Pronađite sve korijene trigonometrijske jednadžbe. Istraživački rad na temu "trigonometrijske jednadžbe u ispitnim zadacima"

Pronađite sve korijene trigonometrijske jednadžbe. Istraživački rad na ovu temu — Pronađite sve korijene trigonometrijske jednadžbe. Istraživački rad na temu "trigonometrijske jednadžbe u ispitnim zadacima"

22.09.2019

Pročitajte također

Čuvanje vina ili kako utvrditi da je vino spremno za piće?

Salata od kuvane ribe sa krompirom i kiselim krastavcima Kako pripremiti salatu od kuvane ribe

Recepti za jednostavne i zasitne salate sa kuvanom ribom Jednostavna salata sa kuvanom ribom

Opis bijele mliječne pečurke (suhe mliječne gljive): gdje raste, fotografija Kako posoliti bijelu mliječnu gljivu

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, V suđenje, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe javnog zdravlja. važnim slučajevima.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

MBOU "Mordovsko-Paevskaya srednja škola" Insarskog okruga Republike Moldavije

Završila: Pantileikina Nadežda,

Učenik 11. razreda

Rukovodilac: Kadyshkina N.V.,

nastavnik matematike

Sadržaj

Uvod…………………………………………………………………………………………………….

Poglavlje I. O trigonometrijskim jednadžbama……………………………………………..…5

1) Osnovne vrste trigonometrijskih jednadžbi i metode za njihovo rješavanje:

1. Jednačine svedene na najjednostavnije. ……………………………………………..5

2. Jednačine koje se svode na kvadratne……………………………….5

3. Homogene jednadžbe acosx + b sin x = 0………………………………...6

4. Jednačine oblika acosx + b sin x = c, c≠ 0…………………………………7

5. Jednačine riješene faktorizacijom………………………………….7

6. Nestandardne jednadžbe…………………………………………………………….8

Poglavlje II. Osnovni pojmovi i formule trigonometrije…………………….8-10

Poglavlje II I. Jednačine ponuđene na Jedinstvenom državnom ispitu prethodnih godina…………………10-14

Zaključak……………………………………………………………………………………………….14

Dodatak…………………………………………………………………………………….15-17

Literatura……………………………………………………………………………………………………..18

Uvod

"Jedini put koji vodi do znanja je aktivnost..."

Bernard Show

Relevantnost rada.

Za nekoliko mjeseci završavam školu.

Tako da nema problema sa daljim izborom životni put, neophodno dobiti školsku svjedodžbu, a da biste dobili školsku svjedodžbu morate položiti dva obavezna ispita Obrazac za jedinstveni državni ispit- i jedan od njihmatematike. Šta reći, završni ispiti su ključni period u životu svakog studenta, od kojeg zavisi ne samo konačna ocjena na svedočanstvu, već i njegova profesionalna budućnost, prihodi i karijera.

Single Državni ispit- Ovo je važan test prije useljenja novi zivot i prijem na univerzitet ili koledž. Posebno je važno položiti ga sa dobrim rezultatom.Jedinstveni državni ispit iz matematike je ozbiljan ispit i bez dobre osnove učenik neće moći da dobije pristojan rezultat.

Kako izbjeći pad na ispitu i dobiti dobre ocjene? Da biste to učinili, morate dobro riješiti zadatke. Ne tražim maksimalan rezultat, ali se ipak marljivo pripremam. I primijetio sam da čak i na prvom zadatku dijela C, odnosno na rješavanju trigonometrijskih jednačina i njihovih sistema, griješim.Na prvi pogled, problem C1 je relativno jednostavna jednadžba ili sistem jednačina koji može sadržavati trigonometrijske funkcije,Jedan od glavnih pristupa njihovom rješavanju je njihovo uzastopno pojednostavljivanje kako bi se sveli na jedan ili nekoliko najjednostavnijih.Pa zašto griješim?

Relevantnost teme određena je činjenicom da učenici moraju razumjeti određene metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.

Stoga sam sebi postavio sljedećecilj:

Sistematizovati i proširiti znanja i veštine u vezi sa upotrebom metoda za rešavanje trigonometrijskih jednačina.

