantna mehanika nagovještava?

Počeci njegovog stvaranja bili su M. Planck i A. Einstein. Fokus je bio na problemu emisije i apsorpcije svjetlosti, tj. problem formiranja u širem filozofskom smislu, a samim tim i pokreta. Ovaj problem kao takav još nije došao u centar pažnje. U raspravama oko kvantne mehanike, pre svega su razmatrani problemi verovatnoće i uzročnosti, dualnosti talasa i čestica, problemi merenja, nelokalnosti, učešća svesti i niz drugih, koji su usko povezani direktno sa filozofijom fizike. Međutim, usuđujemo se reći da je problem postajanja, najstariji filozofski problem, glavni problem kvantne mehanike.

Ovaj problem je oduvijek bio usko povezan s teorijom kvanta, od problema zračenja i apsorpcije svjetlosti u djelima Plancka i Einsteina do najnovijih eksperimenata i interpretacija kvantne mehanike, ali uvijek implicitno, kao svojevrsni skriveni podtekst. Zapravo, gotovo sva njegova diskutabilna pitanja usko su povezana s problemom formiranja.

Dakle, tzv “problem mjerenja”, koji igra ključnu ulogu u tumačenjima kvantne mehanike. Merenje dramatično menja stanje kvantnog sistema, oblik talasne funkcije Ψ(r,t). Na primjer, ako pri mjerenju položaja čestice dobijemo manje ili više tačnu vrijednost njene koordinate, tada se talasni paket, koji je bio funkcija Ψ prije mjerenja, „svodi“ na manje prošireni valni paket, koji može čak i biti u obliku tačke ako se mjerenje izvede vrlo precizno. Ovo je povezano sa uvođenjem koncepta „redukcije paketa verovatnoća“ od strane W. Heisenberga, koji karakteriše tako oštru promenu talasne funkcije Ψ(r,t).

Redukcija uvijek dovodi do novog stanja, koje se ne može unaprijed predvidjeti, jer prije mjerenja možemo samo predvidjeti vjerovatnoće raznih mogućih opcija.

Kod klasika je situacija potpuno drugačija. Ovdje, ako je mjerenje izvedeno dovoljno precizno, onda je ovo izjava samo o „sadašnjem stanju“. Dobijamo pravu vrijednost veličine koja objektivno postoji u trenutku mjerenja.

Razlika između klasične mehanike i kvantne mehanike je razlika između njihovih objekata. U klasicima, ovo je trenutno postojeće stanje; u kvantnom slučaju, to je objekat koji nastaje, postaje, objekat koji fundamentalno menja svoje stanje. Štaviše, upotreba pojma „objekt“ nije sasvim legitimna; radije imamo aktualizaciju potencijalnog postojanja, a sam taj čin nije fundamentalno opisan aparatom kvantne mehanike. Smanjenje valne funkcije je uvijek diskontinuitet, skok u stanju.

Heisenberg je bio jedan od prvih koji je tvrdio da nas kvantna mehanika vraća aristotelovskom konceptu postojanja u mogućnosti. Takvo gledište u kvantnoj teoriji vraća nas na dvomodnu ontološku sliku, gdje postoji način postojanja u mogućnosti i način postojanja, tj. svet ostvarenog.

Heisenberg nije razvijao ove ideje na dosljedan način. To je nešto kasnije izvršio V. A. Fok. Koncepti “potencijalne mogućnosti” i “aktualiziranog” koje je uveo vrlo su bliski aristotelovskim konceptima “biti u mogućnosti” i “biti u fazi završetka”.

Prema Foku, stanje sistema opisanog talasnom funkcijom je objektivno u smislu da predstavlja objektivnu (nezavisnu od posmatrača) karakteristiku potencijalnih mogućnosti određenog čina interakcije mikro-objekta sa uređajem. Takvo „objektivno stanje još nije važeće, u smislu da za objekt u tom stanju naznačene potencijalne mogućnosti još nisu ostvarene; prijelaz iz potencijalnih mogućnosti u ostvareno događa se u završnoj fazi eksperimenta“. Statistička distribucija vjerovatnoće koja nastaje tokom mjerenja odražava potencijalne mogućnosti koje objektivno postoje pod datim uslovima. Aktuelizacija, “ostvarivanje” prema Foku nije ništa drugo do “postajanje”, “promjena” ili “kretanje” u širokom filozofskom smislu. Aktuelizacija potencijala uvodi ireverzibilnost, koja je usko povezana sa postojanjem „strele vremena“.

Zanimljivo je da Aristotel direktno povezuje vrijeme sa kretanjem (vidi, na primjer, njegovu “Fiziku” – “vrijeme ne postoji bez promjene”, 222b 30ff, knjiga IV posebno, kao i rasprave – “O nebu”, “O Poreklo i uništenje"). Ne razmatrajući za sada detaljno Aristotelovo shvatanje vremena, primećujemo da je ono za njega, pre svega, mera kretanja, i, šire, mera formiranja bića.

U tom shvaćanju vrijeme dobiva poseban, istaknut status, i ako kvantna mehanika zaista ukazuje na postojanje potencijalnog bića i njegovu aktualizaciju, onda bi u njemu taj poseban karakter vremena trebao biti očigledan.

Upravo je taj poseban status vremena u kvantnoj mehanici dobro poznat i koji su ga više puta zapažali razni autori. Na primjer, de Broglie u knjizi “Heisenbergovi odnosi nesigurnosti i talasna interpretacija kvantne mehanike” piše da QM “ne uspostavlja pravu simetriju između prostornih i vremenskih varijabli. Koordinate x, y, z čestice se smatraju vidljivim, odgovaraju određenim operatorima i imaju u bilo kojem stanju (opisanom talasnom funkcijom Ψ) neku vjerovatnoću raspodjelu vrijednosti, dok se vrijeme t još uvijek smatra potpuno determinističkom vrijednošću.

Ovo se može razjasniti na sljedeći način. Zamislimo galilejevskog posmatrača koji vrši mjerenja. On koristi koordinate x, y, z, t, posmatrajući događaje u svom makroskopskom referentnom okviru. Varijable x, y, z, t su numerički parametri i upravo ti brojevi ulaze u valnu jednačinu i valnu funkciju. Ali svaka čestica atomske fizike odgovara „uočljivim količinama“, koje su koordinate čestice. Odnos između posmatranih veličina x, y, z i prostornih koordinata x, y, z Galilejevog posmatrača je statističke prirode; U opštem slučaju, svaka od posmatranih vrednosti x, y, z može odgovarati čitavom skupu vrednosti sa određenom distribucijom verovatnoće. Što se tiče vremena, u modernoj mehanici talasa ne postoji vidljiva veličina t povezana sa česticom. Postoji samo varijabla t, jedna od prostorno-vremenskih varijabli posmatrača, određena (u suštini makroskopskim) satom koji ovaj posmatrač ima.”

Erwin Schrödinger kaže istu stvar. “U CM-u je vrijeme istaknuto u poređenju sa koordinatama. Za razliku od svih ostalih fizičkih veličina, ne odgovara operatoru, ne statistici, već samo vrijednosti koja se precizno očitava, kao u staroj dobroj klasičnoj mehanici, koristeći uobičajeni pouzdan sat. Izvanredna priroda vremena čini kvantnu mehaniku u njenom modernom tumačenju nerelativističkom teorijom od početka do kraja. Ova karakteristika CM se ne eliminiše kada se uspostavi čisto eksterna „jednakost“ vremena i koordinata, tj. formalna invarijantnost prema Lorentz transformacijama, uz pomoć odgovarajućih promjena u matematičkom aparatu.

Svi QM iskazi imaju sledeći oblik: ako se sada, u trenutku t, izvrši određeno merenje, onda će sa verovatnoćom p njegov rezultat biti jednak a. Kvantna mehanika sve statistike opisuje kao funkcije jednog tačnog vremenskog parametra... U QM nema smisla pitati s kojom vjerovatnoćom će se mjerenje izvršiti u vremenskom intervalu (t. t+ dt), jer Uvijek mogu odabrati vrijeme mjerenja po svom nahođenju.”

Postoje i drugi argumenti koji pokazuju dodijeljenu prirodu vremena, oni su poznati i neću se ovdje zadržavati na njima. Postoje i pokušaji da se prevaziđe takva izolacija, čak do tačke u kojoj su Dirac, Fock i Podolsky predložili takozvanu kovarijansu jednačina. Teorija „više vremena“, kada je svakoj čestici dodijeljena ne samo vlastita koordinata, već i vlastito vrijeme.

U navedenoj knjizi de Broglie pokazuje da takva teorija ne može izbjeći poseban status vremena, a vrlo je karakteristično da knjigu završava sljedećom frazom: „Tako mi se čini nemogućim eliminirati posebnu ulogu koju varijabla kao što se igra vrijeme u kvantnoj teoriji.”

Na osnovu takvog rasuđivanja, možemo pouzdano reći da nas kvantna mehanika tjera da govorimo o raspodjeli vremena, o njegovom posebnom statusu.

Postoji još jedan aspekt kvantne mehanike koji još niko nije razmatrao.

Po mom mišljenju, legitimno je govoriti o dva “puta”. Jedno od njih je naše obično vrijeme – konačno, jednosmjerno, usko je povezano sa aktualizacijom i pripada svijetu ostvarenog. Drugi je ono što postoji za način postojanja u mogućnosti. Teško je to okarakterisati našim uobičajenim terminima, jer na ovom nivou ne postoje pojmovi „kasnije“ ili „ranije“. Princip superpozicije samo pokazuje da u potenciji sve mogućnosti postoje istovremeno. Na ovom nivou postojanja nemoguće je uvesti prostorne koncepte „ovde“ i „tamo“, jer se oni pojavljuju tek nakon „otkrivanja“ sveta, pri čemu vreme igra ključnu ulogu.

Ova se izjava lako može ilustrirati čuvenim misaonim eksperimentom sa dvostrukim prorezom, koji, prema Richardu Feynmanu, sadrži cijelu tajnu kvantne mehanike.

