Kako riješiti nejednakost kvadratnog korijena. Kako riješiti linearne nejednačine

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta se desilo "kvadratna nejednakost"? Nema sumnje!) Ako uzmete bilo koji kvadratnu jednadžbu i zamijenite znak u njoj "=" (jednako) bilo kojem znaku nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobijamo kvadratnu nejednakost. na primjer:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Pa razumes...)

Nije uzalud ovdje povezao jednačine i nejednačine. Poenta je da je prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednačinu iz koje je ova nejednakost napravljena. Iz tog razloga - nemogućnost odlučivanja kvadratne jednačine automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednakostima. Je li nagovještaj jasan?) Ako ništa drugo, pogledajte kako riješiti bilo koju kvadratnu jednačinu. Tamo je sve detaljno opisano. I u ovoj lekciji ćemo se pozabaviti nejednakostima.

Nejednačina spremna za rješenje ima oblik: na lijevoj strani je kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo šta. Prva dva primjera su ovdje već su spremni da donesu odluku. Treći primjer tek treba pripremiti.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Šta trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti sa ikonom više (> ), ili manje (< ) se zovu strog. Sa ikonama veće ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) se zovu nije stroga. Ikona nije jednako (≠ ) stoji posebno, ali morate cijelo vrijeme rješavati primjere sa ovom ikonom. A mi ćemo odlučiti.)

Sama ikona nema mnogo uticaja na proces rešavanja. Ali na kraju odluke, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone se pojavljuje u punoj snazi! To je ono što ćemo vidjeti u nastavku na primjerima. Ima tu nekih šala...

Nejednakosti, kao i jednakosti, postoje vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je prava nejednakost. 5 < 2 - netačno.

Ova priprema radi za nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Potrebno je samo pravilno izvršiti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove radnje su svima poznate. Ali, karakteristično, greške u ovim radnjama su glavna greška u rješavanju nejednakosti, da... Dakle, ove radnje se moraju ponoviti. Ove radnje se zovu ovako:

Identične transformacije nejednakosti.

Identične transformacije nejednačina su vrlo slične identičnim transformacijama jednačina. Zapravo, ovo je glavni problem. Razlike vam prelaze preko glave i... stigli smo.) Stoga ću posebno istaći ove razlike. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:

1. Isti broj ili izraz može se dodati (oduzeti) objema stranama nejednačine. Bilo koji. Ovo neće promijeniti predznak nejednakosti.

U praksi se ovo pravilo koristi kao prijenos pojmova s ​​lijeve strane nejednakosti na desnu (i obrnuto) s promjenom predznaka. Promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan je isto kao i pravilo za jednačine. Ali sljedeće identične transformacije u nejednačinama značajno se razlikuju od onih u jednačinama. Stoga ih ističem crvenom bojom:

2. Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) sa istom stvaripozitivnobroj. Za bilo kojepozitivno neće se promijeniti.

3. Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) sa istom stvarinegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromeniće se u suprotno.

Sjećate se (nadam se...) da se jednačina može pomnožiti/podijeliti sa bilo čim. I za bilo koji broj, i za izraz sa X. Samo da nije nula. To ga čini, po jednačini, ni vrućim ni hladnim.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.

Dobar primjer za dugo pamćenje. Napišimo nejednakost koja ne izaziva sumnje:

5 > 2

Pomnožite obje strane sa +3, dobijamo:

15 > 6

Ima li primjedbi? Nema prigovora.) A ako obje strane izvorne nejednakosti pomnožimo sa -3, dobijamo:

15 > -6

A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Obmana naroda! Ali čim promijenite znak nejednakosti u suprotan, sve dolazi na svoje mjesto:

15 < -6

Ne kunem se samo u laži i prevaru.) "Zaboravio sam da promenim znak jednakosti..."- Ovo kući greška u rješavanju nejednačina. Ovo trivijalno i jednostavno pravilo je povrijedilo toliko ljudi! Što su zaboravili...) Pa kunem se. Možda se setim...)

Posebno pažljivi ljudi će primijetiti da se nejednakost ne može pomnožiti izrazom sa X. Poštovanje onima koji su pažljivi!) Zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo predznak ovog izraza sa X. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Da li da ga promenim ili ne? Nepoznato. Naravno, ovo ograničenje (zabrana množenja/dijeljenja nejednakosti izrazom sa x) može se zaobići. Ako ti zaista treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.

To su sve identične transformacije nejednakosti. Da vas još jednom podsjetim da rade za bilo koji nejednakosti Sada možete prijeći na određene vrste.

Linearne nejednakosti. Rješenje, primjeri.

Linearne nejednakosti su nejednakosti u kojima je x u prvom stepenu i nema podjele sa x. Vrsta:

x+3 > 5x-5

Kako se takve nejednakosti rješavaju? Veoma ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjujuću linearnu nejednakost pravo na odgovor. To je rešenje. Istaknut ću glavne tačke odluke. Da izbjegnemo glupe greške.)

Riješimo ovu nejednakost:

x+3 > 5x-5

Rješavamo je na potpuno isti način kao i linearnu jednačinu. sa jedinom razlikom:

Pažljivo pratimo znak nejednakosti!

Prvi korak je najčešći. Sa X-ovima - lijevo, bez X-a - desno... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti predznake prenesenih pojmova.

Znak nejednakosti ostaje:

x-5x > -5-3

Evo sličnih.

Znak nejednakosti ostaje:

4x > -8

Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: podijeliti obje strane sa -4.

Podijeli po negativan broj.

Predznak nejednakosti će se promijeniti u suprotan:

X < 2

Ovo je odgovor.

Tako se rješavaju sve linearne nejednakosti.

Pažnja! Tačka 2 je nacrtana bijelom bojom, tj. neobojen. Prazan unutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva tačka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove punktirana tačka.

