Kako riješiti logaritamsku jednačinu sa bazom. Logaritamske jednadžbe
Pročitajte također
Rješenje logaritamske jednačine. Dio 1.
Logaritamska jednadžba je jednadžba u kojoj je nepoznato sadržano pod znakom logaritma (posebno u bazi logaritma).
Najjednostavniji logaritamska jednačina ima oblik:
Rješavanje bilo koje logaritamske jednadžbe uključuje prijelaz sa logaritama na izraze pod znakom logaritama. Međutim, ova radnja proširuje opseg prihvatljive vrijednosti jednadžba i može dovesti do pojave stranih korijena. Kako bi se izbjegla pojava stranih korijena, možete učiniti na jedan od tri načina:
1. Napravite ekvivalentan prelaz od originalne jednadžbe do sistema uključujući
zavisno od koje nejednakosti ili jednostavnije.
Ako jednadžba sadrži nepoznatu u osnovi logaritma:
onda idemo na sistem:
2. Odvojeno pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe, zatim riješite jednadžbu i provjerite da li pronađena rješenja zadovoljavaju jednačinu.
3. Riješite jednačinu, a zatim provjeriti: zamijenimo pronađena rješenja u originalnu jednačinu i provjerimo da li smo dobili tačnu jednakost.
Logaritamska jednačina bilo kojeg nivoa složenosti uvijek se na kraju svodi na najjednostavniju logaritamsku jednačinu.
Sve logaritamske jednadžbe mogu se podijeliti u četiri tipa:
1 . Jednačine koje sadrže logaritme samo na prvi stepen. Uz pomoć transformacija i upotrebe dovode se do forme
Primjer. Rešimo jednačinu:
Izjednačimo izraze pod znakom logaritma:
Provjerimo da li naš korijen jednadžbe zadovoljava:
Da, zadovoljava.
Odgovor: x=5
2 . Jednačine koje sadrže logaritme na stepene koji nisu 1 (posebno u nazivniku razlomka). Takve jednačine se mogu riješiti korištenjem uvođenje promjene varijable.
Primjer. Rešimo jednačinu:
Nađimo ODZ jednačinu:
Jednačina sadrži logaritme na kvadrat, tako da se može riješiti promjenom varijable.
Važno! Prije uvođenja zamjene, potrebno je da logaritme koji su dio jednadžbe „razdvojite“ u „cigle“, koristeći svojstva logaritma.
Prilikom "razdvajanja" logaritama, važno je vrlo pažljivo koristiti svojstva logaritama:
Osim toga, ovdje postoji još jedna suptilna točka, a kako bismo izbjegli uobičajenu grešku, koristit ćemo srednju jednakost: stepen logaritma ćemo napisati u ovom obliku:
Isto tako,
Zamijenimo rezultirajuće izraze u originalnu jednačinu. dobijamo:
Sada vidimo da je nepoznata sadržana u jednadžbi kao dio . Hajde da predstavimo zamenu: . Budući da može uzeti bilo koju realnu vrijednost, ne namećemo nikakva ograničenja varijabli.
Danas ćemo naučiti kako riješiti najjednostavnije logaritamske jednadžbe, gdje nisu potrebne preliminarne transformacije ili odabir korijena. Ali ako naučite rješavati takve jednadžbe, onda će to biti mnogo lakše.
Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika log a f (x) = b, gdje su a, b brojevi (a > 0, a ≠ 1), f (x) je određena funkcija.
Karakteristična karakteristika svih logaritamskih jednačina je prisustvo varijable x pod znakom logaritma. Ako je ovo jednačina koja je prvobitno data u zadatku, naziva se najjednostavnija. Sve druge logaritamske jednadžbe se svode na najjednostavnije posebnim transformacijama (pogledajte “Osnovne osobine logaritama”). Međutim, brojne suptilnosti moraju se uzeti u obzir: mogu se pojaviti dodatni korijeni, pa će se složene logaritamske jednadžbe razmatrati zasebno.
Kako riješiti takve jednačine? Dovoljno je zamijeniti broj desno od znaka jednakosti logaritmom u istoj osnovi kao lijevo. Tada se možete riješiti predznaka logaritma. dobijamo:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Dobili smo uobičajenu jednačinu. Njegovi korijeni su korijeni originalne jednadžbe.
Vađenje diploma
Često se logaritamske jednadžbe, koje spolja izgledaju složeno i prijeteće, rješavaju doslovno u nekoliko redaka bez uključivanja složene formule. Danas ćemo se osvrnuti na upravo takve probleme, gdje se od vas traži samo da pažljivo svedete formulu na kanonski oblik i da se ne zbunite u potrazi za domenom definicije logaritama.
Danas ćemo, kao što ste vjerojatno pogodili iz naslova, rješavati logaritamske jednadžbe koristeći formule za prijelaz u kanonski oblik. Glavni "trik" ove video lekcije bit će rad sa diplomama, odnosno izvođenje stepena iz osnove i argumenta. Pogledajmo pravilo:
Slično, možete izvesti stepen iz baze:
Kao što vidimo, ako kada uklonimo stepen iz argumenta logaritma jednostavno imamo dodatni faktor ispred, onda kada uklonimo stepen iz baze ne dobijamo samo faktor, već obrnuti faktor. Ovo treba zapamtiti.
Konačno, ono najzanimljivije. Ove formule se mogu kombinovati i onda dobijamo:
Naravno, prilikom ovih prijelaza postoje određene zamke povezane s mogućim proširenjem obima definicije ili, obrnuto, sužavanjem obima definicije. Procijenite sami:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Ako bi u prvom slučaju x mogao biti bilo koji broj osim 0, tj. zahtjev x ≠ 0, onda se u drugom slučaju zadovoljavamo samo sa x, koji ne samo da nije jednak, već je striktno veći od 0, jer je domen definicija logaritma je da argument bude striktno veći od 0. Stoga ću vas podsjetiti na jednu divnu formulu iz kursa algebre od 8. do 9. razreda:
Odnosno, našu formulu moramo napisati na sljedeći način:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Tada neće doći do sužavanja opsega definicije.
Međutim, u današnjem video tutorijalu neće biti kvadrata. Ako pogledate naše zadatke, vidjet ćete samo korijene. Stoga, prijavite se ovo pravilo nećemo, ali to ipak treba imati na umu tako da pravi trenutak kad vidis kvadratna funkcija u argumentu ili bazi logaritma, zapamtit ćete ovo pravilo i pravilno izvesti sve transformacije.
Dakle, prva jednačina je:
Da bih riješio ovaj problem, predlažem da pažljivo pogledamo svaki od pojmova prisutnih u formuli.
Hajde da prepišemo prvi član kao stepen sa racionalni indikator:
Gledamo drugi član: log 3 (1 − x). Ovdje ne treba ništa raditi, ovdje je sve već transformirano.
Konačno, 0, 5. Kao što sam rekao u prethodnim lekcijama, prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi i formula, toplo preporučujem prelazak sa decimalnih razlomaka na obične. Uradimo ovo:
0,5 = 5/10 = 1/2
Prepišimo našu originalnu formulu uzimajući u obzir rezultirajuće pojmove:
log 3 (1 − x ) = 1
Sada pređimo na kanonski oblik:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Riješimo se znaka logaritma izjednačavanjem argumenata:
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
To je to, riješili smo jednačinu. Međutim, hajde da ipak igramo na sigurno i pronađemo domen definicije. Da bismo to učinili, vratimo se na originalnu formulu i vidimo:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Naš korijen x = −2 zadovoljava ovaj zahtjev, stoga je x = −2 rješenje originalne jednačine. Sada smo dobili strogo, jasno opravdanje. To je to, problem rešen.