Usmjerimo snop svjetlosti na tanjir sa dva uska proreza. Kroz njih, svjetlost pogađa ekran postavljen iza ploče. Kada bi se svjetlost sastojala od običnih „klasičnih“ čestica, tada bismo na ekranu dobili dvije svijetle pruge. Umjesto toga, kao što je poznato, uočava se niz linija - uzorak interferencije. Interferencija se objašnjava činjenicom da svjetlost putuje ne samo kao tok fotonskih čestica, već u obliku valova.

Ako pokušamo da pratimo putanju fotona i postavimo detektore blizu proreza, tada fotoni počinju da prolaze samo kroz jedan prorez i interferentni obrazac nestaje. „Izgleda da se fotoni ponašaju kao talasi sve dok im je „dozvoljeno“ da se ponašaju kao talasi, tj. širi se kroz prostor bez zauzimanja bilo koje određene pozicije. Međutim, u trenutku kada neko "pita" gde se tačno nalaze fotoni - bilo identifikacijom proreza kroz koji su prošli, ili tako što će udariti u ekran kroz samo jedan prorez - oni momentalno postaju čestice...

U eksperimentima sa dvostrukim prorezom, fizičarov izbor mjernog instrumenta uzrokuje da foton "bira" između prolaska kroz oba proreza istovremeno, poput vala, ili kroz samo jedan prorez, poput čestice. Međutim, šta bi se dogodilo, upitao je Wheeler, kada bi eksperimentator nekako mogao da sačeka da svetlost prođe kroz proreze pre nego što odabere metod posmatranja?

Takav eksperiment "odloženog izbora" može se jasnije demonstrirati korištenjem zračenja kvazara. Umjesto ploče s dvostrukim prorezom, "takav eksperiment koristio bi gravitacijsko sočivo - galaksiju ili drugi masivni objekt koji može podijeliti zračenje kvazara i zatim ga fokusirati prema udaljenom posmatraču, stvarajući dvije ili više slika kvazara...

Astronomov izbor na koji način će danas promatrati fotone iz kvazara određen je time da li je svaki foton putovao oba puta ili samo jednu stazu u blizini gravitacijskog sočiva prije milijardi godina. U trenutku kada su fotoni stigli do “galaktičkog razdjelnika snopa”, morali su imati nešto poput predosjećaja koji im govori kako da se ponašaju kako bi odgovarali izboru koji će napraviti nerođena bića na planeti koja još ne postoji. ”

Kao što Wheeler ispravno ističe, takve spekulacije proizlaze iz pogrešne pretpostavke da fotoni imaju neki oblik prije nego što budu izmjereni. U stvari, „sami kvantni fenomeni nemaju ni korpuskularni ni talasni karakter; njihova priroda nije određena dok se ne izmjere.”

Eksperimenti sprovedeni 90-ih potvrđuju takve "čudne" zaključke iz kvantne teorije. Kvantni objekat zaista „ne postoji“ do trenutka merenja, kada dobije stvarno postojanje.

Jedan aspekt takvih eksperimenata istraživači do sada gotovo nisu raspravljali, a to je vremenski aspekt. Na kraju krajeva, kvantni objekti stječu svoje postojanje ne samo u smislu svoje prostorne lokalizacije, već i počinju „biti“ u vremenu. Pretpostavljajući postojanje potencijalnog postojanja, potrebno je izvući zaključak o kvalitativno različitoj prirodi postojanja na ovom nivou postojanja, uključujući i onaj privremeni.

Kao što slijedi iz principa superpozicije, različita kvantna stanja postoje „istovremeno“, tj. kvantni objekat u početku, prije ažuriranja svog stanja, postoji u svim prihvatljivim stanjima odjednom. Kada se valna funkcija smanji iz “superponiranog” stanja, ostaje samo jedna od njih. Naše obično vrijeme je usko povezano sa ovakvim „događajima“, sa procesom aktualizacije potencijala. Suština “strelice vremena” u ovom shvatanju je da objekti nastaju, “postaju”, a sa tim procesom su povezani jednosmernost vremena i njegova nepovratnost. Kvantna mehanika, Schrödingerova jednačina opisuje liniju između nivoa mogućeg postojanja i stvarnog postojanja, tačnije, daje dinamiku, vjerovatnoću realizacije potencijala. Sam potencijal nam nije dan; kvantna mehanika samo ukazuje na njega. Naše znanje je još uvijek u osnovi nepotpuno. Imamo aparat koji opisuje klasični svijet, odnosno stvarni, manifestni svijet - to je aparat klasične fizike, uključujući teoriju relativnosti. I imamo matematički formalizam kvantne mehanike koji opisuje postajanje. Sam formalizam je „nagađan“ (ovdje vrijedi prisjetiti se kako je otkrivena Schrödingerova jednadžba), on se niotkuda ne izvodi, pa se postavlja pitanje potpunije teorije. Po našem mišljenju, kvantna mehanika nas samo dovodi do ruba manifestne egzistencije, omogućava da se malo otkriju tajne bića i vremena, a da se ne razotkriju i nemaju takvu priliku da ih potpuno otkrijemo. Možemo samo zaključiti o složenijoj strukturi vremena, o njegovom posebnom statusu.

Pozivanje na filozofsku tradiciju također će pomoći da se potkrijepi ovo gledište. Kao što znate, Platon također razlikuje dva vremena - samo vrijeme i vječnost. Za njega su vrijeme i vječnost nesamjerljivi; vrijeme je samo pokretna slika vječnosti. Kada je demijurg stvorio Univerzum, kako je opisano u Timeju, demijurg je „planirao da stvori neku vrstu pokretnog privida večnosti; Uredivši nebo, on zajedno s njim stvara za vječnost, koja prebiva u jednom, vječnu sliku koja se kreće od broja do broja, koji smo nazvali vremenom.”

Platonov koncept je prvi pokušaj da se prevaziđu, da se sintetišu dva pristupa vremenu i svetu. Jedna od njih je parmenidska linija, duh eleatske škole, gdje su poricani svi pokreti i promjene, gdje je samo vječno postojanje priznato kao istinski postojeće, druga je povezana s filozofijom Heraklita, koji je tvrdio da je svijet kontinuirani proces, neka vrsta sagorijevanja ili neprekidnog strujanja.

Još jedan pokušaj da se prevaziđe takva dualnost bila je Aristotelova filozofija. Uvođenjem pojma potencijalnog bića, po prvi put je mogao opisati kretanje, čiju doktrinu izlaže u bliskoj vezi sa naukom o prirodi.

Na osnovu Platonove dualističke sheme „bitak-nepostojanje“ ispada da je nemoguće opisati kretanje; potrebno je „pronaći „osnovnu“ trećinu, koja bi bila posrednik između suprotnosti.

Aristotelovo uvođenje koncepta dinamisa - "biti u mogućnosti" uzrokovano je njegovim odbacivanjem Platonove metode, koja je polazila od suprotnosti "postojeći-nepostojeći". Kao rezultat ovakvog pristupa, piše Aristotel, Platon mu je presekao put ka razumevanju promene, koja je glavna karakteristika prirodnih fenomena. “...Ako uzmemo one koji stvarima pripisuju postojanje i nepostojanje zajedno, iz njihovih riječi prije ispada da sve stvari miruju, a ne u pokretu: zapravo, nema više u šta da se mijenja, jer postoje sva svojstva<уже>u svim stvarima." [Metafizika, IV,5].

„Dakle, opozicija bitak-nebiće, kaže Aristotel, treba da bude posredovana nečim trećim: takav posrednik između njih je Aristotelov koncept „bića u mogućnosti“. Aristotel tako uvodi pojam mogućnosti kako bi objasnio promjenu, nastanak i smrt svega prirodnog i time izbjegao situaciju koja se razvila u sistemu Platonovog mišljenja: izlazak iz nepostojanja je slučajan nastanak. I zaista, sve u svijetu prolaznih stvari za Platona je nespoznatljivo, jer je slučajne prirode. Takav prijekor u odnosu na velikog dijalektičara antike može izgledati čudno: na kraju krajeva, kao što je poznato, dijalektika je ta koja ispituje predmete sa stanovišta promjene i razvoja, što se ne može reći za formalno-logičku metodu, tvorca za koje se s pravom smatra Aristotel.”

Međutim, ovaj Aristotelov prigovor je potpuno opravdan. Zaista, paradoksalno, promjena koja se događa sa čulnim stvarima ne spada u Platonovo vidno polje. Njegova dijalektika razmatra subjekt u njegovoj promjeni, ali to je, kako ispravno primjećuje P.P. Gaidenko, poseban subjekt - logičan. Kod Aristotela je subjekt promjene prešao iz logičke sfere u sferu postojanja, a same logičke forme prestale su biti predmet promjene. Postojanje u Stagiritu ima dvostruki karakter: postojanje u stvarnosti i postojanje u mogućnosti, a budući da ima „dvostruki karakter, onda se sve mijenja od postojanja u mogućnosti u postojanje u stvarnosti... I stoga do pojave može doći ne samo - slučajno - od nepostojećeg, ali i<можно сказать, что>sve proizlazi iz onoga što postoji, naime iz onoga što postoji u mogućnosti, ali ne postoji u stvarnosti” (Metafizika, XII, 2). Pojam dinamis ima nekoliko različitih značenja, koja Aristotel identificira u V. knjizi Metafizike. Dva glavna značenja su naknadno dobila terminološku distinkciju na latinskom - potentia i possibilitas, koja se često prevode kao "sposobnost" i "mogućnost" (up. sposobnost - Vermögen, i mogućnost - Möglichkeit). „Naziv mogućnosti (dinamiz) prije svega označava početak kretanja ili promjene, koje je u nečem drugom ili zato što je drugo, kao što je, na primjer, umjetnost građenja kapacitet koji nije u onome što se gradi. ; a umijeće medicine, kao određena sposobnost, može biti u onome ko se liječi, ali ne zato što se liječi” (Metafizika, V, 12).