Preostali brojevi na osi mogu se označiti, ali nisu neophodni. Strani brojevi koji nisu vezani za našu nejednakost mogu biti zbunjujući, da... Samo treba zapamtiti da se brojevi povećavaju u smjeru strelice, tj. brojevi 3, 4, 5 itd. su desno su dvojke, a brojevi su 1, 0, -1, itd. - lijevo.

Nejednakost x < 2 - stroga. X je striktno manji od dva. Ako ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Zamjenjujemo sumnjiv broj u nejednakost i mislimo: "Dva je manje od dva, naravno!" Tako je. Nejednakost 2 < 2 netačno. Dvojka zauzvrat nije prikladna.

Je li jedan u redu? Svakako. Manje... I nula je dobra, i -17, i 0,34... Da, svi brojevi koji su manji od dva su dobri! Pa čak i 1,9999.... Bar malo, ali manje!

Dakle, označimo sve ove brojeve na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je sjenčanje. Pomaknemo miša preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje svih x-ova koji ispunjavaju uvjet x zasjenjeno < 2 . To je to.

Pogledajmo drugu opciju koristeći drugi primjer:

X ≥ -0,5

Nacrtajte osu i označite broj -0,5. ovako:

Primećujete razliku?) Pa, da, teško je ne primetiti... Ova tačka je crna! Prefarbano. To znači -0,5 je uključeno u odgovor. Ovdje, inače, provjera može nekoga zbuniti. Zamenimo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 nije više od -0,5! I ima još ikona...

U redu je. U slaboj nejednakosti, sve što odgovara ikoni je prikladno. I jednaki dobro, i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.

Dakle, na osi smo označili -0,5, ostaje da označimo sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put obilježavam područje odgovarajuće vrednosti X bow(od reči arc), umjesto sjenčanja. Prelazimo kursorom preko crteža i vidimo ovaj luk.

Nema posebne razlike između senčenja i krakova. Uradi kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte lukove. U više teške zadatke senčenje je manje očigledno. Možete se zbuniti.

Ovako se crtaju linearne nejednakosti na osi. Pređimo na sljedeću karakteristiku nejednakosti.

Pisanje odgovora za nejednakosti.

Jednačine su bile dobre.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x=3. Postoje dva oblika pisanja odgovora u nejednačinama. Jedan je u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. na primjer:

X< 2.

Ovo je potpuni odgovor.

Ponekad treba da zapišete istu stvar, ali u drugom obliku, u brojčanim intervalima. Tada snimak počinje da izgleda veoma naučno):

x ∈ (-∞; 2)

Ispod ikone ∈ riječ je skrivena "pripada"

Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačnosti do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačnost do dva. Ne može postojati dvostruki X, što nam govori riječ "ne uključujući".

A gde je u odgovoru to jasno "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru round zagrada odmah iza dva. Da su ova dva uključena, zagrada bi bila kvadrat. Evo ga:]. IN sljedeći primjer koristi se takav nosač.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 u intervalima:

x ∈ [-0,5; +∞)

Čita: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačnost.

Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga je u takvim notacijama beskonačnost uvijek susedna zagradi.

Ovaj oblik snimanja je pogodan za složene odgovore koji se sastoje od nekoliko mjesta. Ali - samo za konačne odgovore. U srednjim rezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavna nejednakost. O tome ćemo se baviti u relevantnim temama.

Popularni zadaci sa nejednakostima.

Same linearne nejednakosti su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Tako da je bilo potrebno razmisliti. Ovo, ako niste navikli, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Ne morate da ih naučite, to je nepotrebno. I kako se ne bi plašili pri susretu s takvim primjerima. Samo malo razmislite - i jednostavno je!)

1. Nađi bilo koja dva rješenja nejednačine 3x - 3< 0

Ako nije baš jasno šta da radite, zapamtite glavno pravilo matematike:

Ako ne znaš šta ti treba, uradi šta možeš!)

X < 1

I šta? Ništa posebno. Šta nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva specifična broja koji su rješenje za nejednakost. One. odgovara odgovoru. Dva bilo koji brojevi. Zapravo, ovo je zbunjujuće.) Par 0 i 0,5 je pogodan. Par -3 i -8. Da, ovi parovi beskonačan skup! Koji je odgovor tačan?!

Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, će biti tačan odgovor. Napišite koju želite. Idemo dalje.

2. Riješite nejednačinu:

4x - 3 ≠ 0

Zadaci u ovoj formi su rijetki. Ali, kao pomoćne nejednakosti, kod pronalaženja ODZ-a, na primjer, ili kod pronalaženja domene definicije funkcije, one se javljaju stalno. Takva linearna nejednakost može se riješiti kao obična linearna jednačina. Samo svugdje osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nije jednako). Ovako pristupate odgovoru, sa znakom nejednakosti:

X ≠ 0,75

U više složeni primjeri, bolje je raditi stvari drugačije. Napravite nejednakost od jednakosti. ovako:

4x - 3 = 0

Mirno riješi to kako je naučeno i dobij odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar je da na samom kraju, kada zapisujete konačni odgovor, ne zaboravite da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam ovaj X zapravo i ne treba.) I moramo ga zapisati ispravnim simbolom:

X ≠ 0,75

Sa ovakvim pristupom ispada manje grešaka. Oni koji rješavaju jednačine automatski. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti su, zapravo, ni od kakve koristi...) Još jedan primjer popularnog zadatka:

3. Pronađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednakosti:

3(x - 1) < 5x + 9

Prvo jednostavno rješavamo nejednakost. Otvaramo zagrade, pomeramo ih, donosimo slične... Dobijamo:

X > - 6

Zar nije tako ispalo!? Da li ste pratili znakove!? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...

Hajde da razmislimo ponovo. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam odmah ne padne na pamet, možete jednostavno uzeti bilo koji broj i shvatiti ga. Dva preko minus šest? Svakako! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. I još manje? Treba nam najmanja moguća stvar! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti obrazac i prestati glupo prolaziti kroz brojeve, zar ne?)