Pređimo na drugi zadatak:
Pogledajmo svaki pojam posebno.
Napišimo prvu:
Transformisali smo prvi mandat. Radimo sa drugim terminom:
Konačno, posljednji član, koji je desno od znaka jednakosti:
Zamjenjujemo rezultirajuće izraze umjesto pojmova u rezultirajućoj formuli:
log 3 x = 1
Pređimo na kanonski oblik:
log 3 x = log 3 3
Riješimo se znaka logaritma, izjednačavajući argumente, i dobijamo:
x = 3
Opet, samo da budemo sigurni, vratimo se originalnoj jednadžbi i pogledajmo. U originalnoj formuli, varijabla x je prisutna samo u argumentu, dakle,
x > 0
U drugom logaritmu, x je ispod korijena, ali opet u argumentu, dakle, korijen mora biti veći od 0, tj. radikalni izraz mora biti veći od 0. Gledamo naš korijen x = 3. Očigledno, to zadovoljava ovaj zahtjev. Dakle, x = 3 je rješenje originalne logaritamske jednadžbe. To je to, problem rešen.
Postoje dvije ključne tačke u današnjem video tutorijalu:
1) ne plašite se transformacije logaritma i, posebno, ne plašite se izuzimanja stepena iz predznaka logaritma, pritom zapamtite našu osnovnu formulu: kada se odstranjuje stepen iz argumenta, on se jednostavno vadi bez promena kao množitelj, a kada se snaga vadi iz baze, ova snaga se invertuje.
2) druga tačka se odnosi na sam kanonski oblik. Prijelaz na kanonski oblik izvršili smo na samom kraju transformacije formule logaritamske jednačine. Dozvolite mi da vas podsjetim na sljedeću formulu:
a = log b b a
Naravno, pod izrazom „bilo koji broj b“ mislim na one brojeve koji zadovoljavaju zahtjeve postavljene na osnovu logaritma, tj.
1 ≠ b > 0
Za takav b, a pošto već znamo osnovu, ovaj zahtjev će biti automatski ispunjen. Ali za takve b - bilo koje koje zadovoljavaju ovaj zahtjev - ovaj prijelaz se može izvršiti, i dobićemo kanonski oblik u kojem se možemo riješiti predznaka logaritma.
Proširivanje domena definicije i dodatnih korijena
U procesu transformacije logaritamskih jednadžbi može doći do implicitnog proširenja domena definicije. Učenici to često i ne primjećuju, što dovodi do grešaka i netačnih odgovora.
Počnimo s najjednostavnijim dizajnom. Najjednostavnija logaritamska jednadžba je sljedeća:
log a f (x) = b
Imajte na umu da je x prisutan samo u jednom argumentu jednog logaritma. Kako rješavamo takve jednačine? Koristimo kanonski oblik. Da biste to učinili, zamislite broj b = log a a b, a naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
log a f (x) = log a a b
Ovaj unos se zove kanonski oblik. Na to trebate svesti svaku logaritamsku jednadžbu s kojom ćete se susresti ne samo u današnjoj lekciji, već iu svakom samostalnom i probnom radu.
Kako doći do kanonske forme i koje tehnike koristiti je stvar prakse. Glavna stvar koju treba shvatiti je da čim dobijete takav zapis, problem možete smatrati riješenim. Jer sljedeći korak je da napišete:
f (x) = a b
Drugim riječima, riješimo se znaka logaritma i jednostavno izjednačimo argumente.
Čemu sva ova priča? Činjenica je da je kanonski oblik primjenjiv ne samo na najjednostavnije probleme, već i na sve druge. Posebno one o kojima ćemo danas odlučiti. da vidimo.
Prvi zadatak:
Šta je problem sa ovom jednačinom? Činjenica je da je funkcija u dva logaritma odjednom. Problem se može svesti na najjednostavniji način jednostavnim oduzimanjem jednog logaritma od drugog. Ali problemi nastaju s područjem definicije: mogu se pojaviti dodatni korijeni. Dakle, samo pomjerimo jedan od logaritama udesno:
Ovaj unos je mnogo sličniji kanonskom obliku. Ali postoji još jedna nijansa: u kanonskom obliku, argumenti moraju biti isti. I na lijevoj strani imamo logaritam u bazi 3, a na desnoj u bazi 1/3. On zna da ove baze treba dovesti u isti broj. Na primjer, prisjetimo se koje su negativne moći:
A onda ćemo koristiti eksponent "−1" izvan log kao množitelj:
Imajte na umu: stepen koji je bio u bazi se okreće i pretvara se u razlomak. Dobili smo skoro kanonsku notaciju tako što smo se riješili različitih baza, ali smo zauzvrat dobili faktor “−1” na desnoj strani. Uračunajmo ovaj faktor u argument pretvarajući ga u moć:
Naravno, primivši kanonski oblik, hrabro precrtavamo znak logaritma i izjednačavamo argumente. U isto vrijeme, da vas podsjetim da kada se podigne na stepen "−1", razlomak se jednostavno preokrene - dobije se proporcija.
Iskoristimo osnovno svojstvo proporcije i pomnožimo ga unakrsno:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Ono što imamo pred nama je kvadratna jednačina, pa ga rješavamo pomoću Vietinih formula:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
To je sve. Mislite li da je jednačina riješena? Ne! Za takvo rješenje dobit ćemo 0 bodova, jer u originalnoj jednadžbi postoje dva logaritma s promjenljivom x. Stoga je potrebno voditi računa o domenu definicije.
I tu počinje zabava. Većina učenika je zbunjena: koji je domen definicije logaritma? Naravno, svi argumenti (imamo dva) moraju biti veći od nule:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Svaka od ovih nejednakosti se mora riješiti, označiti na pravoj liniji, presjeći i tek onda vidjeti koji korijeni leže na raskrsnici.
Bit ću iskren: ova tehnika ima pravo na postojanje, pouzdana je i dobit ćete tačan odgovor, ali u njoj ima previše nepotrebnih koraka. Pa hajde da ponovo pogledamo naše rešenje i vidimo: gde tačno treba da primenimo opseg? Drugim riječima, morate jasno razumjeti kada se točno pojavljuju dodatni korijeni.
- U početku smo imali dva logaritma. Zatim smo jedan od njih pomjerili udesno, ali to nije utjecalo na područje definicije.
- Zatim uklanjamo potenciju iz baze, ali još uvijek postoje dva logaritma, a u svakom od njih postoji varijabla x.
- Konačno, precrtavamo znakove dnevnika i dobivamo klasiku frakciona racionalna jednačina.
U posljednjem koraku širi se opseg definicije! Čim smo prešli na frakciono-racionalnu jednačinu, oslobodivši se log znakova, zahtjevi za varijablu x su se dramatično promijenili!
Shodno tome, domen definicije se može razmatrati ne na samom početku rješenja, već samo na pomenutom koraku – prije direktnog izjednačavanja argumenata.