Za Aristotela, vrijeme je usko povezano sa kretanjem (u najširem smislu). “Nemoguće je da vrijeme postoji bez kretanja.” Prema Aristotelu, to je očigledno, jer „ako postoji vrijeme, očito mora postojati i kretanje, budući da je vrijeme određeno svojstvo kretanja“. To znači da ne postoji kretanje samo po sebi, već samo bitak koji se mijenja, postaje, a “vrijeme je mjera kretanja i prisutnost [tjela] u stanju kretanja”. Odavde postaje jasno da i vrijeme postaje mjera bića, jer „za sve ostalo, biti u vremenu znači mjeriti svoje postojanje vremenom“.

Postoji značajna razlika između pristupa Platona i Aristotela u razumijevanju vremena. Za Platona su vrijeme i vječnost nesamjerljivi; oni su kvalitativno različiti. Za njega je vrijeme samo pokretna slika vječnosti (Timaeus, 38a), jer sve što je nastalo nije uključeno u vječnost, imajući početak, a time i kraj, tj. bilo je i biće, dok večnost samo postoji.

Aristotel poriče vječno postojanje stvari, i iako uvodi pojam vječnosti, ovaj koncept za njega je prije beskonačno trajanje vječnog postojanja svijeta. Njegova logička analiza, ma koliko briljantna bila, nije u stanju da shvati postojanje nečeg kvalitativno drugačijeg. Platonov pristup, iako ne opisuje kretanje u čulnom svijetu, ispada dalekovidiji u odnosu na vrijeme. Nakon toga, koncepti vremena su razvijeni u okviru neoplatonske škole i kršćanske metafizike. Bez mogućnosti da uđemo u analizu ovih učenja, samo ćemo navesti zajedničke karakteristike koje ih ujedinjuju. Svi govore o postojanju dva vremena - običnog vremena povezanog s našim svijetom i vječnosti, eona (αιων), povezanog sa nadosjetnim bićem.

Vraćajući se na analizu kvantne mehanike, napominjemo da je talasna funkcija definisana na konfiguracionom prostoru sistema, a sama funkcija Ψ je vektor beskonačno-dimenzionalnog Hilbertovog prostora. Ako valna funkcija nije samo apstraktni matematički konstrukt, već ima neki referent u postojanju, onda je potrebno izvući zaključak o njenom „drugom postojanju“, nepripadanju stvarnom četverodimenzionalnom prostoru-vremenu. Istu tezu demonstrira i dobro poznata „neuočljivost“ valne funkcije i njena sasvim opipljiva stvarnost, na primjer, u Aharonov-Bohm efektu.

Uz aristotelovski zaključak da je vrijeme mjera bića, možemo zaključiti da nam kvantna mehanika dozvoljava, u najmanju ruku, da postavimo pitanje višestrukosti vremena. Ovdje moderna nauka, prema figurativnom izrazu V.P. Vizgina, „ulazi u plodnu „ideološku prozivku“ sa antičkim nasljeđem“. Zaista, već je „Ajnštajnova teorija relativnosti bliža idejama starih o prostoru i vremenu kao svojstvima bića, neodvojivim od poretka stvari i poretka njihovog kretanja, nego Njutnovim idejama o apsolutnom prostoru i vremenu, zamišljenim kao potpuno ravnodušan prema stvarima i njihovim kretanjima, ako ne i ovisni o njima."

Vrijeme je usko povezano sa “događajem”. “U svijetu u kojem postoji jedna “stvarnost”, gdje “mogućnost” ne postoji, ne postoji ni vrijeme; vrijeme je teško predvidivo stvaranje i nestanak, preuređenje “paketa mogućnosti” jednog ili drugog postojanje.” Ali sam „paket mogućnosti“ postoji, kako smo želeli da pokažemo, u uslovima drugog vremena. Ova izjava je svojevrsna “metafizička hipoteza”, međutim, ako uzmemo u obzir da je kvantna mehanika nedavno postala “eksperimentalna metafizika”, onda možemo postaviti pitanje eksperimentalnog otkrivanja takvih “supratemporalnih” struktura povezanih s valnim funkcijama. sistema. Na prisutnost takvih struktura iz drugog vremena već indirektno ukazuju eksperimenti s “odgođenim izborom” i Wheelerov misaoni eksperiment s “galaktičkim sočivom”, koji demonstrira moguće “kašnjenje” eksperimenta u vremenu. Koliko je ova hipoteza tačna, vreme će pokazati.

Bilješke

Fock V.A. O tumačenju kvantne mehanike. M., 1957. P. 12.

L. de Broglie. Heisenbergove relacije nesigurnosti i talasna interpretacija kvantne mehanike. M., 1986. S. 141-142.

Schrödinger E. Specijalna teorija relativnosti i kvantna mehanika // Einsteinova zbirka. 1982-1983. M., 1983. P. 265.

L. de Broglie. Dekret. rad. P. 324.

Horgan J. Kvantna filozofija // U svijetu znanosti. 1992. br. 9-10. P. 73.

Horgan J. Tamo. P. 73.

Tamo. P. 74.

Platon. Timeja, 38a.

Tamo. 37 str.

Gaidenko P.P. Evolucija koncepta nauke. M., 1980. P. 280.

Tamo. P. 282.

Aristotel. O stvaranju i uništenju, 337 a 23f.

Aristotel. Fizika, 251b 27 i dalje.

Ibid., 221a.

Ibid., 221a 9f.

Za opis neoplatonističkog koncepta, pogledajte, na primjer: Losev A.F. Biti. Ime. Prostor. M., 1993. S. 414-436; o razumijevanju vremena u kršćanskoj teologiji: Lossky V.N. Esej o mističnoj teologiji istočne crkve. M., 1991. Ch. V.

Vizgin V.P. Proučavanje vremena // Filozofija. istraživanja M., 1999. br. 3. str. 149.

Tamo. P. 149.

Tamo. P. 157.

Horgan, Džon. Quanten-philosophie // Quantenphilosophie. Heidelberg, 1996. S. 130-139.

Očigledna neprimjenjivost klasične fizike, mehanike i elektrodinamike za opisivanje mikro objekata, atoma, molekula, elektrona i zračenja. Problem ravnotežnog toplotnog zračenja. Problem stabilnosti supstance. Diskrecija u mikrokosmosu. Spektralne linije. Eksperimenti Franka i Hertza.

Diskretnost u klasičnoj fizici. Analogija s problemima vlastitih vrijednosti. Vibracije struna, talasna jednačina, granični uslovi. Potreba za talasnim opisom mikročestica. Eksperimentalne indikacije valnih svojstava mikro objekata. Difrakcija elektrona. Eksperimenti Davissona i Germera.

Talasna i geometrijska optika. Opis valnih polja u granici malih talasnih dužina kao tokova čestica. De Broglieova ideja o konstrukciji kvantne ili valne mehanike.

Elementi klasične mehanike: princip najmanjeg djelovanja, Lagrangeova funkcija, djelovanje kao funkcija koordinata, zapisivanje principa najmanjeg djelovanja kroz Hamiltonovu funkciju. Jednačina Hamilton-Jacobi. Skraćena akcija. Djelovanje čestice koje se slobodno kreće

Talasna jednadžba u klasičnoj fizici. Monokromatski talasi. Helmholtzova jednadžba.

Rekonstrukcija talasne jednačine za slobodnu česticu iz disperzione relacije. Schrödingerova jednadžba za slobodnu nerelativističku česticu.

2. Fizičke veličine u klasičnoj i kvantnoj mehanici.

Potreba za uvođenjem fizičkih veličina kao operatora, na primjeru impulsa i Hamiltonovih operatora. Interpretacija valne funkcije. Amplituda vjerovatnoće. Princip superpozicije. Sabiranje amplituda.

Misaoni eksperiment sa dva proreza. Amplituda prijelaza. Amplituda prijelaza kao Greenova funkcija Schrödingerove jednadžbe. Amplitudne smetnje. Analogija sa principom Huygens-Fresnel. Sastav amplituda.

Distribucija vjerovatnoće za poziciju i zamah. Idi k- performanse. Fourierova transformacija kao ekspanzija svojstvenih funkcija operatora momenta. Interpretacija vlastitih vrijednosti operatora kao vidljivih fizičkih veličina.

Delta funkcija kao jezgro operatora jedinice. Razni pogledi

delta funkcije. Izračunavanje Gausovih integrala. Malo matematike. Sećanja na matematičku fiziku i novi izgled.

3. Opća teorija operatora fizičkih veličina.

Problemi s vlastitim vrijednostima. Kvantni brojevi. Šta znači "fizička veličina ima određeno značenje?" Diskretni i kontinuirani spektri.

Hermitizam-definicija. Valjanost prosjeka i vlastitih vrijednosti. Ortogonalnost i normalizacija. Valovi funkcioniraju kao vektori. Točkasti proizvod funkcija.

Dekompozicija funkcija na vlastite funkcije operatora. Osnovne funkcije i proširenja. Izračunavanje koeficijenata. Operatori kao matrice. Kontinuirani i diskretni indeksi. Reprezentacije operatora množenja i diferencijacije kao matrice.

Diracova notacija. Apstraktni vektori i apstraktni operatori. Zastupstva i prelazak na razne baze.

4. Mjerenje u kvantnoj mehanici.

Makroskopnost i klasicizam mjernog uređaja. Mjerenje je "dekompozicija" zasnovana na vlastitim funkcijama uređaja.

5. Schrödingerova jednadžba za slobodnu nerelativističku česticu.

Rješenje Furijeovom metodom. Wave packet. Princip neizvjesnosti. Nekomutativnost operatora momenta i koordinata. Od kojih varijabli zavisi valna funkcija? Koncept kompletnog seta. Nedostatak putanje.

Promjenjivost operatora i postojanje zajedničkih svojstvenih funkcija.

Nužnost i dovoljnost. Još jednom o prelasku na različite baze.

Transformacije operatora i vektora stanja. Unitarni operatori su operatori koji čuvaju ortonormalnost.

Nestacionarna Schrödingerova jednadžba. Evolution operator. Greenova funkcija. Funkcije od operatera. Konstrukcija operatora evolucije proširenjem stacionarne jednadžbe u terminima vlastitih funkcija. Operator derivacije fizičke veličine s obzirom na vrijeme.