Uzmimo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor je ispunjen, -5 > - 6. Da li je moguće pronaći drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5... Stani! Rečeno nam je cijeli rješenje! Ne valja -5,5! Šta je sa minus šest? Uh-uh! Nejednakost je stroga, minus 6 ni na koji način nije manji od minus 6!

Dakle, tačan odgovor je -5.

Nadamo se sa izborom vrijednosti od opšte rešenje sve je jasno. Drugi primjer:

4. Riješite nejednakost:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Ovaj izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćeni oblik sistema nejednakosti. Ali takve trostruke nejednakosti se još moraju riješiti u nekim zadacima... Može se riješiti bez ikakvih sistema. Prema istim identičnim transformacijama.

Moramo pojednostaviti, dovesti ovu nejednakost na čisti X. Ali... Šta da se preselim gde?! Ovdje je vrijeme da zapamtite da je kretanje lijevo i desno kratka forma prva transformacija identiteta.

A puni obrazac zvuči ovako: Bilo koji broj ili izraz može se dodati/oduzeti na obje strane jednačine (nejednakost).

Ovdje postoje tri dijela. Tako ćemo primijeniti identične transformacije na sva tri dijela!

Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Oduzmimo jedan od cijelog srednjeg dijela. Kako se nejednakost ne bi promijenila, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. ovako:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, zar ne?) Ostaje samo podijeliti sva tri dijela na tri:

2 < X < 4

To je to. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj odgovor se takođe piše u intervalima; Tamo su najčešća stvar.

Na kraju lekcije ponoviću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednačina zavisi od sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednačina. Ako u isto vreme pazi na znak nejednakosti, neće biti nikakvih problema. To ti želim. Nema problema.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Ne znaju svi kako riješiti nejednakosti koje su slične po strukturi i karakteristične karakteristike sa jednadžbama. Jednačina je vježba koja se sastoji od dva dijela, između kojih se nalazi znak jednakosti, a između dijelova nejednakosti može biti znak „više od“ ili „manje od“. Dakle, prije nego što pronađemo rješenje za određenu nejednakost, moramo shvatiti da je vrijedno razmotriti predznak broja (pozitivan ili negativan) ako postoji potreba da se obje strane pomnožite bilo kojim izrazom. Istu činjenicu treba uzeti u obzir ako je za rješavanje nejednakosti potrebno kvadriranje, budući da se kvadriranje vrši množenjem.

Kako riješiti sistem nejednakosti

Mnogo je teže riješiti sisteme nejednakosti nego obične nejednakosti. Kako riješiti nejednakosti 9. razreda, pogledajmo konkretni primjeri. Treba shvatiti da je prije rješavanja kvadratnih nejednačina (sistema) ili bilo kojeg drugog sistema nejednačina potrebno svaku nejednakost riješiti posebno, a zatim ih uporediti. Rješenje sistema nejednakosti će biti ili pozitivan ili negativan odgovor (da li sistem ima rješenje ili nema rješenje).

Zadatak je riješiti skup nejednačina:

Riješimo svaku nejednačinu posebno

Gradimo brojevnu pravu na kojoj prikazujemo skup rješenja

Pošto je skup unija skupova rješenja, ovaj skup na brojevnoj pravoj mora biti podvučen najmanje jednom pravom.

Rješavanje nejednačina sa modulom

Ovaj primjer će pokazati kako riješiti nejednakosti s modulom. Dakle, imamo definiciju:

Moramo riješiti nejednakost:

Prije rješavanja takve nejednakosti potrebno je riješiti se modula (znaka)

Napišimo, na osnovu podataka definicije:

Sada trebate riješiti svaki od sistema posebno.

Konstruirajmo jednu brojevnu pravu na kojoj prikazujemo skupove rješenja.

Kao rezultat, imamo kolekciju koja kombinira mnoga rješenja.

Rješavanje kvadratnih nejednačina

Koristeći brojevnu pravu, pogledajmo primjer rješavanja kvadratnih nejednačina. Imamo nejednakost:

Znamo da je graf kvadratnog trinoma parabola. Također znamo da su grane parabole usmjerene prema gore ako je a>0.

x 2 -3x-4< 0

Koristeći Vietinu teoremu nalazimo korijene x 1 = - 1; x 2 = 4

Nacrtajmo parabolu, odnosno njenu skicu.

Tako smo otkrili da će vrijednosti kvadratnog trinoma biti manje od 0 na intervalu od – 1 do 4.

Mnogi ljudi imaju pitanja kada rješavaju dvostruke nejednakosti kao što je g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

U stvari, postoji nekoliko metoda za rješavanje nejednakosti, tako da ih možete koristiti kompleksne nejednakosti grafička metoda.

Rješavanje frakcijskih nejednačina

Oni zahtijevaju pažljiviji pristup razlomke nejednakosti. To je zbog činjenice da se u procesu rješavanja nekih frakcijskih nejednačina predznak može promijeniti. Prije rješavanja frakcijskih nejednačina, morate znati da se za njihovo rješavanje koristi metoda intervala. Frakciona nejednakost mora biti predstavljena na način da jedna strana znaka izgleda kao frakcioni racionalni izraz, a druga - "- 0". Transformisanjem nejednakosti na ovaj način dobijamo kao rezultat f(x)/g(x) > (.

Rješavanje nejednačina metodom intervala

Intervalna tehnika se zasniva na metodi potpune indukcije, odnosno da bi se pronašlo rješenje nejednakosti potrebno je proći kroz sve moguće opcije. Ova metoda rješenja možda neće biti potrebna učenicima 8. razreda, jer bi trebali znati rješavati nejednačine 8. razreda, a to su jednostavne vježbe. Ali za starije razrede ova metoda je nezamjenjiva, jer pomaže u rješavanju frakcijskih nejednakosti. Rješavanje nejednakosti ovom tehnikom također se temelji na takvom svojstvu kontinuirane funkcije kao što je očuvanje predznaka između vrijednosti u kojima se pretvara u 0.