Tu se krije prilika za optimizaciju. S jedne strane, od nas se traži da oba argumenta budu veća od nule. S druge strane, mi dalje izjednačavamo ove argumente. Dakle, ako je barem jedan od njih pozitivan, onda će i drugi biti pozitivan!
Dakle, ispada da je zahtjev da se dvije nejednakosti ispune odjednom previše. Dovoljno je uzeti u obzir samo jedan od ovih razlomaka. Koji tačno? Onaj koji je jednostavniji. Na primjer, pogledajmo desni razlomak:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Ovo je tipična razlomka racionalne nejednakosti mi je rješavamo koristeći intervalnu metodu:
Kako postaviti znakove? Uzmimo broj koji je očito veći od svih naših korijena. Na primjer, 1 milijarda I zamjenjujemo njegov dio. Dobijamo pozitivan broj, tj. desno od korijena x = 5 nalazit će se znak plus.
Tada se znakovi izmjenjuju, jer nigdje nema korijena ravnomjernog mnoštva. Zanimaju nas intervali u kojima je funkcija pozitivna. Dakle, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Sada se prisjetimo odgovora: x = 8 i x = 2. Strogo govoreći, ovo još nisu odgovori, već samo kandidati za odgovor. Koji pripada navedenom skupu? Naravno, x = 8. Ali x = 2 nam ne odgovara u smislu svog domena definicije.
Ukupno, odgovor na prvu logaritamsku jednačinu će biti x = 8. Sada imamo kompetentno, dobro utemeljeno rješenje, uzimajući u obzir domen definicije.
Pređimo na drugu jednačinu:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Dozvolite mi da vas podsjetim da ako u jednadžbi postoji decimalni razlomak, onda biste ga se trebali riješiti. Drugim riječima, prepišimo 0,5 kao običan razlomak. Odmah primjećujemo da se logaritam koji sadrži ovu bazu lako izračunava:
Ovo je veoma važan trenutak! Kada imamo stepene iu bazi iu argumentu, možemo izvesti indikatore ovih stepeni koristeći formulu:
Vratimo se našoj originalnoj logaritamskoj jednadžbi i prepišimo je:
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Dobili smo dizajn prilično blizak kanonskom obliku. Međutim, zbunjeni smo terminima i znakom minus desno od znaka jednakosti. Hajde da predstavimo jedan kao logaritam bazi 5:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Oduzmite logaritme na desnoj strani (u ovom slučaju njihovi argumenti su podijeljeni):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Divno. Tako smo dobili kanonski oblik! Precrtavamo znakove dnevnika i izjednačavamo argumente:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Ovo je proporcija koja se lako može riješiti množenjem unakrsno:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Očigledno, imamo redukovanu kvadratnu jednačinu. Može se lako riješiti korištenjem Vietinih formula:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Imamo dva korena. Ali to nisu konačni odgovori, već samo kandidati, jer logaritamska jednačina zahtijeva i provjeru domena definicije.
Podsjećam vas: nema potrebe tražiti kada svaki argumenata će biti veći od nule. Dovoljno je zahtijevati da jedan argument — bilo x − 9 ili 5/(x − 5) — bude veći od nule. Razmotrite prvi argument:
x − 9 > 0
x > 9
Očigledno, samo x = 10 zadovoljava ovaj zahtjev. Cijeli problem je riješen.
Još jednom, ključne misli današnje lekcije:
- Čim se varijabla x pojavi u nekoliko logaritama, jednačina prestaje biti elementarna i za nju će se morati izračunati domen definicije. Inače, lako možete napisati dodatne korijene u odgovoru.
- Rad sa samom domenom može se značajno pojednostaviti ako nejednakost ispišemo ne odmah, već tačno u trenutku kada se riješimo log znakova. Na kraju krajeva, kada su argumenti međusobno izjednačeni, dovoljno je zahtijevati da samo jedan od njih bude veći od nule.
Naravno, mi sami biramo koji ćemo argument koristiti za formiranje nejednakosti, pa je logično odabrati najjednostavniji. Na primjer, u drugoj jednačini odabrali smo argument (x − 9) - linearna funkcija, za razliku od razlomka racionalnog drugog argumenta. Slažem se, rješavanje nejednakosti x − 9 > 0 je mnogo lakše od 5/(x − 5) > 0. Iako je rezultat isti.
Ova napomena uvelike pojednostavljuje pretragu za ODZ, ali budite oprezni: možete koristiti jednu nejednakost umjesto dvije samo ako su argumenti tačni su jednake jedna drugoj!
Naravno, neko će se sada zapitati: šta se dešava drugačije? Da, dešava se. Na primjer, u samom koraku, kada pomnožimo dva argumenta koji sadrže varijablu, postoji opasnost od pojave nepotrebnih korijena.
Procijenite sami: prvo je potrebno da svaki od argumenata bude veći od nule, ali nakon množenja dovoljno je da njihov proizvod bude veći od nule. Kao rezultat, slučaj u kojem je svaki od ovih razlomaka negativan je propušten.
Stoga, ako tek počinjete da razumijevate složene logaritamske jednadžbe, ni u kojem slučaju nemojte množiti logaritme koji sadrže varijablu x - to će prečesto dovesti do pojave dodatnih korijena. Bolje je napraviti još jedan korak, pomaknuti jedan pojam na drugu stranu i stvoriti kanonski oblik.
Pa, šta učiniti ako ne možete bez množenja takvih logaritama, raspravljat ćemo u sljedećoj video lekciji.
Još jednom o snagama u jednadžbi
Danas ćemo ispitati prilično klizavu temu koja se tiče logaritamskih jednačina, tačnije, uklanjanja potencija iz argumenata i baza logaritama.
Čak bih rekao da ćemo govoriti o uklanjanju parnih potencija, jer se kod rješavanja realnih logaritamskih jednačina javlja većina poteškoća.
Počnimo sa kanonski oblik. Recimo da imamo jednačinu oblika log a f (x) = b. U ovom slučaju prepisujemo broj b koristeći formulu b = log a a b . Ispada sledeće:
log a f (x) = log a a b
Zatim izjednačavamo argumente:
f (x) = a b
Pretposljednja formula se zove kanonski oblik. Na to pokušavaju svesti svaku logaritamsku jednadžbu, ma koliko ona na prvi pogled izgledala složena i zastrašujuća.
Pa hajde da probamo. Počnimo s prvim zadatkom:
Preliminarna napomena: kao što sam rekao, sve decimale u logaritamskoj jednadžbi bolje je pretvoriti u obične:
0,5 = 5/10 = 1/2
Prepišimo našu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu. Imajte na umu da su i 1/1000 i 100 potencije desetice, a onda hajde da izvadimo potencije gdje god da su: iz argumenata, pa čak i iz baze logaritama:
I ovdje mnogi studenti imaju pitanje: "Odakle je došao modul sa desne strane?" Zaista, zašto jednostavno ne napisati (x − 1)? Naravno, sada ćemo pisati (x − 1), ali uzimanje u obzir domena definicije daje nam pravo na takvu notaciju. Uostalom, drugi logaritam već sadrži (x − 1), a ovaj izraz mora biti veći od nule.
Ali kada uklonimo kvadrat iz baze logaritma, moramo ostaviti tačno modul u bazi. Dozvolite mi da objasnim zašto.