6. Heisenberg reprezentacija.

Heisenbergove jednačine. Schrödingerova jednadžba za spregnute i asimptotski slobodne sisteme.

7. Zamršene i nezavisne države.

Uslov za postojanje talasne funkcije za podsistem. Čista i mješovita stanja podsistema. Opis mješovitih stanja korištenjem matrice gustine. Pravilo za izračunavanje prosjeka. Evolucija matrice gustine. Von Neumannova jednadžba.

8. Jednodimenzionalno kretanje.

Jednodimenzionalna Schrödingerova jednadžba. Opće teoreme. Kontinuirani i diskretni spektri. Rješavanje problema sa komadično konstantna potencijali. Granični uslovi potencijalnih skokova. Traganje za diskretnim nivoima i svojstvenim funkcijama u pravokutnim potencijalima. Teorema oscilacije. Varijacijski princip. Primjer plitke rupe. Postojanje vezanog stanja u bušotini bilo koje dubine u dimenzijama 1 i 2. Jednodimenzionalni problem raspršenja. Čak i potencijali. Operator parnosti. Zakon održanja parnosti je fundamentalno kvantni GS koji nema analoga u klasičnom svijetu.

9. Tačno rješivi potencijali.

Konstantna snaga. Harmonski oscilator. Morzeov potencijal. Epsteinov potencijal. Nereflektivni potencijali. Pominjanje inverznog problema teorije raspršenja. Laplaceov metod. Hipergeometrijske i degenerisane hipergeometrijske funkcije. Pronalaženje rješenja u obliku serije. Analitički nastavak. Analitička teorija diferencijalnih jednadžbi. Trodimenzionalna Schrödingerova jednadžba. Centralno simetrična potencijal. Izotropija.

10. Harmonski oscilator.

Operatorski pristup rađanja i uništavanja. A la Feinman, "Statistička fizika". Proračun svojstvenih funkcija, normalizacija i matričnih elemenata. Hermitova jednadžba. Laplaceov metod. Pronalaženje rješenja u obliku serije. Pronalaženje svojstvenih vrijednosti iz uslova prekida serije.

11. Operator orbitalnog momenta.

Transformacija rotacije. Definicija. Komutacijski odnosi. Svojstvene funkcije i brojevi. Eksplicitni izrazi za operatore orbitalnog momenta u sfernim koordinatama. Izvođenje svojstvenih vrijednosti i operatorskih funkcija. Matrični elementi operatora orbitalnog momenta. Simetrija u odnosu na inverzijsku transformaciju. Pravi i pseudo skalari, vektori i tenzori. Parnost različitih sfernih harmonika. Rekurentni izraz za vlastite funkcije momenta.

12. Kretanje u centralnom polju.

Opća svojstva. Centrifugalna energija. Normalizacija i ortogonalnost. Slobodno kretanje u sfernim koordinatama.

Sferne Beselove funkcije i njihovi izrazi kroz elementarne funkcije.

Problem oko trodimenzionalne pravokutne jame. Kritična dubina za postojanje vezanog stanja. Sferni harmonijski oscilator. Rješenje u kartezijanskim i sfernim koordinatnim sistemima. Vlastite funkcije. Degenerirana hipergeometrijska funkcija. Jednačina. Rješenje u obliku stepena niza. Kvantizacija je posljedica konačnosti niza.

13. Kulonovo polje.

Bezdimenzionalne varijable, Kulonov sistem jedinica. Rješenje u sfernom koordinatnom sistemu. Diskretni spektar. Izraz za vlastite vrijednosti energije. Odnos između glavnih i radijalnih kvantnih brojeva. Proračun stepena degeneracije. Prisustvo dodatne degeneracije.

14. Teorija perturbacije.

Teorija stacionarne perturbacije. Opća teorija. Geometrijska progresija operatora. Teorija stacionarne perturbacije. Korekcije frekvencije za slabo anharmonični oscilator. Teorija stacionarne perturbacije u slučaju degeneracije. Sekularna jednadžba. Problem elektrona u polju dva identična jezgra. Ispravne funkcije aproksimacije nule. Integrali preklapanja. Teorija nestacionarne perturbacije. Opća teorija. Rezonantni slučaj. Fermijevo zlatno pravilo.

15. Poluklasična aproksimacija.

Osnovna rješenja. Lokalna tačnost. Linijski sloj. Prozračna funkcija. VKB rešenje. Zwanova metoda. Potencijalni problem bušotine. Pravila kvantizacije Bora-Sommerfeld. VKB pristup. Problem prolaza ispod barijere. Problem refleksije iznad barijera.

16. Spin.

Višekomponentna valna funkcija. Analogno polarizaciji elektromagnetnih talasa. Stern-Gerlach eksperiment. Spin varijabla. Infinitezimalna transformacija rotacije i spin operator.

Komutacijski odnosi. Vlastite vrijednosti i vlastite funkcije spin operatora. Matrični elementi. Spin 1/2. Paulijeve matrice. Komutacija i antikomutacijski odnosi. Algebra Paulijevih matrica. Proračun proizvoljne funkcije spin skalara. Operator konačne rotacije. Derivacija pomoću matrične diferencijalne jednadžbe. Pretvorba u linearnu s formu. Matrice U x,y,z . Određivanje intenziteta zraka u Stern-Gerlach eksperimentima pri rotiranju analizatora.

17. Kretanje elektrona u magnetskom polju.

Pauli jednadžba. Gyromagnetic ratio. Uloga potencijala u kvantnoj mehanici. Invarijantnost mjerača. Bohm-Aronov efekat. Komutacijski odnosi za brzine. Kretanje elektrona u jednoličnom magnetskom polju. Landau kalibracija. Rješenje jednadžbe. Landau nivoi. Vodeći koordinatni operater centra. Komutacijski odnosi za to.

1. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Kvantna mehanika, tom 3, Moskva, "Nauka", 1989.
2. L. Schiff, Kvantna mehanika, Moskva, IL, 1967
3. A. Messiah, Kvantna mehanika, tom 1,2, M. Nauka, 1978.
4. A. S. Davidov, Kvantna mehanika, M. Nauka, 1973
5. D.I. Blokhincev, Osnove kvantne mehanike, Moskva, „Nauka“, 1976.
6. V.G. Levich, Yu. A. Vdovin, V. A. Myamlin, Kurs teorijske fizike, vol.2
7. L.I. Mandelstam, Predavanja iz optike, relativnosti i kvantne mehanike.

dodatnu literaturu

1. R. Feynman, Leighton, Sands, Feynman Lectures on Physics (FLF), tom 3,8,9
2. E. Fermi, Kvantna mehanika, M. Mir, 1968
3. G. Bethe, Kvantna mehanika, M. Mir, 1965
4. P. Dirac, Principi kvantne mehanike, M. Nauka, 1979
5. V. Balashov, V. Dolinov, Kurs kvantne mehanike, ur. MSU, Moskva

Problemske knjige

1. A.M. Galitsky, B. M. Karnakov, V. I. Kogan, Problemi u kvantnoj mehanici. Moskva, „Nauka“, 1981.
2. M.Sh. Goldman, V. L. Krivčenkov, M. Nauka, 1968
3. Z. Flügge, Problemi u kvantnoj mehanici, tom 1.2 M. Mir, 1974