Napravimo graf polinoma. Ovo je kontinuirana funkcija koja poprima vrijednost 0 3 puta, odnosno f(x) će biti jednaka 0 u tačkama x 1, x 2 i x 3, korijenima polinoma. U intervalima između ovih tačaka, predznak funkcije je očuvan.

Budući da nam je za rješavanje nejednakosti f(x)>0 potreban predznak funkcije, prelazimo na koordinatnu liniju, ostavljajući graf.

f(x)>0 za x(x 1 ; x 2) i za x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) i na x (x 2 ; x 3)

Na grafikonu su jasno prikazana rješenja nejednačina f(x)f(x)>0 (rješenje prve nejednačine je plavo, a rješenje druge crveno). Da biste odredili predznak funkcije na intervalu, dovoljno je da znate predznak funkcije u jednoj od tačaka. Ova tehnika omogućava brzo rješavanje nejednačina u kojima je lijeva strana faktorizirana, jer je u takvim nejednačinama prilično lako pronaći korijene.

Mnogi ljudi misle da su eksponencijalne nejednakosti nešto složeno i neshvatljivo. A da je naučiti da ih se riješi gotovo velika umjetnost, koju samo Odabrani mogu shvatiti...

Potpuna glupost! Eksponencijalne nejednakosti su lake. I oni se uvijek jednostavno rješavaju. Pa, skoro uvek.

Danas ćemo ovu temu pogledati iznutra i izvana. Ova lekcija će biti veoma korisna za one koji tek počinju da razumeju ovaj deo školske matematike. Počnimo sa jednostavni zadaci a mi ćemo krenuti ka više kompleksna pitanja. Danas neće biti teškog posla, ali ono što ćete pročitati bit će dovoljno da riješite većinu nejednakosti na svim vrstama testova i testova. samostalan rad. I na ovom tvom ispitu.

Kao i uvijek, počnimo s definicijom. Eksponencijalna nejednakost je svaka nejednakost koja sadrži eksponencijalnu funkciju. Drugim riječima, uvijek se može svesti na nejednakost oblika

\[((a)^(x)) \gt b\]

Gdje $b$ može biti u ulozi? redovni broj, a možda i nešto teže. Primjeri? da molim:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(poravnati)\]

Mislim da je značenje jasno: postoji eksponencijalna funkcija $((a)^(x))$, ona se poredi sa nečim, a zatim traži da se pronađe $x$. U posebno kliničkim slučajevima, umjesto varijable $x$, mogu staviti neku funkciju $f\left(x \right)$ i time malo zakomplikovati nejednakost.

Naravno, u nekim slučajevima nejednakost može izgledati ozbiljnije. Evo, na primjer:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ili čak i ovo:

Općenito, složenost takvih nejednakosti može biti vrlo različita, ali se na kraju ipak svode na jednostavnu konstrukciju $((a)^(x)) \gt b$. I mi ćemo nekako smisliti takvu konstrukciju (u posebno kliničkim slučajevima, kada ništa ne padne na pamet, pomoći će nam logaritmi). Stoga ćemo vas sada naučiti kako riješiti takve jednostavne konstrukcije.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih nejednačina

Hajde da razmotrimo nešto veoma jednostavno. Na primjer, ovo:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Očigledno, broj na desnoj strani može se prepisati kao stepen dvojke: $4=((2)^(2))$. Dakle, originalna nejednakost se može prepisati u vrlo pogodnom obliku:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

I sad me svrbe ruke da “precrtam” dvojke u osnovama stepena da bih dobio odgovor $x \gt 2$. Ali prije nego što bilo šta precrtamo, sjetimo se moći dvojke:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Kao što vidite, što je veći broj u eksponentu, veći je i izlazni broj. “Hvala, Kape!” - uzviknut će jedan od učenika. Da li je drugačije? Nažalost, to se dešava. na primjer:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ desno))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

I ovdje je sve logično: što je veći stepen, to se broj 0,5 više puta množi sam sa sobom (tj. podijeljen na pola). Dakle, rezultirajući niz brojeva se smanjuje, a razlika između prvog i drugog niza je samo u bazi:

• Ako je osnova stepena $a \gt 1$, onda kako se eksponent $n$ povećava, broj $((a)^(n))$ će takođe rasti;
• I obrnuto, ako je $0 \lt a \lt 1$, onda kako se eksponent $n$ povećava, broj $((a)^(n))$ će se smanjivati.

Sumirajući ove činjenice, dobijamo najvažniju konstataciju na kojoj se zasniva cijela odluka eksponencijalne nejednakosti:

Ako je $a \gt 1$, onda je nejednakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednakosti $x \gt n$. Ako je $0 \lt a \lt 1$, tada je nejednakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednakosti $x \lt n$.

Drugim riječima, ako je baza veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti - znak nejednakosti se neće promijeniti. A ako je baza manja od jedan, onda se i ona može ukloniti, ali ćete u isto vrijeme morati promijeniti znak nejednakosti.

Imajte na umu da nismo razmotrili opcije $a=1$ i $a\le 0$. Jer u tim slučajevima se javlja neizvjesnost. Recimo kako riješiti nejednakost oblika $((1)^(x)) \gt 3$? Jedan na bilo koju moć će opet dati jedan - nikada nećemo dobiti tri ili više. One. nema rješenja.