Činjenica je da je, sa matematičke tačke gledišta, sticanje diplome jednako uzimanju korijena. Konkretno, kada kvadriramo izraz (x − 1) 2, u suštini uzimamo drugi korijen. Ali kvadratni korijen nije ništa više od modula. Tačno modul, jer čak i ako je izraz x − 1 negativan, kada je na kvadrat, “minus” će i dalje izgorjeti. Daljnje vađenje korijena će nam dati pozitivan broj - bez ikakvih minusa.
Općenito, da biste izbjegli uvredljive greške, zapamtite jednom za svagda:
Korijen parnog stepena bilo koje funkcije koja je podignuta na isti stepen jednak je ne samoj funkciji, već njenom modulu:
Vratimo se našoj logaritamskoj jednadžbi. Govoreći o modulu, tvrdio sam da ga možemo ukloniti bezbolno. Ovo je istina. Sada ću objasniti zašto. Strogo govoreći, morali smo razmotriti dvije opcije:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Svaka od ovih opcija bi morala biti riješena. Ali postoji jedna kvaka: originalna formula već sadrži funkciju (x − 1) bez ikakvog modula. I prateći domenu definicije logaritama, imamo pravo da odmah zapišemo da je x − 1 > 0.
Ovaj zahtjev mora biti zadovoljen bez obzira na sve module i druge transformacije koje izvodimo u procesu rješenja. Stoga, nema smisla razmatrati drugu opciju - ona se nikada neće pojaviti. Čak i ako dobijemo neke brojeve prilikom rješavanja ove grane nejednakosti, oni ipak neće biti uključeni u konačni odgovor.
Sada smo doslovno na korak od kanonskog oblika logaritamske jednadžbe. Predstavimo jedinicu na sljedeći način:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Osim toga, u argument uvodimo faktor −4, koji je desno:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe. Riješimo se znaka logaritma:
10 −4 = x − 1
Ali pošto je baza bila funkcija (a ne prost broj), dodatno zahtijevamo da ova funkcija bude veća od nule, a ne jednaka jedinici. Rezultirajući sistem će biti:
Pošto je uslov x − 1 > 0 zadovoljen automatski (na kraju krajeva, x − 1 = 10 −4), jedna od nejednakosti se može izbrisati iz našeg sistema. Drugi uslov se takođe može precrtati, jer je x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Ovo je jedini korijen koji automatski zadovoljava sve zahtjeve domena definicije logaritma (međutim, svi zahtjevi su eliminisani kao očigledno ispunjeni u uslovima našeg problema).
Dakle, druga jednačina:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Po čemu se ova jednačina suštinski razlikuje od prethodne? Ako samo zato što baze logaritama - 3x i 9x - nisu prirodne snage jedna drugoj. Stoga prijelaz koji smo koristili u prethodnom rješenju nije moguć.
Oslobodimo se bar diploma. U našem slučaju, jedini stepen je u drugom argumentu:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Međutim, predznak modula se može ukloniti, jer je i varijabla x u osnovi, tj. x > 0 ⇒ |x| = x. Prepišimo našu logaritamsku jednačinu:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Dobili smo logaritme u kojima su argumenti isti, ali različitih razloga. Šta dalje? Ovdje postoji mnogo opcija, ali ćemo razmotriti samo dvije od njih, koje su najlogičnije, i što je najvažnije, to su brze i razumljive tehnike za većinu učenika.
Već smo razmotrili prvu opciju: u bilo kojoj nejasnoj situaciji, pretvoriti logaritme s promjenjivom bazom u neku konstantnu bazu. Na primjer, na dvojku. Formula tranzicije je jednostavna:
Naravno, uloga varijable c treba da bude normalan broj: 1 ≠ c > 0. Neka je u našem slučaju c = 2. Sada imamo pred sobom običnu frakcionu racionalnu jednačinu. Sakupljamo sve elemente na lijevoj strani:
Očigledno, bolje je ukloniti log 2 x faktor, jer je prisutan i u prvoj i u drugoj frakciji.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Svaki dnevnik razbijamo u dva pojma:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Prepišimo obje strane jednakosti uzimajući u obzir ove činjenice:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Sada ostaje samo da unesete dvojku pod znakom logaritma (pretvoriće se u stepen: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Pred nama je klasični kanonski oblik, riješimo se znaka logaritma i dobijemo:
Kao što se i očekivalo, pokazalo se da je ovaj korijen veći od nule. Ostaje provjeriti domen definicije. Pogledajmo razloge:
Ali korijen x = 9 zadovoljava ove zahtjeve. Dakle, to je konačna odluka.
Zaključak iz ovu odluku jednostavno: nemojte se plašiti dugih rasporeda! Samo što smo na samom početku nasumično odabrali novu bazu - i to je značajno zakomplikovalo proces.
Ali onda se postavlja pitanje: šta je osnova optimalno? O tome ću govoriti u drugoj metodi.
Vratimo se našoj prvobitnoj jednadžbi:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Sada razmislimo malo: koji bi broj ili funkcija bila optimalna osnova? Očigledno je da najbolja opcija postojaće c = x - ono što je već u argumentima. U ovom slučaju, formula log a b = log c b /log c a će poprimiti oblik:
Drugim riječima, izraz je jednostavno obrnut. U ovom slučaju, argument i osnova mijenjaju mjesta.
Ova formula je vrlo korisna i vrlo se često koristi u rješavanju složenih logaritamskih jednadžbi. Međutim, postoji jedna vrlo ozbiljna zamka kada koristite ovu formulu. Ako zamijenimo varijablu x umjesto baze, tada se na nju nameću ograničenja koja prethodno nisu poštovana:
U originalnoj jednačini nije bilo takvog ograničenja. Stoga bismo trebali posebno provjeriti slučaj kada je x = 1. Zamijenite ovu vrijednost u našu jednačinu:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Dobijamo tačnu brojčanu jednakost. Stoga je x = 1 korijen. Pronašli smo potpuno isti korijen u prethodnoj metodi na samom početku rješenja.
Ali sada kada smo ovo posmatrali odvojeno poseban slučaj, sigurno pretpostavljamo da je x ≠ 1. Tada će naša logaritamska jednadžba biti prepisana u sljedećem obliku:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Proširujemo oba logaritma koristeći istu formulu kao i prije. Imajte na umu da je log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x)
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 log x 3 = 1
Tako smo došli do kanonskog oblika:
log x 9 = log x x 1
x=9
Dobili smo drugi korijen. Zadovoljava zahtjev x ≠ 1. Dakle, x = 9 zajedno sa x = 1 je konačni odgovor.
Kao što vidite, obim proračuna se neznatno smanjio. Ali kada se rješava realna logaritamska jednadžba, broj koraka će biti mnogo manji i zato što ne morate svaki korak opisati tako detaljno.
Ključno pravilo današnje lekcije je sljedeće: ako problem sadrži paran stepen, iz kojeg se izdvaja korijen istog stepena, onda će izlaz biti modul. Međutim, ovaj modul se može ukloniti ako obratite pažnju na domenu definicije logaritama.
Ali budite oprezni: nakon ove lekcije većina učenika misli da sve razumije. Ali kada se rješavaju stvarni problemi, oni ne mogu sve reproducirati logički lanac. Kao rezultat toga, jednadžba dobiva nepotrebne korijene, a odgovor se ispostavlja netačnim.