Pitanja za kontrolu

1. Dokažite da Schrödingerova jednačina čuva gustinu vjerovatnoće.
2. Dokažite da su vlastite funkcije US beskonačnog kretanja dvostruko degenerisane.
3. Dokažite da su vlastite funkcije US slobodnog kretanja koje odgovaraju različitim impulsima ortogonalne.
4. Dokazati da su vlastite funkcije diskretnog spektra nedegenerirane.
5. Dokažite da su vlastite funkcije diskretnog spektra US s parnim bunarom ili parne ili neparne.
6. Naći svojstvenu funkciju USH s linearnim potencijalom.
7. Odrediti nivoe energije u simetričnom pravokutnom bunaru konačne dubine.
8. Izvesti granične uslove i odrediti koeficijent refleksije iz delta potencijal.
9. Napišite jednadžbu za vlastite funkcije harmonijskog oscilatora i svedite je u bezdimenzionalni oblik.
10. Naći svojstvenu funkciju osnovnog stanja harmonijskog oscilatora. Normalizujte ga.
11. Definirajte operatore kreiranja i uništavanja. Napišite Hamiltonian harmonijskog oscilatora. Opišite njihova svojstva.
12. Rješavajući jednadžbu u koordinatnom prikazu, pronaći svojstvenu funkciju osnovnog stanja.
13. Korišćenje operatera a, a+ izračunati matrične elemente operatora x 2 , p 2 na osnovu sopstvenih funkcija harmonijskog oscilatora.
14. Kako se koordinate transformišu tokom infinitezimalne (infinitezimalne) rotacije.
15. Odnos između obrtnog momenta i operatera rotacije. Definicija operatora momenta. Izvesti komutacione relacije između komponenti momenta Izvesti komutacione relacije između projekcija trenutka i koordinata Izvesti komutacione relacije između projekcija trenutka i impulsa l 2 ,l_z reprezentacije.
16. Vlastite funkcije momenta u sfernim koordinatama. Napišite jednačinu i njeno rješenje koristeći metodu razdvajanja varijabli. Izražavanje preko spojenih Legendreovih polinoma.
17. Paritet stanja, inverzijski operator. Skalari i pseudoskalari, polarni i aksijalni vektori. Primjeri.
18. Inverzijska transformacija u sfernim koordinatama. Odnos pariteta i orbitalnog momenta.
19. Svesti problem dva tijela na problem kretanja jedne čestice u središnjem polju.
20. Odvojite HS varijable za centralno polje i napišite opšte rješenje.
21. Napišite uvjet za ortonormalnost. Koliko kvantnih brojeva i koji čine kompletan skup.
22. Odredite energetske nivoe čestica pomoću impulsa l, jednako 0, krećući se u sfernom pravokutnom bunaru konačne dubine. Odredite minimalnu dubinu rupe potrebnu za postojanje vezanog stanja.
23. Odredite energetske nivoe i valne funkcije sfernog harmonijskog oscilatora odvajanjem varijabli u kartezijanskim koordinatama. Šta su kvantni brojevi? Odredite stepen degeneracije nivoa.
24. Napišite SE za kretanje u Kulonovom polju i svedite ga na bezdimenzionalni oblik. Atomski sistem jedinica.
25. Odrediti asimptotičko ponašanje radijalne funkcije kretanja u Kulonovom polju blizu centra.
26. Koliki je stepen degeneracije nivoa pri kretanju u Kulonovom polju.
27. Izvedite formulu za prvu korekciju valne funkcije koja odgovara nedegeneriranoj energiji
28. Izvedite formulu za prvu i drugu korekciju energije.
29. Koristeći teoriju perturbacije, pronađite prvu korekciju frekvencije slabo anharmoničnog oscilatora zbog perturbacije. Koristite operatore stvaranja i uništavanja
30. Izvesti formulu za korekciju energije u slučaju m-struke degeneracije ovog nivoa. Sekularna jednadžba.
31. Izvesti formulu za korekciju energije u slučaju 2-struke degeneracije ovog nivoa. Odredite ispravne valne funkcije nulte aproksimacije.
32. Izvedite nestacionarnu Schrödingerovu jednačinu u prikazu svojstvene funkcije neporemećenog Hamiltonijana.
33. Izvesti formulu za prvu korekciju valne funkcije sistema pod proizvoljnim nestacionarnim poremećajem
34. Izvesti formulu za prvu korekciju talasne funkcije sistema pod harmonijskim nerezonantnim poremećajem.
35. Izvedite formulu za vjerovatnoću prijelaza pod rezonantnim djelovanjem.
36. Fermijevo zlatno pravilo.
37. Izvedite formulu za vodeći član kvaziklasične asimptotske ekspanzije.
38. Napišite lokalne uvjete za primjenjivost poluklasične aproksimacije.
39. Napišite poluklasično rješenje za SAD koje opisuje kretanje u uniformnom polju.
40. Napišite poluklasično rješenje za SAD koje opisuje kretanje u uniformnom polju lijevo i desno od točke okretanja.
41. Koristeći Zwan metodu, izvedite granične uslove za prijelaz iz polu-beskonačnog klasično zabranjenog područja u klasično dozvoljeno područje. Koliki je fazni pomak tokom refleksije?
42. U poluklasičnoj aproksimaciji odrediti nivoe energije u potencijalnoj bušotini. Pravilo kvantizacije Bora-Sommerfeld.
43. Korištenje pravila kvantizacije Bora-Sommerfeld odrediti nivoe energije harmonijskog oscilatora. Uporedite sa tačnim rešenjem.
44. Koristeći Zwan metodu, izvedite granične uslove za prijelaz iz polubeskonačne klasično dozvoljene regije u klasično zabranjenu.
45. Spin koncept. Spin varijabla. Analogno polarizaciji elektromagnetnih talasa. Stern-Gerlach eksperiment.
46. Infinitezimalna transformacija rotacije i spin operator. Na koje varijable utiče spin operator?
47. Napišite komutacijske relacije za spin operatore
48. Dokazati da operator s 2 komutira s operatorima projekcije spina.
49. Šta se desilo s 2 , s z performanse.
50. Napišite Paulijeve matrice.
51. Napišite matricu s 2 .
52. Napišite vlastite funkcije operatora s x , y , z za s=1/2 u s 2 , s z reprezentaciji.
53. Dokažite direktnim proračunom da su Paulijeve matrice antikomutativne.
54. Napišite konačne rotacijske matrice U x , y , z
55. Snop polariziran po x pada na Stern-Gerlachov uređaj s vlastitom z osom. Koji je izlaz?
56. Z-polarizovani snop pada na Stern-Gerlach uređaj duž x ose. Koliki je izlaz ako je z" osa uređaja rotirana u odnosu na x os za ugao j?
57. Napišite SE nabijene čestice bez spina u magnetskom polju
58. Upišite US za nabijenu česticu sa spinom 1/2 u magnetskom polju.
59. Opišite odnos između spina i magnetskog momenta čestice. Što je žiromagnetski omjer, Borov magneton, nuklearni magneton. Koliki je žiromagnetski omjer elektrona?
60. Uloga potencijala u kvantnoj mehanici. Invarijantnost mjerača.
61. Prošireni derivati.
62. Napisati izraze za operatore komponenti brzine i dobiti komutacijske odnose za njih na konačnom magnetskom polju.
63. Napišite jednadžbe kretanja elektrona u jednoličnom magnetskom polju u Landauovom mjeraču.
64. Dovedite jednadžbu elektrona u magnetskom polju u bezdimenzionalni oblik. Magnetna dužina.
65. Izvedite valne funkcije i energetske vrijednosti elektrona u magnetskom polju.
66. Koji kvantni brojevi karakterišu stanje? Landau nivoi.

Kafa se hladi, zgrade se ruše, jaja se lome, a zvijezde nestaju u svemiru koji izgleda predodređen da se smjesti u sivu monotoniju poznatu kao termička ravnoteža. Astronom i filozof Sir Arthur Eddington izjavio je 1927. da je postepeno rasipanje energije dokaz nepovratnosti “strelice vremena”.

Ali na zaprepaštenje čitavih generacija fizičara, koncept strele vremena ne odgovara osnovnim zakonima fizike, koji djeluju u vremenu i u smjeru naprijed i u suprotnom smjeru. Prema ovim zakonima, kada bi neko znao putanje svih čestica u svemiru i preokrenuo ih, energija bi se akumulirala, a ne raspršila: hladna kafa bi se počela zagrijavati, zgrade bi se dizale iz ruševina, a sunčeva svjetlost bi se usmjerila natrag prema Ned.

“Imali smo poteškoća u klasičnoj fizici,” kaže profesor Sandu Popescu, koji predaje fiziku na britanskom Univerzitetu u Bristolu. „Kad bih znao više, da li bih mogao da preokrenem tok događaja i ponovo spojim sve molekule razbijenog jajeta?“

Naravno, kaže on, strela vremena nije vođena ljudskim neznanjem. Pa ipak, od rođenja termodinamike 1850-ih, jedini poznati način za izračunavanje širenja energije bio je da se formuliše statistička distribucija nepoznatih putanja čestica i pokaže da, vremenom, neznanje zamagljuje sliku stvari.

Sada fizičari otkrivaju fundamentalniji izvor strele vremena. Energija se raspršuje i objekti dolaze u ravnotežu, kažu, zato što se elementarne čestice zapliću kada su u interakciji. Ovaj čudni efekat nazvali su "kvantno miješanje" ili zapletanje.

„Konačno možemo shvatiti zašto šoljica kafe u prostoriji dolazi u ravnotežu s njom“, kaže kvantni fizičar iz Bristola Tony Short. “Postoji zabuna između stanja šoljice kafe i stanja sobe.”

Popescu, Short i njihove kolege Noah Linden i Andreas Winter izvijestili su o svom otkriću u časopisu Physical Review E 2009. godine, rekavši da objekti dolaze u ravnotežu, odnosno stanje jednolične distribucije energije, na neodređeno vrijeme. zbog kvantnomehaničkog miješanja sa okolinom. Slično otkriće je nekoliko mjeseci ranije napravio Peter Reimann sa Univerziteta u Bielefeldu u Njemačkoj, objavljujući svoje nalaze u Physical Review Letters. Short i kolege su ojačali svoje argumente 2012. godine pokazujući da zapetljanost uzrokuje ravnotežu u konačnom vremenu. I u radu objavljenom u februaru na web stranici arXiv. org, dvije odvojene grupe napravile su sljedeći korak računajući da se većina fizičkih sistema brzo uravnoteži u vremenu koje je direktno proporcionalno njihovoj veličini. „Da bismo pokazali da se ovo odnosi na naš stvarni fizički svijet, procesi se moraju odvijati u razumnom vremenskom okviru“, kaže Short.

Tendencija kafe (i svega ostalog) da dođe u ravnotežu je "veoma intuitivna", kaže Nicolas Brunner, kvantni fizičar sa Univerziteta u Ženevi. “Ali u objašnjavanju razloga za to, po prvi put imamo čvrstu osnovu uzimajući u obzir mikroskopsku teoriju.”

© RIA Novosti, Vladimir Rodionov

Ako je nova linija istraživanja tačna, onda priča o strijeli vremena počinje s kvantnomehaničkom idejom da je priroda u osnovi neodređena. Elementarna čestica je lišena specifičnih fizičkih svojstava, a određena je samo vjerovatnoćama da se nalazi u određenim stanjima. Na primjer, u određenom trenutku čestica može imati 50 posto vjerovatnoće da se okreće u smjeru kazaljke na satu i 50 posto šanse da se okreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Eksperimentalno potvrđena teorema sjevernoirskog fizičara Johna Bella kaže da ne postoji "pravo" stanje čestica; vjerovatnoće su jedino čime se to može opisati.

Kvantna neizvesnost neizbežno vodi do zabune, navodnog izvora strele vremena.

Kada dvije čestice stupe u interakciju, one se više ne mogu opisati zasebnim, neovisno evoluirajućim vjerovatnoćama koje se nazivaju “čista stanja”. Umjesto toga, oni postaju zapletene komponente složenije distribucije vjerovatnoće koja opisuje dvije čestice zajedno. Oni, na primjer, mogu ukazati na to da se čestice okreću u suprotnim smjerovima. Sistem kao celina je u čistom stanju, ali je stanje svake čestice „pomešano“ sa stanjem druge čestice. Obje čestice mogu se kretati svjetlosnim godinama, ali rotacija jedne čestice će biti u korelaciji s drugom. Albert Ajnštajn je to dobro opisao kao "sablasnu akciju na daljinu".

"Upetljavanje je u nekom smislu suština kvantne mehanike", ili zakona koji upravljaju interakcijama na subatomskoj skali, kaže Brunner. Ovaj fenomen leži u osnovi kvantnog računarstva, kvantne kriptografije i kvantne teleportacije.