Uz negativne razloge sve je još zanimljivije. Na primjer, razmotrite ovu nejednakost:

\[((\lijevo(-2 \desno))^(x)) \gt 4\]

Na prvi pogled sve je jednostavno:

zar ne? Ali ne! Dovoljno je umjesto $x$ zamijeniti par parnih jedinica i par neparni brojevi kako biste bili sigurni da je rješenje netačno. pogledajte:

\[\begin(align) & x=4\Strelica desno ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Strelica desno ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Strelica desno ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Strelica desno ((\levo(-2 \desno))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, znakovi se izmjenjuju. Ali postoje i razlomci i druge gluposti. Kako biste, na primjer, naručili izračunavanje $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dva na stepen sedam)? Nema šanse!

Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da je u svim eksponencijalnim nejednačinama (i uzgred rečeno, također) $1\ne a \gt 0$. A onda se sve rješava vrlo jednostavno:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \desno), \\ & x \lt n\quad \levo(0 \lt a \lt 1 \desno). \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Općenito, zapamtite opet glavno pravilo: ako je baza u eksponencijalnoj jednadžbi veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti; a ako je baza manja od jedan, može se i ukloniti, ali će se predznak nejednakosti promijeniti.

Primjeri rješenja

Dakle, pogledajmo nekoliko jednostavnih eksponencijalnih nejednakosti:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(poravnati)\]

Primarni zadatak u svim slučajevima je isti: svesti nejednakosti na najjednostavniji oblik $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Upravo to ćemo sada učiniti sa svakom nejednakošću, a istovremeno ćemo ponoviti svojstva potencija i eksponencijalnih funkcija. Dakle, idemo!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

sta mozes da radis ovde? Pa, na lijevoj strani već imamo indikativan izraz - ništa ne treba mijenjati. Ali na desnoj strani je neko sranje: razlomak, pa čak i korijen u nazivniku!

Međutim, prisjetimo se pravila za rad s razlomcima i potencijama:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(poravnati)\]

šta to znači? Prvo, lako se možemo riješiti razlomka pretvarajući ga u stepen s negativnim eksponentom. I drugo, pošto imenilac ima koren, bilo bi lepo pretvoriti ga u stepen - ovaj put sa razlomkom eksponenta.

Primijenite ove akcije uzastopce na desnu stranu nejednakosti i pogledajte što se događa:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((2)^(\frac( 1)(3))) \desno))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne zaboravite da se pri podizanju stepena na stepen eksponenti ovih stepeni sabiraju. I općenito, kada radite sa eksponencijalne jednačine i nejednakosti apsolutno je potrebno znati barem najjednostavnija pravila za rad sa stepenima:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\lijevo(((a)^(x)) \desno))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(poravnati)\]

zapravo, poslednje pravilo upravo smo ga primenili. Stoga će naša izvorna nejednakost biti prepisana na sljedeći način:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Sada ćemo se riješiti njih dvoje u bazi. Pošto je 2 > 1, predznak nejednakosti će ostati isti:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \levo(-\infty ;\frac(2)(3) \desno]. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Glavna poteškoća uopće nije u eksponencijalnoj funkciji, već u kompetentnoj transformaciji izvornog izraza: morate ga pažljivo i brzo dovesti u njegov najjednostavniji oblik.

Razmotrimo drugu nejednakost:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Da, da. Ovdje nas čekaju decimalni razlomci. Kao što sam mnogo puta rekao, u svim izrazima sa stepenom treba da se oslobodite decimala - to je često jedini način da vidite brzo i jednostavno rešenje. Ovdje ćemo se riješiti:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Strelica desno ((\levo(\frac(1)(10) \desno))^(1-x)) \lt ( (\lijevo(\frac(1)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]

Ovdje opet imamo najjednostavniju nejednakost, pa čak i sa osnovom od 1/10, tj. manje od jedan. Pa, uklanjamo baze, istovremeno mijenjajući znak iz "manje" u "više", i dobijamo:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(poravnati)\]

Dobili smo konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Imajte na umu: odgovor je upravo skup, a ni u kom slučaju konstrukcija oblika $x \lt -1$. Jer formalno, takva konstrukcija uopće nije skup, već nejednakost u odnosu na varijablu $x$. Da, vrlo je jednostavno, ali nije odgovor!

Važna napomena. Ova nejednakost bi se mogla riješiti na drugi način – svođenjem obje strane na stepen sa osnovom većom od jedan. pogledajte:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Strelica desno ((\levo(((10)^(-1)) \desno))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \desno))^(2))\Strelica desno ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Nakon takve transformacije, opet ćemo dobiti eksponencijalnu nejednakost, ali sa osnovom 10 > 1. To znači da možemo jednostavno precrtati deseticu - predznak nejednakosti se neće promijeniti. dobijamo:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, odgovor je bio potpuno isti. Ujedno smo se spasili potrebe da promijenimo znak i općenito zapamtimo bilo kakva pravila :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Međutim, ne dozvolite da vas ovo uplaši. Bez obzira što je u indikatorima, sama tehnologija rješavanja nejednakosti ostaje ista. Stoga, prvo primijetimo da je 16 = 2 4. Prepišimo prvobitnu nejednakost uzimajući u obzir ovu činjenicu:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Ura! Dobili smo uobičajenu kvadratnu nejednakost! Znak se nigdje nije promijenio, jer je osnova dva - broj veći od jedan.

Nule funkcije na brojevnoj pravoj

Raspoređujemo znakove funkcije $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - očigledno, njen graf će biti parabola sa granama prema gore, tako da će biti „plusova ” sa strane. Zanima nas oblast u kojoj je funkcija manja od nule, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ je odgovor na originalni problem.