Ovim videom započinjem dugu seriju lekcija o logaritamskim jednadžbama. Sada su pred vama tri primjera na osnovu kojih ćemo naučiti rješavati najviše jednostavni zadaci, koji se zovu tako - protozoa.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Da vas podsjetim da je najjednostavnija logaritamska jednadžba sljedeća:
log a f (x) = b
U ovom slučaju važno je da je varijabla x prisutna samo unutar argumenta, odnosno samo u funkciji f (x). A brojevi a i b su samo brojevi i ni u kom slučaju nisu funkcije koje sadrže varijablu x.
Osnovne metode rješenja
Postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Na primjer, većina nastavnika u školi nudi ovu metodu: Odmah izrazite funkciju f (x) koristeći formulu f ( x) = a b . Odnosno, kada naiđete na najjednostavniju konstrukciju, možete odmah prijeći na rješenje bez dodatnih radnji i konstrukcija.
Da, naravno, odluka će biti ispravna. Međutim, problem sa ovom formulom je što većina studenata ne razumem, odakle dolazi i zašto slovo a dižemo na slovo b.
Kao rezultat toga, često vidim vrlo neugodne greške kada se, na primjer, ova slova zamjene. Ova formula morate ili razumjeti ili nagurati, a druga metoda dovodi do grešaka u najnepovoljnijim i najpresudnijim trenucima: na ispitima, testovima itd.
Zato svim svojim učenicima predlažem da napuste standardnu školsku formulu i koriste drugi pristup za rješavanje logaritamskih jednadžbi, koji se, kao što ste vjerovatno iz naziva pogodili, zove kanonski oblik.
Ideja o kanonskom obliku je jednostavna. Pogledajmo ponovo naš problem: na lijevoj strani imamo log a, a pod slovom a podrazumijevamo broj, a ni u kom slučaju funkciju koja sadrži varijablu x. Shodno tome, ovo slovo podliježe svim ograničenjima koja su nametnuta na osnovu logaritma. naime:
1 ≠ a > 0
S druge strane, iz iste jednačine vidimo da logaritam mora biti jednak broju b, a ovom slovu nisu nametnuta nikakva ograničenja, jer može imati bilo koju vrijednost - i pozitivnu i negativnu. Sve ovisi o tome koje vrijednosti zauzima funkcija f(x).
I ovdje se prisjećamo našeg divnog pravila da se bilo koji broj b može predstaviti kao logaritam na osnovu a od a na stepen b:
b = log a a b
Kako zapamtiti ovu formulu? Da, vrlo jednostavno. Napišimo sljedeću konstrukciju:
b = b 1 = b log a a
Naravno, u ovom slučaju nastaju sva ograničenja koja smo zapisali na početku. Sada upotrijebimo osnovno svojstvo logaritma i uvedemo množitelj b kao stepen a. dobijamo:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Kao rezultat toga, originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
To je sve. Nova funkcija više ne sadrži logaritam i može se riješiti standardnim algebarskim tehnikama.
Naravno, neko će sada prigovoriti: zašto je uopće bilo potrebno smisliti nekakvu kanonsku formulu, zašto izvoditi dva dodatna nepotrebna koraka ako je bilo moguće odmah prijeći s originalnog dizajna na konačnu formulu? Da, makar samo zato što većina učenika ne razumije odakle dolazi ova formula i kao rezultat toga redovno griješe prilikom primjene.
Ali ovaj slijed radnji, koji se sastoji od tri koraka, omogućava vam da riješite originalnu logaritamsku jednadžbu, čak i ako ne razumijete odakle dolazi konačna formula. Usput, ovaj unos se zove kanonska formula:
log a f (x) = log a a b
Pogodnost kanonskog oblika je i u činjenici da se može koristiti za rješavanje vrlo široke klase logaritamskih jednadžbi, a ne samo onih najjednostavnijih koje danas razmatramo.
Primjeri rješenja
Hajde sada da pogledamo stvarni primjeri. Dakle, odlučimo:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Hajde da to prepišemo ovako:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mnogi učenici žure i pokušavaju odmah podići broj 0,5 na stepen koji nam je došao iz prvobitnog problema. Zaista, kada ste već dobro obučeni za rješavanje takvih problema, možete odmah izvršiti ovaj korak.
Međutim, ako sada tek počinjete proučavati ovu temu, bolje je ne žuriti nigdje kako biste izbjegli uvredljive greške. Dakle, imamo kanonski oblik. imamo:
3x − 1 = 0,5 −3
Ovo više nije logaritamska jednadžba, već linearna u odnosu na varijablu x. Da bismo ga riješili, pogledajmo prvo broj 0,5 na stepen −3. Imajte na umu da je 0,5 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Pretvorite sve decimalne razlomke u obične razlomke prilikom rješavanja logaritamske jednadžbe.
Prepisujemo i dobijamo:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
To je to, dobili smo odgovor. Prvi problem je riješen.
Drugi zadatak
Pređimo na drugi zadatak:
Kao što vidimo, ova jednačina više nije najjednostavnija. Ako samo zato što postoji razlika na lijevoj strani, a ni jedan logaritam prema jednoj bazi.
Stoga se moramo nekako riješiti ove razlike. IN u ovom slučaju sve je vrlo jednostavno. Pogledajmo pobliže osnove: na lijevoj strani je broj ispod korijena:
Opća preporuka: u svim logaritamskim jednačinama pokušajte se riješiti radikala, tj. unosa s korijenima i prijeđite na funkcije snage, jednostavno zato što se eksponenti ovih potencija lako izvlače iz predznaka logaritma i, u konačnici, takav zapis značajno pojednostavljuje i ubrzava proračune. Hajde da to zapišemo ovako:
Sada se prisjetimo izvanredne osobine logaritma: stupnjevi se mogu izvesti iz argumenta, kao i iz baze. U slučaju osnova dešava se sljedeće:
log a k b = 1/k loga b
Drugim rečima, broj koji je bio u baznom stepenu se pomera unapred i istovremeno invertuje, odnosno postaje recipročan broj. U našem slučaju, osnovni stepen je bio 1/2. Stoga ga možemo uzeti kao 2/1. dobijamo:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Imajte na umu: ni pod kojim okolnostima se ne smijete riješiti logaritama u ovom koraku. Zapamtite matematiku od 4. do 5. razreda i redosled operacija: prvo se vrši množenje, pa tek onda sabiranje i oduzimanje. U ovom slučaju oduzimamo jedan od istih elemenata od 10 elemenata:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Sada naša jednačina izgleda kako treba. Ovo najjednostavniji dizajn, a mi to rješavamo koristeći kanonski oblik:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
To je sve. Drugi problem je riješen.
Treći primjer
Pređimo na treći zadatak:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Dozvolite mi da vas podsjetim na sljedeću formulu:
log b = log 10 b
Ako ste iz nekog razloga zbunjeni notacijom log b , tada prilikom izvođenja svih proračuna možete jednostavno napisati log 10 b . Sa decimalnim logaritmima možete raditi na isti način kao i sa ostalima: uzmite potencije, saberite i predstavite bilo koje brojeve u obliku lg 10.
Upravo ta svojstva ćemo sada koristiti za rješavanje problema, jer nije ono najjednostavnije koje smo zapisali na samom početku naše lekcije.