Ideja da bi miješanje moglo objasniti strelu vremena prvi put se pojavila Sethu Lloydu prije 30 godina, kada je bio 23-godišnji diplomac filozofije na Univerzitetu Cambridge sa diplomom fizike na Harvardu. Lloyd je shvatio da bi kvantna nesigurnost, i njeno širenje kako se čestice sve više zapliću, mogle zamijeniti ljudsku neizvjesnost (ili neznanje) u starim klasičnim dokazima i postati pravi izvor strele vremena.

Koristeći malo poznati kvantnomehanički pristup u kojem su jedinice informacija osnovni gradivni blokovi, Lloyd je proveo nekoliko godina proučavajući evoluciju čestica u smislu miješanja jedinica i nula. Otkrio je da kako se čestice sve više miješaju jedna s drugom, informacija koja ih opisuje (na primjer, 1 za rotaciju u smjeru kazaljke na satu i 0 za rotaciju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) će se prenijeti kako bi se opisao sistem zapletenih čestica u cjelini. Činilo se da su čestice postepeno gubile svoju nezavisnost i postale pijuni kolektivne države. Vremenom, sve informacije idu u ove kolektivne klastere, a pojedinačnim česticama uopšte nije ostalo ništa. U ovom trenutku, otkrio je Lloyd, čestice dostižu stanje ravnoteže i njihova stanja prestaju da se mijenjaju, poput šoljice kafe koja se hladi na sobnu temperaturu.

“Šta se zapravo događa? Stvari postaju povezanije. Strela vremena je strela rastućih korelacija.”

Ova ideja, iznesena u Lloydovoj doktorskoj tezi 1988. godine, pala je na gluhe uši. Kada je naučnik urednicima časopisa poslao članak o tome, rečeno mu je da “u ovom radu nema fizike”. Kvantna teorija informacija "bila je duboko nepopularna" u to vrijeme, kaže Lloyd, a pitanja o strijeli vremena "bila su rezerva ludaka i dementnih nobelovaca".

“Bio sam prokleto blizu da postanem taksista,” rekao je.

Od tada, napredak u kvantnom računarstvu učinio je kvantnu teoriju informacija jednom od najaktivnijih područja fizike. Trenutno profesor na MIT-u, Lloyd je prepoznat kao jedan od osnivača discipline, a njegove zaboravljene ideje oživljavaju fizičari u Bristolu. Novi dokazi su opštiji, kažu naučnici, i odnose se na bilo koji kvantni sistem.

„Kada je Lloyd došao na ideju u svojoj disertaciji, svijet nije bio spreman za to“, kaže Renato Renner, šef Instituta za teorijsku fiziku na ETH u Cirihu. - Niko ga nije razumeo. Ponekad su vam potrebne ideje da dođu u pravo vrijeme.”

Godine 2009. dokazi tima fizičara iz Bristola odjeknuli su među teoretičarima kvantnih informacija, koji su otkrili nove načine primjene svojih metoda. Pokazali su da dok objekti stupaju u interakciju sa svojim okruženjem – na način na koji čestice u šoljici kafe interaguju sa vazduhom – informacije o njihovim svojstvima „cure i šire se po tom okruženju“, objašnjava Popesku. Ovaj lokalni gubitak informacija uzrokuje da stanje kafe ostane isto iako se neto stanje cijele prostorije nastavlja mijenjati. Sa izuzetkom rijetkih nasumičnih fluktuacija, kaže naučnik, “njegovo stanje prestaje da se mijenja tokom vremena”.

Ispostavilo se da hladna šoljica kafe ne može spontano da se zagreje. U osnovi, kako se čisto stanje prostorije razvija, kafa se može iznenada osloboditi iz zraka prostorije i vratiti se u čisto stanje. Ali ima mnogo više mješovitih stanja nego čistih, i praktično se kafa nikada ne može vratiti u svoje čisto stanje. Da bismo to vidjeli, morat ćemo živjeti duže od svemira. Ova statistička nevjerovatnost čini strelicu vremena nepovratnom. „U suštini, miksovanje otvara ogroman prostor za nas“, kaže Popesku. — Zamislite da ste u parku, ispred vas je kapija. Čim uđete u njih, izbačeni ste iz ravnoteže, nađete se u ogromnom prostoru i izgubite se u njemu. Nikad se nećeš vratiti na kapiju."

U novoj priči o streli vremena, informacije se gube kroz proces kvantnog zapleta, a ne zbog subjektivnog nedostatka ljudskog znanja o tome šta dovodi šoljicu kafe i sobu u ravnotežu. Prostorija na kraju dolazi u ravnotežu s vanjskim okruženjem, a okruženje se kreće još sporije prema ravnoteži sa ostatkom svemira. Divovi termodinamike iz 19. veka posmatrali su ovaj proces kao postepeno rasipanje energije koje povećava ukupnu entropiju, ili haos, univerzuma. Danas, Lloyd, Popescu i drugi na terenu gledaju na strijelu vremena drugačije. Po njihovom mišljenju, informacije postaju sve difuznije, ali nikada u potpunosti ne nestaju. Iako se entropija lokalno povećava, ukupna entropija svemira ostaje konstantna i nula.

„Univerzum kao celina je u čistom stanju“, kaže Lojd. “Ali njegovi pojedinačni dijelovi, isprepleteni s ostatkom svemira, dolaze u mješovito stanje.”

Ali jedna misterija strijele vremena ostaje neriješena. „U ovim radovima nema ničega što objašnjava zašto počinjete od kapije“, kaže Popesku, vraćajući se na analogiju sa parkom. “Drugim riječima, oni ne objašnjavaju zašto je prvobitno stanje svemira bilo daleko od ravnoteže.” Naučnik nagoveštava da se ovo pitanje odnosi na prirodu Velikog praska.

Uprkos nedavnom napretku u izračunavanju vremena ravnoteže, novi pristup se još uvijek ne može koristiti za izračunavanje termodinamičkih svojstava specifičnih stvari kao što su kafa, staklo ili neobična stanja materije. (Neki tradicionalni termodinamičari kažu da znaju vrlo malo o novom pristupu.) "Poenta je da morate pronaći kriterije prema kojima se stvari ponašaju kao prozorsko okno, a koje se ponašaju kao šolja čaja", kaže Renner. “Mislim da ću vidjeti još posla u ovom pravcu, ali ima još puno toga da se uradi.”

Neki istraživači su izrazili sumnju da će ovaj apstraktni pristup termodinamici ikada moći precizno objasniti kako se ponašaju specifični objekti koji se mogu promatrati. Ali konceptualni napredak i novi skup matematičkih formula već pomažu istraživačima da postave teorijska pitanja o termodinamici, kao što su temeljna ograničenja kvantnih kompjutera, pa čak i konačna sudbina svemira.

„Sve više razmišljamo o tome šta možemo da uradimo sa kvantnim mašinama“, kaže Paul Skrzypczyk sa Instituta za fotonske nauke u Barseloni. - Recimo da sistem još nije u stanju ravnoteže, a mi želimo da ga nateramo da funkcioniše. Koliko korisnog posla možemo izvući? Kako mogu intervenisati da uradim nešto zanimljivo?”

Kontekst

Kvantni kompjuter u ljudskom mozgu?

Futura-Sciences 29.01.2014

Kako nanosatelit može doći do zvijezde

Wired Magazine 17.04.2016

Ljepota kao tajno oružje fizike

Nautilus 25.01.2016
Teoretičar kozmologije Caltecha Sean Carroll primjenjuje nove formule u svom najnovijem radu o strijeli vremena u kosmologiji. „Zanima me veoma dugoročna sudbina kosmološkog prostor-vremena“, kaže Kerol, koji je napisao knjigu Od večnosti do ovde: Potraga za konačnom teorijom vremena. „U ovoj situaciji još ne znamo sve potrebne zakone fizike, pa ima smisla okrenuti se apstraktnom nivou, a tu će nam, čini mi se, pomoći ovaj kvantnomehanički pristup.

Dvadeset i šest godina nakon neuspjeha Lloydove velike ideje za strijelu vremena, on uživa u gledanju njenog oživljavanja i pokušavajući primijeniti ideje svog posljednjeg rada na paradoks informacija koje padaju u crnu rupu. „Mislim da će sada ljudi i dalje pričati o činjenici da u ovoj ideji postoji fizika“, kaže on.

A filozofija još više.

Naša sposobnost da se sećamo prošlosti, ali ne i budućnosti, zbunjujuća manifestacija strele vremena, takođe se može posmatrati kao sve veća korelacija između čestica u interakciji, kažu naučnici. Kada čitate bilješku na komadu papira, vaš mozak korelira informacije putem fotona koji su vam udarili u oči. Tek od ovog trenutka možete zapamtiti šta piše na papiru. Kao što Lloyd primjećuje, “Sadašnjost se može okarakterizirati kao proces uspostavljanja korelacije s našim okruženjem.”

Pozadina za stalni rast ispreplitanja kroz svemir je, naravno, samo vrijeme. Fizičari naglašavaju da uprkos velikom napretku u razumijevanju kako se promjene dešavaju u vremenu, nisu ništa bliže razumijevanju prirode samog vremena ili zašto se ono razlikuje od druge tri dimenzije prostora (u konceptualnom smislu i u jednadžbama kvantne mehanike). Popescu ovu misteriju naziva "jednom od najvećih nepoznanica u fizici".

"Možemo raspravljati o tome kako je prije sat vremena naš mozak bio u stanju koje je koreliralo s manje stvari", kaže on. “Ali naša percepcija da vrijeme prolazi je sasvim druga stvar. Najvjerovatnije će nam trebati nova revolucija u fizici da nam kaže o tome.”

InoSMI materijali sadrže ocjene isključivo stranih medija i ne odražavaju stav redakcije InoSMI-ja.