Konačno, razmotrite još jednu nejednakost:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Opet vidimo eksponencijalnu funkciju s decimalnim razlomkom u osnovi. Pretvorimo ovaj razlomak u običan razlomak:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \desno))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \desno)))\end(align)\]

IN u ovom slučaju Koristili smo raniju napomenu - bazu smo sveli na broj 5 > 1 kako bismo pojednostavili naše dalje rješenje. Uradimo isto sa desnom stranom:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ desno))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Prepišimo prvobitnu nejednakost uzimajući u obzir obje transformacije:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2))\desno)))\ge ((5)^(-2))\]

Osnove na obje strane su iste i prelaze jedan. Na desnoj i lijevoj strani nema drugih pojmova, pa jednostavno "precrtamo" petice i dobijemo vrlo jednostavan izraz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Ovdje morate biti oprezniji. Mnogi studenti vole da jednostavno uzmu kvadratni korijen obje strane nejednakosti i napišu nešto poput $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. To ni pod kojim okolnostima ne bi trebalo raditi , budući da je korijen tačnog kvadrata modul, a ni u kom slučaju originalna varijabla:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\desno|\]

Međutim, rad sa modulima nije najprijatnije iskustvo, zar ne? Tako da nećemo raditi. Umjesto toga, jednostavno pomjerimo sve pojmove ulijevo i riješimo uobičajenu nejednakost koristeći metodu intervala:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Dobijene tačke ponovo označavamo na brojevnoj pravoj i gledamo znakove:

Napomena: tačke su zasjenjene

Pošto smo rješavali ne-strogu nejednakost, sve tačke na grafu su zasjenjene. Dakle, odgovor će biti: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nije interval, već segment.

Općenito, želio bih napomenuti da u eksponencijalnim nejednakostima nema ništa komplikovano. Značenje svih transformacija koje smo danas izveli svodi se na jednostavan algoritam:

• Pronađite osnovu na koju ćemo sveti sve stepene;
• Pažljivo izvršite transformacije da dobijete nejednakost oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Naravno, umjesto varijabli $x$ i $n$ može postojati mnogo više složene funkcije, ali značenje se neće promijeniti;
• Precrtati osnove stepeni. U ovom slučaju, predznak nejednakosti se može promijeniti ako je baza $a \lt 1$.

Zapravo, ovo je univerzalni algoritam za rješavanje svih takvih nejednakosti. A sve ostalo što će vam reći na ovu temu su samo specifične tehnike i trikovi koji će pojednostaviti i ubrzati transformaciju. Sada ćemo pričati o jednoj od ovih tehnika. :)

Metoda racionalizacije

Razmotrimo još jedan skup nejednakosti:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \desno))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Pa šta je tako posebno kod njih? Oni su lagani. Mada, stani! Da li je broj π podignut na neki stepen? Kakve gluposti?

Kako podići broj $2\sqrt(3)-3$ na stepen? Ili $3-2\sqrt(2)$? Pisci problema su očigledno popili previše gloga pre nego što su seli da rade :)

U stvari, nema ništa strašno u ovim zadacima. Da vas podsjetim: eksponencijalna funkcija je izraz oblika $((a)^(x))$, gdje je baza $a$ bilo koji pozitivan broj osim jedan. Broj π je pozitivan - to već znamo. Brojevi $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ su također pozitivni - to je lako vidjeti ako ih uporedite sa nulom.

Ispada da se sve ove "zastrašujuće" nejednakosti rješavaju ne drugačije od onih jednostavnih o kojima smo gore govorili? I da li se rješavaju na isti način? Da, to je potpuno tačno. Međutim, na njihovom primjeru, želio bih razmotriti jednu tehniku ​​koja uvelike štedi vrijeme na samostalnom radu i ispitima. Govorićemo o metodi racionalizacije. Dakle, pažnja:

Bilo koja eksponencijalna nejednakost oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentna nejednakosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ desno) \gt 0 $.

To je cela metoda :) Da li ste mislili da će biti neka druga igra? Ništa od toga! Ali ova jednostavna činjenica, napisana doslovno u jednom redu, uvelike će nam pojednostaviti rad. pogledajte:

\[\begin(matrica) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Dolje \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\\end(matrica)\]

Dakle, nema više eksponencijalnih funkcija! I ne morate pamtiti da li se znak menja ili ne. Ali nastaje novi problem: šta učiniti sa jebenim množiteljem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Ne znamo o čemu se radi tačna vrijednost brojevi π. Međutim, čini se da kapetan nagovještava očigledno:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\približno 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Općenito, tačna vrijednost π nas se baš i ne tiče - važno je samo da shvatimo da je u svakom slučaju $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. ovo je pozitivna konstanta i njome možemo podijeliti obje strane nejednakosti:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \desno) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \desno)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Kao što vidite, u određenom trenutku morali smo podijeliti sa minus jedan - i znak nejednakosti se promijenio. Na kraju sam proširio kvadratni trinom koristeći Vietinu teoremu - očito je da su korijeni jednaki $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=-1$ . Onda je sve odlučeno klasična metoda intervali:

Rješavanje nejednakosti metodom intervala

Sve tačke se uklanjaju jer je originalna nejednakost stroga. Zanima nas region sa negativnim vrednostima, tako da je odgovor $x\in \left(-1;5 \right)$. To je rešenje. :)

Pređimo na sljedeći problem:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Sve je ovdje općenito jednostavno, jer se nalazi jedinica s desne strane. I sjećamo se da je jedan bilo koji broj podignut na nulti stepen. Čak i ako je ovaj broj iracionalan izraz u osnovi s lijeve strane:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \desno))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \desno))^(0)); \\\end(poravnati)\]

Pa, da racionalizujemo:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ostaje samo otkriti znakove. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne sadrži varijablu $x$ - to je samo konstanta, i moramo saznati njen predznak. Da biste to učinili, obratite pažnju na sljedeće:

\[\begin(matrica) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Strelica prema dolje \\ 2\levo(\sqrt(3)-2 \desno) \lt 2\cdot \left(2 -2 \desno)=0 \\\kraj(matrica)\]

Ispostavilo se da drugi faktor nije samo konstanta, već negativna konstanta! A kada se dijeli s njim, predznak izvorne nejednakosti mijenja se u suprotno:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\lijevo(x-2 \desno) \gt 0. \\\end(poravnati)\]