Prvo, imajte na umu da faktor 2 ispred lg 5 može biti uveden i postaje stepen baze 5. Osim toga, slobodni član 3 je također predstavljen kao logaritam - to je vrlo lako uočiti iz naše notacije.
Procijenite sami: bilo koji broj se može predstaviti kao dnevnik na osnovu 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Prepišimo originalni problem uzimajući u obzir dobijene promjene:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000
Pred nama je opet kanonski oblik, a dobili smo ga bez prolaska kroz fazu transformacije, tj. najjednostavnija logaritamska jednadžba se nigdje nije pojavila.
Upravo o tome sam govorio na samom početku lekcije. Kanonski oblik vam omogućava da riješite širu klasu problema od standardne školske formule koju daje većina školskih nastavnika.
Pa, to je to, riješili smo se predznaka decimalnog logaritma i dobili smo jednostavnu linearnu konstrukciju:
x + 3 = 25.000
x = 24,997
Sve! Problem je riješen.
Napomena o obimu
Ovdje bih želio dati važnu napomenu u vezi s opsegom definicije. Sigurno će sada biti učenika i nastavnika koji će reći: "Kada rješavamo izraze logaritmima, moramo zapamtiti da argument f (x) mora biti veći od nule!" S tim u vezi postavlja se logično pitanje: zašto nismo zahtijevali da ova nejednakost bude zadovoljena ni u jednom od razmatranih problema?
Ne brini. U tim slučajevima neće se pojaviti dodatni korijeni. A ovo je još jedan sjajan trik koji vam omogućava da ubrzate rješenje. Samo znajte da ako se u problemu varijabla x pojavljuje samo na jednom mjestu (ili bolje rečeno, u jednom jedinom argumentu jednog logaritma), a nigdje drugdje u našem slučaju se varijabla x ne pojavljuje, onda zapišite domenu definicije nema potrebe, jer će se izvršiti automatski.
Procijenite sami: u prvoj jednačini dobili smo da je 3x − 1, tj. argument bi trebao biti jednak 8. To automatski znači da će 3x − 1 biti veće od nule.
Sa istim uspjehom možemo zapisati da u drugom slučaju x treba biti jednako 5 2, tj. sigurno je veće od nule. I u trećem slučaju, gdje je x + 3 = 25.000, tj., opet, očigledno veće od nule. Drugim riječima, opseg je zadovoljen automatski, ali samo ako se x pojavljuje samo u argumentu samo jednog logaritma.
To je sve što trebate znati za rješavanje najjednostavnijih problema. Samo ovo pravilo, zajedno sa pravilima transformacije, omogućiće vam da rešite veoma široku klasu problema.
Ali budimo iskreni: da biste konačno razumjeli ovu tehniku, da biste naučili kako primijeniti kanonski oblik logaritamske jednadžbe, nije dovoljno samo pogledati jednu video lekciju. Dakle, odmah preuzmite opcije za nezavisna odluka, koji su priloženi uz ovu video lekciju i započinju rješavanje barem jednog od ova dva samostalna rada.
Trebat će vam bukvalno nekoliko minuta. Ali učinak takvog treninga bit će mnogo veći nego da jednostavno pogledate ovu video lekciju.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da razumijete logaritamske jednačine. Koristite kanonski oblik, pojednostavite izraze koristeći pravila za rad s logaritmima - i nećete se bojati nikakvih problema. To je sve što imam za danas.
Uzimajući u obzir domen definicije
Hajde sada da razgovaramo o domenu definicije logaritamske funkcije i kako to utiče na rešenje logaritamskih jednačina. Razmotrite konstrukciju forme
log a f (x) = b
Takav izraz se naziva najjednostavnijim - sadrži samo jednu funkciju, a brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kojem slučaju funkcija koja ovisi o varijabli x. Može se vrlo jednostavno riješiti. Samo trebate koristiti formulu:
b = log a a b
Ova formula je jedno od ključnih svojstava logaritma, a prilikom zamjene u naš originalni izraz dobijamo sljedeće:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Ovo je poznata formula iz školskih udžbenika. Mnogi studenti će vjerovatno imati pitanje: budući da je u originalnom izrazu funkcija f (x) ispod log znaka, na nju su nametnuta sljedeća ograničenja:
f(x) > 0
Ovo ograničenje se primjenjuje jer je logaritam od negativni brojevi ne postoji. Dakle, možda bi kao rezultat ovog ograničenja trebalo uvesti provjeru odgovora? Možda ih treba ubaciti u izvor?
Ne, u najjednostavnijim logaritamskim jednačinama dodatna provjera je nepotrebna. A evo i zašto. Pogledajte našu konačnu formulu:
f (x) = a b
Činjenica je da je broj a u svakom slučaju veći od 0 - ovaj zahtjev također nameće logaritam. Broj a je baza. U ovom slučaju, nema ograničenja za broj b. Ali to nije važno, jer bez obzira na to na koju snagu podignemo pozitivan broj, na izlazu ćemo ipak dobiti pozitivan broj. Dakle, zahtjev f (x) > 0 je zadovoljen automatski.
Ono što zaista vrijedi provjeriti je domen funkcije ispod znaka dnevnika. Mogu postojati prilično složene strukture i svakako ih morate paziti tokom procesa rješavanja. da vidimo.
Prvi zadatak:
Prvi korak: pretvoriti razlomak na desnoj strani. dobijamo:
Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo uobičajenu iracionalnu jednačinu:
Od dobijenih korijena odgovara nam samo prvi, jer je drugi korijen manji od nule. Jedini odgovor će biti broj 9. To je to, problem je riješen. Nisu potrebne dodatne provjere da bi se osiguralo da je izraz pod predznakom logaritma veći od 0, jer nije samo veći od 0, već je prema uvjetu jednačine jednak 2. Stoga je zahtjev „veći od nule ” se automatski zadovoljava.
Pređimo na drugi zadatak:
Ovdje je sve isto. Prepisujemo konstrukciju, zamjenjujući trojku:
Riješimo se predznaka logaritma i dobijamo iracionalnu jednačinu:
Kvadratiziramo obje strane uzimajući u obzir ograničenja i dobijemo:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Rezultujuću jednačinu rešavamo preko diskriminanta:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Ali x = −6 nam ne odgovara, jer ako ovaj broj zamenimo u našu nejednakost, dobićemo:
−6 + 4 = −2 < 0
U našem slučaju potrebno je da bude veći od 0 ili, u ekstremnim slučajevima, jednak. Ali nam odgovara x = −1:
−1 + 4 = 3 > 0
Jedini odgovor u našem slučaju će biti x = −1. To je rešenje. Vratimo se na sam početak naših proračuna.
Glavni zaključak iz ove lekcije je da ne morate provjeravati ograničenja funkcije u jednostavnim logaritamskim jednačinama. Zato što su tokom procesa rješavanja sva ograničenja automatski zadovoljena.
Međutim, to ni na koji način ne znači da možete potpuno zaboraviti na provjeru. U procesu rada na logaritamskoj jednadžbi ona se može pretvoriti u iracionalnu, koja će imati svoja ograničenja i zahtjeve za desnu stranu, što smo danas vidjeli na dva različita primjera.
Slobodno rješavajte takve probleme i budite posebno oprezni ako postoji korijen u svađi.