Predmet proučavanja je proučavanje trigonometrijskih jednačina u zadacima Jedinstvenog državnog ispita.

Predmet studija- je rješenje trigonometrijskih jednačina

dakle, glavni cilj pišući ovo rad na kursu je proučavanje trigonometrijskih jednačina i njihovih sistema, metoda njihovog rješavanja.

U skladu sa ciljevima, objektom i predmetom istraživanja definisani su: zadaci:

1). Proučite sve zadatke koji se odnose na rješavanje trigonometrijskih jednačina ponuđenih na Jedinstveni državni ispit radi prethodnih godina i prilikom obavljanja dijagnostičkih poslova;

2) Metode proučavanja rješavanja trigonometrijskih jednačina.

3). Identifikujte glavne moguće greške prilikom rješavanja takvih jednačina;

4). Saznajte razlog za takve greške.

6). Izvucite zaključke.

U svom radu riješit ću nekoliko trigonometrijskih jednadžbi, pokazati moguće greške u njihovom rješavanju i pokušati odgovoriti na sljedeće pitanja:

1). Da li je moguće izbjeći greške pri obavljanju zadataka tipa C1?

2) Ako vježbam rješavanje jednačina ovog tipa, onda mogu

Da li je moguće izvršiti takve zadatke bez grešaka?

U tu svrhu proučio sam sve demonstracijske i trening zadatke koje smo izvodili s nama, Materijali za Jedinstveni državni ispit prethodne godine;

proučavani referentni izvori;

samostalno rješavanje zadataka s interneta;

konsultovala svog učitelja u slučaju poteškoća;

Naučio sam analizirati i pravilno formatirati rezultate.

Poglavlje I. O trigonometrijskim jednadžbama.

1) Definicija 1. Trigonometrijska jednačina je jednačina koja sadrži varijablu pod predznakom trigonometrijske funkcije.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe oblika sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

U takvim jednadžbama varijabla je pod znakom trigonometrijske funkcije, i predstavlja dati broj.

Rješavanje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze: transformacije jednadžbe da bi se dobio njen najjednostavniji oblik i rješavanja rezultirajuće najjednostavnije trigonometrijske jednačine.

2) Osnovni tipovi trigonometrijskih jednačina.

Jednačine svedene na najjednostavnije.

Riješite jednačinu

Rješenje:

odgovor:

Jednačine se svode na kvadratne.

1) Riješite jednačinu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

odgovor:

Homogene jednadžbe: asinx + bcosx = 0

a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

Riješite jednačinu 2sinx – 3cosx = 0

Rješenje: Neka je cosx = 0, zatim 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija sa

da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači cosx ≠ 0 i jednačinu možemo podijeliti sa cosx.

Dobijamo

odgovor:

primjer: Riješite jednačinu

Rješenje:

odgovor:

Jednačine riješene faktorizacijom.

Priper: Riješite jednačinu sin2x – sinx = 0.

Rješenje: Koristeći formulu sin2x = 2sinxcosx, dobijamo

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.

odgovor:

Nestandardne jednačine.

Riješite jednačinu cosx = X 2 + 1.

Rješenje:

Pogledajmo funkcije

Poglavlje II. Osnovni pojmovi i formule trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe su obavezna tema na svakom ispitu iz matematike.

Ox, koliko muke kod učenika izaziva učenje trigonometrije.

Određene poteškoće nastaju čak i ako je učitelj u blizinimatematike i objašnjava svaki detalj. Ovo je samo razumljivo osnovne formule ima ih više od dvadeset. A ako računamo njihove derivate... Učenik se zbuni u proračunima i ne može se sjetiti mehanizama pomoću kojih ove formule omogućavaju da se nađe npr. .

Znate formule - lako se odlučite. Ako ne znate, nećete razumjeti, čak i ako vam daju formulu.Ne morate samo znati formulu, već morate znati gdje se može primijeniti, kako je otvoriti i koja je suština formule, a za to morate rješavati primjere posebno za one probleme koji su teško riješiti.