Sada sve postaje potpuno očigledno. Roots kvadratni trinom, stoji na desnoj strani: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Označavamo ih na brojevnoj pravoj i gledamo znakove funkcije $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Slučaj kada nas zanimaju bočni intervali

Zanimaju nas intervali označeni znakom plus. Ostaje samo da zapišete odgovor:

Prijeđimo na sljedeći primjer:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ desno))^(16-x))\]

Pa, ovdje je sve potpuno očigledno: baze sadrže potencije istog broja. Stoga ću sve ukratko napisati:

\[\begin(matrica) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Strelica prema dolje \\ ((\left(((3)^(-1)) \desno))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \desno))^(16-x)) \\\end(matrica)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lijevo(16-x \desno))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \desno) \desno)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \desno)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Kao što vidite, tokom procesa transformacije morali smo da pomnožimo sa negativan broj, tako da je promijenjen znak nejednakosti. Na samom kraju, ponovo sam primijenio Vietinu teoremu za faktor kvadratnog trinoma. Kao rezultat, odgovor će biti sljedeći: $x\in \left(-8;4 \right)$ - svako to može provjeriti crtanjem brojevne prave, označavanjem tačaka i brojanjem znakova. U međuvremenu, preći ćemo na posljednju nejednakost iz našeg "skupa":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Kao što vidite, u bazi je opet iracionalan broj, a desno opet jedinica. Stoga našu eksponencijalnu nejednakost prepisujemo na sljedeći način:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ desno))^(0))\]

Primjenjujemo racionalizaciju:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Međutim, sasvim je očigledno da je $1-\sqrt(2) \lt 0$, budući da je $\sqrt(2)\približno 1,4... \gt 1$. Dakle, drugi faktor je opet negativna konstanta, na koju se mogu podijeliti obje strane nejednakosti:

\[\begin(matrica) \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrica)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\lijevo(x-3 \desno) \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Pređite u drugu bazu

Poseban problem pri rješavanju eksponencijalnih nejednačina je potraga za „ispravnom“ osnovom. Nažalost, na zadatku nije uvijek jasno na prvi pogled šta uzeti za osnovu, a šta učiniti prema stepenu ove osnove.

Ali ne brinite: ovdje nema magije ili „tajne“ tehnologije. U matematici, svaka vještina koja se ne može algoritmizirati može se lako razviti kroz vježbu. Ali za to ćete morati riješiti probleme različitih nivoa složenosti. Na primjer, ovako:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ kraj (poravnati)\]

Tesko? Strašno? Lakše je nego udariti kokošku o asfalt! Hajde da probamo. Prva nejednakost:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Pa mislim da je tu sve jasno:

Prepisujemo originalnu nejednakost, svodeći sve na osnovu dva:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \desno)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Da, da, dobro ste čuli: upravo sam primenio metod racionalizacije koji je gore opisan. Sada moramo pažljivo raditi: imamo razlomku-racionalnu nejednakost (ovo je ona koja ima varijablu u nazivniku), pa prije nego što nešto izjednačimo sa nulom, moramo sve dovesti na zajednički imenilac i osloboditi se konstantnog faktora.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \desno)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Sada koristimo standardnu ​​metodu intervala. Nule brojioca: $x=\pm 4$. Imenilac ide na nulu samo kada je $x=0$. Ukupno su tri tačke koje je potrebno označiti na brojevnoj pravoj (sve tačke su zakačene jer je znak nejednakosti strog). dobijamo:

Više težak slučaj: tri korijena

Kao što možete pretpostaviti, sjenčanje označava one intervale u kojima izraz s lijeve strane poprima negativne vrijednosti. Stoga će konačni odgovor uključivati ​​dva intervala odjednom:

Krajevi intervala nisu uključeni u odgovor jer je prvobitna nejednakost bila stroga. Nije potrebna dalja provjera ovog odgovora. U tom smislu, eksponencijalne nejednakosti su mnogo jednostavnije od logaritamskih: nema ODZ-a, nema ograničenja itd.

Pređimo na sljedeći zadatak:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Ni tu nema problema, jer već znamo da je $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, pa se cijela nejednakost može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lijevo(-2 \desno) \desno. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Imajte na umu: u trećem redu odlučio sam da ne gubim vrijeme na sitnice i odmah sve podijelim sa (−2). Minul je ušao u prvu zagradu (sada su svuda plusevi), a dva je smanjena sa konstantnim faktorom. To je upravo ono što biste trebali učiniti kada pripremate prave prikaze na nezavisnim i testovi— nema potrebe opisivati ​​svaku radnju i transformaciju.

Zatim dolazi u obzir poznata metoda intervala. Numeratorske nule: ali ih nema. Zato što će diskriminant biti negativan. Zauzvrat, imenilac se resetuje samo kada je $x=0$ - kao i prošli put. Pa, jasno je da će desno od $x=0$ razlomak uzeti pozitivne vrijednosti, a lijevo - negativne. Pošto nas zanimaju negativne vrijednosti, konačni odgovor je: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Šta trebate učiniti s decimalnim razlomcima u eksponencijalnim nejednačinama? Tako je: riješite ih se, pretvarajući ih u obične. Ovdje ćemo prevesti:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Strelica desno ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Strelica desno ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\desno))^(x)). \\\end(poravnati)\]

Dakle, što smo dobili u temeljima eksponencijalnih funkcija? I dobili smo dva međusobno inverzna broja:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Strelica desno ((\left(\frac(25)(4) \ desno))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \desno))^(x))=((\ lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(-x))\]

Dakle, originalna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \desno))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(poravnati)\]

Naravno, kada se množe stepeni sa istom osnovom, njihovi eksponenti se sabiraju, što se i dogodilo u drugom redu. Pored toga, predstavili smo jedinicu sa desne strane, takođe kao moć u bazi 4/25. Ostaje samo da se racionalizuje:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Strelica desno \levo(x+1-0 \desno)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \desno)\ge 0\]