Logaritamske jednadžbe s različitim bazama
Nastavljamo proučavati logaritamske jednadžbe i gledamo još dvije prilično zanimljive tehnike s kojima je moderno rješavati više složenih dizajna. Ali prvo, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi:
log a f (x) = b
U ovoj notaciji, a i b su brojevi, a u funkciji f (x) varijabla x mora biti prisutna i samo tamo, to jest, x mora biti samo u argumentu. Takve logaritamske jednadžbe ćemo transformirati koristeći kanonski oblik. Da biste to učinili, zabilježite to
b = log a a b
Štaviše, a b je upravo argument. Prepišimo ovaj izraz na sljedeći način:
log a f (x) = log a a b
To je upravo ono što pokušavamo postići, tako da postoji logaritam za bazu a i na lijevoj i na desnoj strani. U ovom slučaju možemo, figurativno rečeno, precrtati znakove dnevnika, a sa matematičke tačke gledišta možemo reći da jednostavno izjednačavamo argumente:
f (x) = a b
Kao rezultat, dobićemo novi izraz koji će biti mnogo lakši za rešavanje. Primijenimo ovo pravilo na naše današnje probleme.
Dakle, prvi dizajn:
Prije svega, napominjem da je na desnoj strani razlomak čiji je imenilac log. Kada vidite ovakav izraz, dobra je ideja da zapamtite divno svojstvo logaritama:
Prevedeno na ruski, to znači da se bilo koji logaritam može predstaviti kao količnik dva logaritma sa bilo kojom osnovom c. Naravno 0< с ≠ 1.
Dakle: ova formula ima jedan divan poseban slučaj, kada je varijabla c jednaka varijabli b. U ovom slučaju dobijamo konstrukciju kao što je:
Upravo to je konstrukcija koju vidimo iz znaka desno u našoj jednadžbi. Zamenimo ovu konstrukciju sa log a b, dobićemo:
Drugim riječima, u poređenju sa originalnim zadatkom, zamijenili smo argument i bazu logaritma. Umjesto toga, morali smo obrnuti razlomak.
Podsjetimo da se bilo koji stepen može izvesti iz baze prema sljedećem pravilu:
Drugim riječima, koeficijent k, koji je snaga baze, izražava se kao obrnuti razlomak. Hajde da to prikažemo kao obrnuti razlomak:
Faktor razlomaka se ne može ostaviti ispred, jer u ovom slučaju nećemo moći da predstavimo ovu notaciju kao kanonski oblik (na kraju krajeva, u kanonskom obliku nema dodatnog faktora prije drugog logaritma). Stoga, dodajmo razlomak 1/4 argumentu kao stepen:
Sada izjednačavamo argumente čije su baze iste (a naše su baze zaista iste) i pišemo:
x + 5 = 1
x = −4
To je sve. Dobili smo odgovor na prvu logaritamsku jednačinu. Imajte na umu: u originalnom problemu, varijabla x se pojavljuje u samo jednom dnevniku, a pojavljuje se u njegovom argumentu. Dakle, nema potrebe provjeravati domen, a naš broj x = −4 je zaista odgovor.
Sada pređimo na drugi izraz:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Ovdje ćemo, pored uobičajenih logaritama, morati raditi i sa log f (x). Kako riješiti takvu jednačinu? Nespremnom učeniku može izgledati da je ovo neka vrsta teškog zadatka, ali u stvari sve se može riješiti na elementaran način.
Pogledajte izbliza pojam lg 2 log 2 7. Šta možemo reći o tome? Osnove i argumenti log i lg su isti, i to bi trebalo dati neke ideje. Prisjetimo se još jednom kako se potenci izvlače ispod znaka logaritma:
log a b n = nlog a b
Drugim riječima, ono što je u argumentu bilo potencija b postaje faktor ispred samog log. Primijenimo ovu formulu na izraz lg 2 log 2 7. Nemojte se plašiti lg 2 - ovo je najčešći izraz. Možete ga prepisati na sljedeći način:
Za njega vrijede sva pravila koja vrijede za bilo koji drugi logaritam. Konkretno, faktor ispred se može dodati stepenu argumenta. Hajde da to zapišemo:
Vrlo često učenici ovu radnju ne vide direktno, jer nije dobro ući u jedan dnevnik pod znakom drugog. U stvari, u ovome nema ništa kriminalno. Štaviše, dobijamo formulu koju je lako izračunati ako se sjetite važnog pravila:
Ova formula se može posmatrati i kao definicija i kao jedno od njenih svojstava. U svakom slučaju, ako pretvarate logaritamsku jednačinu, trebali biste znati ovu formulu na isti način na koji znate log reprezentaciju bilo kojeg broja.
Vratimo se našem zadatku. Prepisujemo ga uzimajući u obzir činjenicu da će prvi član desno od znaka jednakosti biti jednostavno jednak lg 7. Imamo:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Pomjerimo LG 7 ulijevo, dobićemo:
lg 56 − log 7 = −3lg (x + 4)
Oduzimamo izraze s lijeve strane jer imaju istu osnovu:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Sada pogledajmo pobliže jednačinu koju smo dobili. To je praktično kanonski oblik, ali na desnoj strani je faktor −3. Dodajmo to pravom lg argumentu:
log 8 = log (x + 4) −3
Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, pa precrtavamo lg predznake i izjednačavamo argumente:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
To je to! Rešili smo drugu logaritamsku jednačinu. U ovom slučaju nisu potrebne dodatne provjere, jer je u originalnom problemu x bio prisutan samo u jednom argumentu.
Ponovo ću navesti ključne tačke ovu lekciju.
Glavna formula koja se uči u svim lekcijama na ovoj stranici posvećene rješavanju logaritamskih jednačina je kanonski oblik. I neka vas ne plaši činjenica da vas većina školskih udžbenika uči da drugačije rješavate takve probleme. Ovaj alat radi vrlo efikasno i omogućava vam da riješite mnogo širu klasu problema od onih najjednostavnijih koje smo proučavali na samom početku naše lekcije.
Osim toga, za rješavanje logaritamskih jednadžbi bit će korisno poznavati osnovna svojstva. naime:
- Formula za prelazak na jednu bazu i poseban slučaj kada obrnemo log (ovo nam je bilo vrlo korisno u prvom problemu);
- Formula za sabiranje i oduzimanje potencija od znaka logaritma. Ovdje se mnogi studenti zaglave i ne vide da stepen koji se izvadi i uvodi može sam sadržavati log f (x). Nema ništa loše u tome. Možemo uvesti jedan log prema predznaku drugog i istovremeno značajno pojednostaviti rješenje problema, što vidimo u drugom slučaju.
U zaključku, želim da dodam da nije potrebno provjeravati domen definicije u svakom od ovih slučajeva, jer je svuda varijabla x prisutna samo u jednom znaku log, a istovremeno je i u svom argumentu. Kao posljedica toga, svi zahtjevi opsega su ispunjeni automatski.
Problemi sa varijabilnom bazom
Danas ćemo se osvrnuti na logaritamske jednadžbe, koje se mnogim učenicima čine nestandardnim, ako ne i potpuno nerješivim. Radi se o o izrazima zasnovanim ne na brojevima, već na varijablama, pa čak i funkcijama. Takve konstrukcije ćemo rješavati koristeći naše standardni prijem, naime kroz kanonski oblik.