U početku mi se činilotrigonometrija je dosadan skup formula i grafikona. Međutim, kako sam se upoznavao sa novim pojmovima trigonometrije i metodama rješavanja trigonometrijskih jednačina, svaki put sam se uvjeravao koliko je svijet trigonometrije zanimljiv i fascinantan.

prvo, Za uspješno rješavanje trigonometrijskih jednačina morate dobro znati trigonometrijske formule, ne samo glavne, već i dodatne (pretvaranje zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod i proizvoda u zbir, formule za smanjenje stupnjeva i drugo),od upotrebe cheat sheets i mobilni telefoni zabranjeno

(Aneks 1)

Drugo , moramo jasno znati standardne formule za korijene najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi (korisno je zapamtiti ili moći dobiti pojednostavljene formule za korijene jednadžbi pomoću trigonometrijskog kruga)

Svaka od ovih jednačina se rješava pomoću formula koje trebate znati. Ovo su formule:

a) Funkcijay= grijehx. Funkcija je ograničena: nalazi se unutar [-1; 1]. To znači da pri rješavanju jednačina kaosinx=2 ilisinxsinx

1) sinx =a,x= (-1) n arcsin a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 arcsin a +n,n Z

Takođe, morate znati posebne slučajeve: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = a,

Takođe morate biti u stanju da rešiteu obliku dvije serije korijena

2. Funkcija y = cos x . Funkcija je ograničena: nalazi se unutar [-1; 1]. To znači da pri rješavanju jednačina kaocosx=2 ilicosx=-5 ispada da je odgovor: nema korijena. Formule za funkciju y=cosx:

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,n Z

2.cos x=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Posebni slučajevi: 1. cosx =-1, X =  +2 n, n Z

2. cosx =0,

3. cosx =1, X= 2n,n Z

3. Funkcijay= tgx.

Postoji samo jedna formula, bez posebnih slučajeva:tgx = ± a .

X = ± arctan a+n,n Z

Treće, morate znati vrijednosti trigonometrijskih funkcija;

(Dodatak 2)

četvrto, Ako je u jednadžbi trigonometrijska funkcija pod predznakom radikala, tada će takva trigonometrijska jednadžba biti iracionalna. U takvim jednadžbama morate slijediti sva pravila koja se koriste pri rješavanju običnih jednadžbi. iracionalne jednačine(uzima se u obzir površina prihvatljive vrijednosti i sama jednačina i kada se oslobodi korijena parnog stepena).

V. Jednačine ponuđene na Jedinstvenom državnom ispitu prethodnih godina.

“Metoda rješenja je dobra ako od samog početka možemo predvidjeti – i naknadno to potvrditi – da ćemo slijedeći ovu metodu postići cilj.”

Leibniz

1. Jednačine koje se svode na kvadratne.

C1. Riješite jednačinu:

Rješenje: Koristeći osnovni trigonometrijski identitet,prepisujemo jednačinu u obliku

Zamjenacos= tjednadžba se svodi na kvadrat:2t 2 + 9 t-5 =0, koji ima korijenet 1 = ½ it 2 = -5. Vraćajući se na varijablu x, dobijamo
,

Druga jednadžba nema korijen od |cosx |≥1, a od prve x =± +6k, k Z

Odgovor: =± +6k, k Z

zaključak: Prilikom uvođenja nove varijable, morate to uzeti u obzir vrijednosti grijeha x i cos x su ograničeni segmentom
, inače će se pojaviti strani korijeni.

2. Jednačine riješene faktorizacijom

Zadatak C1 (2011)

a) Riješite jednačinu

b) Navedite korijene jednačine koji pripadaju segmentu

Rješenje: a) riješite faktoringom lijeve strane:

grupišemo i stavimo zajednički faktor iz zagrada, dobijamo

Jednačina 1) nema rješenja.