Imajte na umu da je $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi faktor je negativna konstanta, a pri dijeljenju s njom promijenit će se predznak nejednakosti:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Strelica desno x\le -1; \\ & x\in \levo(-\infty ;-1 \desno]. \\\end(poravnati)\]

Konačno, posljednja nejednakost iz trenutnog "skupa":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

U principu, ideja rješenja ovdje je također jasna: sve eksponencijalne funkcije, uključeno u nejednakost, mora se svesti na bazu “3”. Ali za ovo ćete se morati malo pozabaviti korijenima i moćima:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(poravnati)\]

Uzimajući ove činjenice u obzir, izvorna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\desno))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(poravnati)\]

Obratite pažnju na 2. i 3. red proračuna: prije nego što učinite bilo šta s nejednakošću, obavezno je dovedite u oblik o kojem smo pričali od samog početka lekcije: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Sve dok imate neke levoruke faktore, dodatne konstante itd. sa leve ili desne strane, ne može se izvršiti nikakva racionalizacija ili „precrtavanje“ osnova! Bezbroj zadataka je pogrešno obavljeno zbog nerazumijevanja ovoga jednostavna činjenica. I sam stalno posmatram ovaj problem kod svojih učenika kada tek počinjemo da analiziramo eksponencijalne i logaritamske nejednakosti.

No, vratimo se našem zadatku. Pokušajmo ovaj put bez racionalizacije. Podsjetimo: osnova stepena je veća od jedan, tako da se trojke mogu jednostavno precrtati - znak nejednakosti se neće promijeniti. dobijamo:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(poravnati)\]

To je to. Konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolacija stabilnog izraza i zamjena varijable

U zaključku predlažem rješavanje još četiri eksponencijalne nejednačine, koje su već prilično teške za nespremne učenike. Da biste se nosili s njima, morate zapamtiti pravila za rad sa diplomama. Konkretno, stavljanje uobičajenih faktora iz zagrada.

Ali najvažnije je naučiti razumjeti šta se tačno može izvaditi iz zagrada. Takav izraz se naziva stabilan - može se označiti novom varijablom i tako se riješiti eksponencijalne funkcije. Dakle, pogledajmo zadatke:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(poravnati)\]

Počnimo od prve linije. Zapišimo ovu nejednakost odvojeno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Imajte na umu da je $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tako da je desna strana se može prepisati:

Imajte na umu da nema drugih eksponencijalnih funkcija osim $((5)^(x+1))$ u nejednakosti. I općenito, varijabla $x$ se ne pojavljuje nigdje drugdje, pa hajde da uvedemo novu varijablu: $((5)^(x+1))=t$. Dobijamo sledeću konstrukciju:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(poravnati)\]

Vraćamo se na originalnu varijablu ($t=((5)^(x+1))$), a u isto vrijeme zapamtimo da je 1=5 0 . imamo:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Odgovor: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pređimo na drugu nejednakost:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Ovdje je sve isto. Imajte na umu da je $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Onda lijevoj strani može se prepisati:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \desno. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Strelica desno ((3)^(x))\ge 9\Strelica desno ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Strelica desno x\in \levo[ 2;+\infty \desno). \\\end(poravnati)\]

Ovako otprilike trebate napraviti rješenje za prave testove i samostalan rad.

Pa, hajde da probamo nešto komplikovanije. Na primjer, evo nejednakosti:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

U čemu je problem? Prije svega, baze eksponencijalnih funkcija na lijevoj strani su različite: 5 i 25. Međutim, 25 = 5 2, pa se prvi član može transformirati:

\[\begin(poravnati) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \desno))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Kao što vidite, prvo smo sve sredili istu osnovu, a zatim primijetio da se prvi član lako može svesti na drugi - samo treba proširiti eksponent. Sada možete bezbedno uvesti novu varijablu: $((5)^(2x+2))=t$, a cela nejednakost će biti prepisana na sledeći način:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

I opet, bez poteškoća! Konačni odgovor: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pređimo na konačnu nejednakost u današnjoj lekciji:

\[((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Prva stvar na koju treba obratiti pažnju je, naravno, decimalni u osnovi prvog stepena. Potrebno ga je riješiti, a istovremeno dovesti sve eksponencijalne funkcije na istu bazu - broj "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Strelica desno ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\lijevo(((2)^(-1)) \desno))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Strelica desno ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \desno))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Odlično, napravili smo prvi korak - sve je dovelo do istog temelja. Sada morate odabrati stabilan izraz. Imajte na umu da je $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ako uvedemo novu varijablu $((2)^(4x+6))=t$, onda se originalna nejednakost može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(poravnati)\]

Naravno, može se postaviti pitanje: kako smo otkrili da je 256 = 2 8? Nažalost, ovdje samo trebate znati potencije dvojke (i u isto vrijeme potencije tri i pet). Pa, ili podijelite 256 sa 2 (možete podijeliti, pošto je 256 paran broj) dok ne dobijemo rezultat. To će izgledati otprilike ovako:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Isto je i sa tri (brojevi 9, 27, 81 i 243 su njeni stepeni), i sa sedam (brojeve 49 i 343 takođe bi bilo lepo zapamtiti). Pa, petorica takođe imaju "lijepe" diplome koje morate znati:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(poravnati)\]

Naravno, ako želite, svi ovi brojevi se mogu vratiti u vašem umu jednostavnim uzastopnim množenjem jedan s drugim. Međutim, kada morate riješiti nekoliko eksponencijalnih nejednačina, a svaka sljedeća je teža od prethodne, posljednja stvar o kojoj želite razmišljati su potencije nekih brojeva. I u tom smislu, ovi problemi su složeniji od “klasičnih” nejednakosti koje se rješavaju intervalnom metodom.