Za početak, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi na osnovu redovni brojevi. Dakle, najjednostavnija konstrukcija se zove
log a f (x) = b
Za rješavanje takvih problema možemo koristiti sljedeću formulu:
b = log a a b
Prepisujemo naš originalni izraz i dobijamo:
log a f (x) = log a a b
Zatim izjednačavamo argumente, tj. pišemo:
f (x) = a b
Tako se oslobađamo znaka dnevnika i rješavamo uobičajeni problem. U ovom slučaju, korijeni dobiveni iz rješenja bit će korijeni originalne logaritamske jednadžbe. Osim toga, zapis kada su i lijeva i desna strana u istom logaritmu sa istom bazom naziva se kanonski oblik. Na takav rekord ćemo pokušati svesti današnje dizajne. Pa, idemo.
Prvi zadatak:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Zamijenite 1 sa log x − 2 (x − 2) 1 . Stepen koji opažamo u argumentu je zapravo broj b koji je stajao desno od znaka jednakosti. Dakle, hajde da prepišemo naš izraz. dobijamo:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
šta vidimo? Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, tako da možemo sigurno izjednačiti argumente. dobijamo:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Ali rješenje se tu ne završava, jer zadata jednačina nije ekvivalentno originalnom. Na kraju krajeva, rezultirajuća konstrukcija se sastoji od funkcija koje su definirane na cijeloj brojevnoj pravoj, a naši originalni logaritmi nisu definirani svugdje i ne uvijek.
Stoga moramo posebno zapisati domen definicije. Nemojmo se cijepati i prvo napiši sve zahtjeve:
Prvo, argument svakog od logaritama mora biti veći od 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Drugo, baza ne samo da mora biti veća od 0, već i različita od 1:
x − 2 ≠ 1
Kao rezultat, dobijamo sistem:
Ali nemojte biti uznemireni: prilikom obrade logaritamskih jednačina, takav sistem se može značajno pojednostaviti.
Procijenite sami: s jedne strane, od nas se traži da kvadratna funkcija bude veća od nule, a s druge strane, ova kvadratna funkcija je izjednačena sa određenim linearnim izrazom, za koji se također traži da bude veća od nule.
U ovom slučaju, ako tražimo da je x − 2 > 0, onda će zahtjev 2x 2 − 13x + 18 > 0 biti automatski zadovoljen. Stoga možemo sigurno precrtati nejednakost koja sadrži kvadratnu funkciju. Tako će se broj izraza sadržanih u našem sistemu smanjiti na tri.
Naravno, mogli bismo isto tako precrtati linearne nejednakosti, odnosno precrtati x − 2 > 0 i zahtijevati da je 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ali morate se složiti da je rješavanje najjednostavnije linearne nejednakosti mnogo brže i lakše od kvadratne, čak i ako je rezultat rješavanja cijele ovim sistemom ćemo dobiti iste korijene.
Općenito, pokušajte optimizirati proračune kad god je to moguće. A u slučaju logaritamskih jednačina precrtajte najteže nejednačine.
Prepišimo naš sistem:
Evo sistema od tri izraza, od kojih smo dva, zapravo, već imali posla. Zapišimo kvadratnu jednačinu odvojeno i riješimo je:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Pred nama kvadratni trinom i stoga možemo koristiti Vietine formule. dobijamo:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Sada se vraćamo na naš sistem i nalazimo da nam x = 2 ne odgovara, jer se od nas traži da x bude striktno veći od 2.
Ali x = 5 nam savršeno odgovara: broj 5 je veći od 2, a istovremeno 5 nije jednako 3. Stoga će jedino rješenje za ovaj sistem biti x = 5.
To je to, problem je riješen, uključujući i ODZ. Pređimo na drugu jednačinu. Još zanimljivih i informativnih proračuna očekuju nas ovdje:
Prvi korak: kao i prošli put, cijelu ovu stvar dovodimo u kanonski oblik. Da bismo to učinili, možemo napisati broj 9 na sljedeći način:
Korijenska baza se može ostaviti netaknuta, ali je bolje transformirati argument. Prijeđimo s korijena na stepen s racionalnim eksponentom. Hajde da zapišemo:
Dozvolite mi da ne prepisujem cijelu našu veliku logaritamsku jednačinu, već samo odmah izjednačim argumente:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Pred nama je novosvedeni kvadratni trinom, upotrijebimo Vietine formule i zapišemo:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Dakle, dobili smo korijene, ali nam niko nije garantirao da će odgovarati originalnoj logaritamskoj jednadžbi. Na kraju krajeva, znakovi dnevnika nameću dodatna ograničenja (ovdje smo trebali zapisati sistem, ali zbog glomazne prirode cijele strukture, odlučio sam da izračunam domen definicije zasebno).
Prije svega, zapamtite da argumenti moraju biti veći od 0, naime:
Ovo su zahtjevi koje nameće obim definicije.
Odmah primijetimo da, pošto prva dva izraza sistema izjednačavamo jedan s drugim, možemo precrtati bilo koji od njih. Precrtajmo prvu jer izgleda opasnije od druge.
Osim toga, imajte na umu da će rješenje druge i treće nejednakosti biti isti skupovi (kocka nekog broja je veća od nule, ako je sam ovaj broj veći od nule; slično, s korijenom trećeg stepena - ove nejednačine su potpuno analogne, pa ih možemo precrtati).
Ali s trećom nejednakošću to neće funkcionirati. Riješimo se radikalnog znaka na lijevoj strani podizanjem oba dijela na kocku. dobijamo:
Tako da dobijamo sljedeće zahtjeve:
− 2 ≠ x > −3
Koji od naših korijena: x 1 = −3 ili x 2 = −1 ispunjava ove zahtjeve? Očigledno, samo x = −1, jer x = −3 ne zadovoljava prvu nejednakost (pošto je naša nejednakost stroga). Dakle, vraćajući se na naš problem, dobijamo jedan korijen: x = −1. To je to, problem rešen.
Još jednom, ključne tačke ovog zadatka:
- Slobodno primijenite i riješite logaritamske jednadžbe koristeći kanonski oblik. Učenici koji pišu na ovaj način, umjesto da pređu direktno s originalnog problema na konstrukciju kao što je log a f (x) = b, dozvoljavaju mnogo manje grešaka nego oni koji nekud žure, preskačući međukorake proračuna;
- Čim se promenljiva baza pojavi u logaritmu, problem prestaje biti najjednostavniji. Stoga je pri rješavanju potrebno voditi računa o domenu definicije: argumenti moraju biti veći od nule, a baze ne samo da moraju biti veće od 0, već ne smiju biti jednake 1.
Konačni zahtjevi se mogu primijeniti na konačne odgovore na različite načine. Na primjer, možete riješiti cijeli sistem koji sadrži sve zahtjeve za domenu definicije. S druge strane, možete prvo riješiti sam problem, a zatim zapamtiti domen definicije, odvojeno ga razraditi u obliku sistema i primijeniti na rezultirajuće korijene.
Koju ćete metodu odabrati prilikom rješavanja određene logaritamske jednadžbe, ovisi o vama. U svakom slučaju, odgovor će biti isti.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete zahtjev na web stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lične podatke omogućava nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, V suđenje, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.