Koristeći dobro poznati kvantnomehanički pristup, u kojem su jedinice informacija osnovni gradivni blokovi, Lloyd je proveo nekoliko godina proučavajući evoluciju čestica u smislu miješanja jedinica (1s) i nula (0s). Otkrio je da kako se čestice sve više zapliću jedna s drugom, informacije koje su ih opisale (1 za okretanje u smjeru kazaljke na satu, i 0 za okretanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, na primjer) bi se prenijele kako bi se opisao sistem zapletenih čestica u cjelini. Kao da su čestice postepeno izgubile svoju individualnu autonomiju i postale pijuni kolektivne države. U ovom trenutku, otkrio je Lloyd, čestice ulaze u stanje ravnoteže, njihova stanja prestaju da se mijenjaju, poput šoljice kafe koja se hladi na sobnu temperaturu.

“Šta se zapravo događa? Stvari postaju sve više povezane. Strela vremena je strela rastućih korelacija.”

Ideja iznesena u doktorskoj disertaciji iz 1988. naišla je na gluhe uši. Kada ga je naučnik poslao u časopis, rečeno mu je da „u ovom radu nema fizike“. Kvantna teorija informacija "bila je duboko nepopularna" u to vrijeme, kaže Lloyd, a pitanja o streli vremena "bila su prepuštena ludacima i nobelovcima koji su otišli u penziju".

“Bio sam prokleto blizu da postanem taksista,” rekao je Lloyd.

Od tada, napredak u kvantnom računarstvu učinio je kvantnu teoriju informacija jednom od najaktivnijih područja fizike. Danas Lloyd ostaje profesor na MIT-u, priznat kao jedan od osnivača discipline, a njegove zaboravljene ideje ponovo se pojavljuju u sigurnijem obliku u glavama fizičara u Bristolu. Novi dokazi su opštiji, kažu naučnici, i odnose se na bilo koji kvantni sistem.

„Kada je Lloyd predložio ideju u svojoj tezi, svijet nije bio spreman“, kaže Renato Renner, šef Instituta za teorijsku fiziku na ETH u Cirihu. - Niko ga nije razumeo. Ponekad su vam potrebne ideje da dođu u pravo vrijeme.”

2009. godine, dokaz tima fizičara iz Bristola pogodio je teoretičare kvantnih informacija, otvarajući nove načine za primjenu njihovih metoda. Pokazalo je da dok objekti stupaju u interakciju sa svojim okruženjem - na primjer na način na koji čestice u šoljici kafe komuniciraju sa vazduhom - informacije o njihovim svojstvima "cure van i razmazuju se okolinom", objašnjava Popesku. Ovaj lokalni gubitak informacija uzrokuje stagnaciju stanja kafe, čak i dok neto stanje cijele prostorije nastavlja da se razvija. Sa izuzetkom rijetkih nasumičnih fluktuacija, kaže naučnik, "njegovo stanje prestaje da se mijenja tokom vremena."

Ispostavilo se da se hladna šoljica kafe ne može spontano zagrejati. U osnovi, kako se čisto stanje prostorije razvija, kafa može iznenada "postati nepomiješana" sa zrakom i ući u čisto stanje. Ali postoji toliko više mješovitih stanja dostupnih u kafi nego čistih da se to gotovo nikada neće dogoditi – svemir će završiti prije nego što možemo svjedočiti tome. Ova statistička nevjerovatnost čini strelicu vremena nepovratnom.

"U suštini, zapetljanost otvara ogroman prostor za vas", komentira Popescu. - Zamislite da ste u parku, ispred vas je kapija. Čim uđete u njih, naći ćete se u ogromnom prostoru i izgubiti se u njemu. Ni ti se nikada nećeš vratiti na kapiju.”

U novoj priči o streli vremena, informacije se gube kroz proces kvantnog zapleta, a ne zbog subjektivnog nedostatka ljudskog znanja, što rezultira ravnotežom šoljice kafe i sobe. Soba se na kraju uravnoteži s vanjskim okruženjem, a okruženje - još sporije - pomiče prema ravnoteži s ostatkom svemira. Termodinamički giganti iz 19. stoljeća su na ovaj proces gledali kao na postepeno rasipanje energije koje povećava ukupnu entropiju, ili haos, svemira. Danas Lloyd, Popescu i drugi na terenu vide strijelu vremena drugačije. Po njihovom mišljenju, informacije postaju sve difuznije, ali nikada u potpunosti ne nestaju. Iako se entropija lokalno povećava, ukupna entropija svemira ostaje konstantna i nula.

„Univerzum kao celina je u čistom stanju“, kaže Lojd. „Ali njegovi pojedinačni delovi, budući da su zapleteni sa ostatkom univerzuma, ostaju pomešani.”

Jedan aspekt strele vremena ostaje neriješen.

„U ovim radovima nema ničega što objašnjava zašto počinjete od kapije“, kaže Popesku, vraćajući se na analogiju sa parkom. “Drugim riječima, oni ne objašnjavaju zašto je prvobitno stanje svemira bilo daleko od ravnoteže.” Naučnik nagoveštava da ovo pitanje važi.

Uprkos nedavnom napretku u izračunavanju vremena ravnoteže, novi pristup još uvijek ne može postati alat za izračunavanje termodinamičkih svojstava specifičnih stvari kao što su kafa, staklo ili egzotična stanja materije.

„Poenta je pronaći kriterijume prema kojima se stvari ponašaju kao prozorsko okno ili šolja čaja“, kaže Renner. “Mislim da ću vidjeti još posla u ovom pravcu, ali predstoji još puno posla.”

Neki istraživači su izrazili sumnju da će ovaj apstraktni pristup termodinamici ikada moći precizno objasniti kako se ponašaju specifični objekti koji se mogu promatrati. Ali konceptualni napredak i novi matematički formalizam već pomažu istraživačima da postave teorijska pitanja u termodinamici, kao što su fundamentalna ograničenja kvantnih kompjutera, pa čak i konačna sudbina svemira.

„Sve više razmišljamo o tome šta možemo da uradimo sa kvantnim mašinama“, kaže Paul Skrzypczyk sa Instituta za fotonske nauke u Barseloni. - Recimo da sistem još nije u stanju ravnoteže i želimo da ga nateramo da funkcioniše. Koliko korisnog posla možemo izvući? Kako mogu intervenisati da uradim nešto zanimljivo?

Sean Carroll, teorijski kosmolog na Kalifornijskom institutu za tehnologiju, primjenjuje novi formalizam u svom najnovijem radu o strijeli vremena u kosmologiji. „Zanima me veoma dugoročna sudbina kosmološkog prostora-vremena. U ovoj situaciji još ne poznajemo sve potrebne zakone fizike, pa ima smisla okrenuti se apstraktnom nivou, a ovdje će mi, mislim, pomoći ovaj kvantnomehanički pristup.”

Dvadeset šest godina nakon epskog neuspjeha Lloydove ideje o strijeli vremena, on je oduševljen što svjedoči njenom usponu i pokušava primijeniti ideje svog posljednjeg rada na paradoks informacija koje padaju u crnu rupu.

“Mislim da će sada ljudi i dalje pričati o činjenici da u ovoj ideji postoji fizika.”

A filozofija - još više.

Prema naučnicima, naša sposobnost da se sećamo prošlosti, ali ne i budućnosti, još jedna manifestacija strele vremena, takođe se može posmatrati kao sve veća korelacija između čestica koje deluju. Kada čitate nešto s komada papira, mozak povezuje informacije putem fotona koji dopiru do očiju. Tek od ovog trenutka moći ćete da zapamtite šta je napisano na papiru. Kako Lloyd primjećuje:

„Sadašnjost se može definirati kao proces povezivanja (ili stvaranja korelacija) s našim okruženjem.”

Pozadina za stalni rast zamršenosti širom svemira je, naravno, samo vrijeme. Fizičari naglašavaju da uprkos velikom napretku u razumijevanju kako se promjene dešavaju u vremenu, nisu ni za jotu bliže razumijevanju prirode samog vremena ili zašto se ono razlikuje od ostale tri dimenzije prostora. Popescu ovu misteriju naziva "jednom od najvećih misterija u fizici".

"Možemo raspravljati o činjenici da je prije sat vremena naš mozak bio u stanju koje je koreliralo s manje stvari", kaže on. “Ali naša percepcija da vrijeme prolazi je sasvim druga stvar. Najvjerovatnije će nam trebati revolucija u fizici koja će nam otkriti ovu tajnu.”

U kvantnoj mehanici, svaka dinamička varijabla - koordinata, impuls, ugaoni moment, energija - povezana je sa linearnim samopridruženim (hermitskim) operatorom.

Svi funkcionalni odnosi između veličina poznatih iz klasične mehanike su u kvantnoj teoriji zamijenjeni sličnim odnosima između operatora. Korespondencija između dinamičkih varijabli (fizičkih veličina) i kvantnih mehaničkih operatora postulirana je u kvantnoj mehanici i predstavlja generalizaciju ogromnog eksperimentalnog materijala.

1.3.1. Koordinatni operater:

Kao što je poznato, u klasičnoj mehanici položaj čestice (sistema N- čestice) u prostoru u datom trenutku vremena određena je skupom koordinata - vektorskih ili skalarnih veličina. Vektorska mehanika se zasniva na Newtonovim zakonima, ovdje su glavne vektorske veličine - brzina, moment, sila, ugaoni moment (kutni moment), moment itd. Ovdje je položaj materijalne tačke određen radijus vektorom, koji određuje njen položaj u prostoru u odnosu na odabrano referentno tijelo i koordinatni sistem koji je s njim povezan, tj.