Druga jednadžba je homogena, može se riješiti dijeljenjem člana po član sa cosx ≠0, dobijamo
, gdje

Odgovor: a)
b)

zaključak:

1. Prilikom rješavanja jednačine ovog tipa, prvo morate znati da |sin x|≤1 i |cosx |≤1, a jednačina sinx =-2 nema rješenja;

2. Drugo, opravdati podjelu sa cosx ≠o (jer ako je cosx = 0, onda je sin x = 0, ali to je nemoguće;

treće, razumno je odabrati korijene koji pripadaju datom intervalu

3
.Jednačina za primjenu redukcijskih formula

C1 (2010) S obzirom na jednačinu

a) riješiti jednačinu;

b
) Označite korijene koji pripadaju segmentu

Rješenje: Koristeći formule redukcije, dobijamo:

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

With osx (2 sinx -1)=0, odakle je cosx= 0 ili sinx =½,

b) Pronađite vrijednosti k kojima će korijeni pripadati

specificirani interval. Za odabir korijena. koji pripada datom intervalu, predstavljamo rješenje u obliku:

b

) Pronađite vrijednosti k na kojima će korijeni pripadati navedenom intervalu.

Rješavanje ove nejednakosti, cjeline

nećemo dobiti vrijednosti za k.

Odgovor: a)

zaključak:

Prilikom rješavanja jednačine ovog tipa potrebno je poznavati formule date jednačine i pravilno je primijeniti; biti u stanju predstaviti rješenje
u dva niza korijena; odabrati ispravne korijene koji pripadaju datom segmentu.

4. Sistemi trigonometrijskih jednačina

C1 (2010). Riješiti sistem jednačina

Rješenje: O.D.Z

Razlomak je jednak nuli ako je brojilac 0, a nazivnik nije 0.

Iz jednačine 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, rješavajući uvođenjem nove varijable, nalazimo

ili sin x =1.

1) Neka
, Onda
i y = cos x = ›0 (koristeći osnovni trigonometrijski identitet)

ili
I
- nema odluke.

2) Neka sinx = 1, tada je y = cos x = 0 – nema rješenja.

odgovor:
i y =

Zaključak: 1) potrebno je uzeti u obzir ograničenja trigonometrije

funkcije

2) Zabilježiti i uzeti u obzir O.D.Z.

5. C1 (USE 2011) Riješite jednačinu:

O.D.Z. – cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 ili cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, odakle je t 1 = -½, t 2 = -

sinx = -½ sinx=- - nema rješenja

x =

uzimajući u obzir O.D.Z. x =

Odgovor: x =

Zaključak: Zapišite odgovor uzimajući u obzir O.D.Z.

ZAKLJUČAK

U radu koji sam radio proučavao sam rješenja trigonometrijskih jednačina, razmatrao preporuke za rješavanje trigonometrijskih jednačina, metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina i razmatrao greške koje su moguće pri njihovom rješavanju.

došao sam do sljedećih zaključaka:

1. Zadaci tipa C1 testiraju sposobnost rješavanja trigonometrijskih jednačina. Ovi zadaci su zaista jednostavni, što daje višak samopouzdanja i uspavljuje pažnju. Jedina poteškoća ovih zadataka je da, nakon rješavanja jednačine ili sistema jednačina, odbacite strane korijene.

2. Zadatak C1 je najveći jednostavan zadatak grupa C. Prilikom njenog rješavanja, glomazne transformacije i složene proračune. Ako se pojave, odmah morate stati, provjeriti rješenje i pokušati razumjeti šta ovdje nije u redu.

3. na kraju krajeva,Glavni zahtjev je da rješenje mora biti matematički pismeno, a tok rasuđivanja mora biti jasan iz njega.Morate se potruditi da svoju odluku zapišete kratko i jasno, ali što je najvažnije - ispravno!

4. I što je najvažnije, da biste naučili rješavati jednadžbe bez grešaka, morate ih riješiti! Uostalom, kako je Polya rekla, “Ako želite naučiti kako plivati, slobodno zaronite u vodu, a ako želite naučiti rješavati probleme, morate ih riješiti!”

Dodatak 1 (osnovne formule trigonometrije)

1) osnovni trigonometrijski identitetgrijeh 2 α + cos 2 α= 1,

Podijelimo ovu jednačinu kvadratom kosinusa i sinusa, respektivno, imamo