Ako se odrede svi vektori sila koje djeluju na česticu, tada se mogu riješiti jednadžbe kretanja i konstruirati putanja. Ako se uzme u obzir kretanje N- čestice, onda je svrsishodnije (bez obzira da li se uzima u obzir kretanje vezanih čestica ili su čestice slobodne u svom kretanju od svih vrsta veza) operirati ne vektorskim, već skalarnim veličinama - tzv. generaliziranim koordinatama , brzine, impulse i sile. Ovaj analitički pristup zasniva se na principu najmanje akcije, koji u analitičkoj mehanici igra ulogu drugog Newtonovog zakona. Karakteristična karakteristika analitičkog pristupa je odsustvo striktne veze sa bilo kojim specifičnim koordinatnim sistemom. U kvantnoj mehanici, svaka vidljiva dinamička varijabla (fizička veličina) je povezana sa linearnim samopridruženim operatorom. Tada će, očito, klasičnom skupu koordinata odgovarati skup operatora oblika: , čija će se akcija na funkciju (vektor) svesti na njeno množenje odgovarajućim koordinatama, tj.

iz čega proizlazi da:

1.3.2. Operator zamaha:

Klasični izraz za impuls po definiciji je:

s obzirom na to:

imat ćemo u skladu s tim:

Budući da je bilo koja dinamička varijabla u kvantnoj mehanici povezana s linearnim samopridruženim operatorom:

tada se, shodno tome, izraz za impuls, izražen kroz njegovu projekciju na tri neekvivalentna pravca u prostoru, transformiše u oblik:

Vrijednost operatora momenta i njegovih komponenti može se dobiti rješavanjem problema vlastitih vrijednosti operatora:

Da bismo to učinili, koristit ćemo analitički izraz za ravan de Broglieov val, dobiven ranije:

uzimajući u obzir i to:

imamo ovako:

Koristeći de Broglieovu jednadžbu ravnih valova, sada rješavamo problem svojstvenih vrijednosti operatora momenta (njegove komponente):

zbog:

a funkcija je na obje strane operatorske jednadžbe:

tada će se amplituda talasa smanjiti, dakle:

tako imamo:

budući da je operator komponente momenta (slično i ) diferencijalni operator, njegovo djelovanje na valnu funkciju (vektor) očito će se svesti na izračunavanje parcijalnog izvoda funkcije oblika:

Rješavajući problem vlastitih vrijednosti operatora, dolazimo do izraza:

Tako smo u toku gornjih proračuna došli do izraza oblika:

onda shodno tome:

s obzirom na to:

nakon zamjene dobijamo izraz oblika:

Na sličan način se mogu dobiti izrazi za ostale komponente operatora momenta, tj. imamo:

Dat je izraz za operator ukupnog momenta:

i njegova komponenta:

shodno tome imamo:

Dakle, operator ukupnog momenta je vektorski operator i rezultat njegovog djelovanja na funkciju (vektor) bit će izraz oblika:

1.3.3. Operator ugaonog momenta (kutnog momenta):

Razmotrimo klasični slučaj apsolutno krutog tijela koje rotira oko fiksne ose OO koja prolazi kroz njega. Podijelimo ovo tijelo na male zapremine sa elementarnim masama: koje se nalaze na udaljenostima: od ose rotacije OO. Kada se kruto tijelo rotira u odnosu na fiksnu osu OO, njegovi pojedinačni elementarni volumeni sa masama će očito opisivati ​​krugove različitih polumjera i imat će različite linearne brzine: . Iz kinematike rotacionog kretanja poznato je da:

Ako materijalna točka izvrši rotacijsko kretanje, opisujući kružnicu polumjera , tada će se nakon kratkog vremenskog perioda rotirati za ugao od svog prvobitnog položaja.

Linearna brzina materijalne tačke će u ovom slučaju biti jednaka, odnosno:

zbog:

Očigledno je da će ugaona brzina elementarnih zapremina čvrstog tijela koje rotira oko fiksne ose OO na udaljenostima od nje biti jednaka, respektivno:

Kada proučavaju rotaciju krutog tijela, koriste koncept momenta inercije, koji je fizička veličina jednaka zbroju proizvoda masa-materijalnih tačaka sistema kvadratima njihovih udaljenosti do razmatrane ose rotacija OO, u odnosu na koje dolazi do rotacijskog kretanja:

tada nalazimo kinetičku energiju rotirajućeg tijela kao zbir kinetičkih energija njegovih elementarnih zapremina:

zbog:

onda shodno tome:

Poređenje formula za kinetičku energiju translacijskog i rotacijskog kretanja:

pokazuje da moment inercije tijela (sistema) karakterizira mjeru inercije ovog tijela. Očigledno, što je veći moment inercije, to više energije mora biti utrošeno da bi se postigla data brzina rotacije dotičnog tijela (sistema) oko fiksne ose rotacije OO. Jednako važan koncept u mehanici čvrstog tijela je vektor momenta, pa je po definiciji rad kretanja tijela na udaljenosti jednak:

budući da, kao što je već rečeno, tokom rotacionog kretanja:

onda ćemo prema tome imati:

s obzirom na činjenicu da:

tada se izraz za rad rotacionog kretanja, izražen momentom sile, može prepisati kao:

jer općenito:

onda, dakle:

Razlikovanje desne i lijeve strane rezultirajućeg izraza s obzirom na , imat ćemo, respektivno:

s obzirom na to:

dobijamo:

Moment sile (rotacijski moment) koji djeluje na tijelo jednak je proizvodu njegovog momenta inercije i kutnog ubrzanja. Rezultirajuća jednačina je jednačina za dinamiku rotacijskog kretanja, slična jednadžbi Newtonovog drugog zakona:

ovdje umjesto sile ulogu igra moment sile, ulogu mase ima moment inercije. Na osnovu gornje analogije između jednadžbi za translaciono i rotaciono kretanje, analog impulsa (količina kretanja) biće ugaoni moment tela (ugaoni moment). Ugaoni impuls materijalne tačke po masi je vektorski proizvod udaljenosti od ose rotacije do ove tačke i njenog momenta (količine kretanja); tada imamo:

Uzimajući u obzir da vektor nije određen samo trostrukom komponentom:

ali i eksplicitnim proširenjem u jediničnim vektorima koordinatnih osa:

imat ćemo u skladu s tim:

Komponente ukupnog ugaonog momenta mogu se predstaviti kao algebarski komplementi determinante, u kojoj su prvi red jedinični vektori (orts), drugi red kartezijanske koordinate, a treći red komponente momenta, tada ćemo, shodno tome, imati izraz oblika:

iz čega proizlazi da:

Iz formule za ugaoni moment kao vektorski proizvod, također slijedi izraz oblika:

ili za sistem čestica:

uzimajući u obzir odnose oblika:

dobijamo izraz za ugaoni moment sistema materijalnih tačaka:

Dakle, ugaoni moment krutog tijela u odnosu na fiksnu os rotacije jednak je proizvodu momenta inercije tijela i kutne brzine. Ugaoni moment je vektor usmjeren duž ose rotacije na takav način da se sa njegovog kraja može vidjeti rotacija koja se odvija u smjeru kazaljke na satu. Diferenciranje rezultujućeg izraza s obzirom na vrijeme daje drugi izraz za dinamiku rotacijskog kretanja, ekvivalentan jednadžbi Newtonovog drugog zakona:

slično kao jednačina drugog Newtonovog zakona:

“Proizvod ugaone količine gibanja krutog tijela u odnosu na os rotacije OO jednak je momentu sile u odnosu na istu os rotacije.” Ako imamo posla sa zatvorenim sistemom, tada je moment vanjskih sila nula, dakle:

Gore dobijena jednačina za zatvoreni sistem je analitički izraz zakona održanja količine kretanja. “Ugaoni moment zatvorenog sistema je konstantna veličina, tj. ne menja se tokom vremena." Dakle, u toku gornjih proračuna, došli smo do izraza koji su nam potrebni u daljim raspravama:

i prema tome imamo:

Budući da je u kvantnoj mehanici svaka fizička veličina (dinamička varijabla) povezana sa linearnim samopridruženim operatorom:

tada su odgovarajući izrazi:

pretvaraju se u oblik:

jer po definiciji:

a takođe imajući u vidu da:

Tada ćemo, shodno tome, za svaku od komponenti ugaonog momenta imati izraz oblika:

na osnovu izraza oblika:

1.3.4. Operator kvadratnog ugaonog momenta:

U klasičnoj mehanici, kvadrat ugaonog momenta određen je izrazom oblika:

Stoga će odgovarajući operator imati oblik:

iz čega proizilazi da:

1.3.5. Operator kinetičke energije:

Klasičan izraz za kinetičku energiju je:

S obzirom da je izraz za impuls:

shodno tome imamo:

izražavanje impulsa kroz svoje komponente:

imat ćemo u skladu s tim:

Kako svaka dinamička varijabla (fizička veličina) u kvantnoj mehanici odgovara linearnom samopridruženom operatoru, tj.

onda, dakle:

uzimajući u obzir izraze oblika:

i tako dolazimo do izraza za operator kinetičke energije oblika:

1.3.6. Potencijalni energetski operater:

Operator potencijalne energije kada opisuje Kulonovu interakciju čestica sa naelektrisanjem ima oblik:

Poklapa se sa sličnim izrazom za odgovarajuću dinamičku varijablu (fizičku veličinu) – potencijalnu energiju.

1.3.7. Operator ukupne energije sistema:

Klasični izraz za Hamiltonijan, poznat iz Hamiltonove analitičke mehanike, ima oblik:

na osnovu korespondencije između kvantnih mehaničkih operatora i dinamičkih varijabli:

dolazimo do izraza za operator ukupne energije sistema – Hamiltonov operator:

uzimajući u obzir izraze za operatore potencijalne i kinetičke energije:

dolazimo do izraza oblika:

Operatori fizičkih veličina (dinamičke varijable) - koordinate, zamah, ugaoni moment, energija - su linearni samopridruženi (hermitski) operatori, stoga, na osnovu odgovarajuće teoreme, njihove vlastite vrijednosti su realni (realni) brojevi. Upravo je ta okolnost poslužila kao osnova za upotrebu operatora u kvantnoj mehanici, jer kao rezultat fizičkog eksperimenta dobijamo upravo realne veličine. U ovom slučaju, vlastite funkcije operatora koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima su ortogonalne. Ako imamo dva različita operatora, onda će njihove vlastite funkcije biti različite. Međutim, ako operatori komutiraju jedan s drugim, tada će vlastite funkcije jednog operatora također biti svojstvene funkcije drugog operatora, tj. sistemi svojstvenih funkcija operatora koji putuju jedni s drugima će se poklopiti.