Prvi nivo

Geometrijska progresija. Sveobuhvatan vodič s primjerima (2019.)

Redoslijed brojeva

Dakle, hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi, i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Redoslijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu ne postoje tri sekundna broja. Drugi broj (kao i ti broj) je uvijek isti.

Broj sa brojem naziva se n-ti član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), i svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Najčešći tipovi progresije su aritmetička i geometrijska. U ovoj temi ćemo govoriti o drugoj vrsti - geometrijska progresija.

Zašto je potrebna geometrijska progresija i njena istorija?

Još u antičko doba, italijanski matematičar monah Leonardo iz Pize (poznatiji kao Fibonači) bavio se praktičnim potrebama trgovine. Monah je bio suočen sa zadatkom da odredi koji je najmanji broj utega koji se može koristiti za vaganje proizvoda? U svojim radovima, Fibonači dokazuje da je takav sistem pondera optimalan: Ovo je jedna od prvih situacija u kojoj su ljudi morali da se suoče sa geometrijskom progresijom, za koju ste verovatno već čuli i imate barem opšte razumevanje. Kada u potpunosti shvatite temu, razmislite zašto je takav sistem optimalan?

Trenutno se u životnoj praksi geometrijska progresija manifestuje prilikom ulaganja novca u banku, kada se iznos kamate obračunava na iznos akumuliran na računu za prethodni period. Drugim riječima, ako stavite novac na oročeni depozit u štedionici, onda će se nakon godinu dana depozit povećati za prvobitni iznos, tj. novi iznos će biti jednak doprinosu pomnoženom sa. U narednoj godini ovaj iznos će se povećati za, tj. iznos koji se tada dobije ponovo će se pomnožiti sa i tako dalje. Slična situacija je opisana u problemima izračunavanja tzv složena kamata- procenat se uzima svaki put od iznosa koji se nalazi na računu, uzimajući u obzir prethodne kamate. O ovim zadacima ćemo malo kasnije.

Postoji mnogo jednostavnijih slučajeva u kojima se primjenjuje geometrijska progresija. Na primjer, širenje gripe: jedna osoba je zarazila drugu osobu, oni su, pak, zarazili drugu osobu, tako da je drugi val infekcije osoba, a oni su, zauzvrat, zarazili drugu... i tako dalje. .

Inače, finansijska piramida, isti MMM, je jednostavan i suv proračun zasnovan na svojstvima geometrijske progresije. Zanimljivo? Hajde da to shvatimo.

Geometrijska progresija.

Recimo da imamo niz brojeva:

Odmah ćete odgovoriti da je to lako i da je naziv takvog niza aritmetička progresija s razlikom njegovih članova. sta kazes na ovo:

Oduzmete li prethodni od sljedećeg broja, vidjet ćete da svaki put dobijete novu razliku (i tako dalje), ali niz definitivno postoji i lako ga je primijetiti – svaki sljedeći broj je puta veći od prethodnog!

Ova vrsta niza brojeva se zove geometrijska progresija i određen je.

Geometrijska progresija () je numerički niz, čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.

Ograničenja da prvi član ( ) nije jednak i nisu slučajni. Pretpostavimo da ih nema, a prvi član je i dalje jednak, a q jednako, hmm.. neka bude, onda ispada:

Slažete se da ovo više nije napredak.

Kao što razumijete, dobit ćemo iste rezultate ako postoji bilo koji broj osim nule, a. U tim slučajevima jednostavno neće biti progresije, jer će cijeli niz brojeva biti ili sve nule, ili jedan broj, a svi ostali će biti nule.

Hajdemo sada detaljnije o nazivniku geometrijske progresije, odnosno o.

Ponovimo: - ovo je broj koliko puta se mijenja svaki naredni pojam? geometrijska progresija.

Šta mislite da bi to moglo biti? Tako je, pozitivno i negativno, ali ne nula (o tome smo pričali malo više).

Pretpostavimo da je naš pozitivan. Neka u našem slučaju, a. Kolika je vrijednost drugog termina i? Na to možete lako odgovoriti:

Tako je. Prema tome, ako, onda svi naredni termini progresije imaju isti predznak - oni su pozitivni.

Šta ako je negativan? Na primjer, a. Koja je vrijednost drugog termina i?

Ovo je sasvim druga priča

Pokušajte da prebrojite uslove ove progresije. Koliko si dobio? Imam. Dakle, ako, onda se znaci članova geometrijske progresije izmjenjuju. Odnosno, ako vidite progresiju sa naizmjeničnim znakovima za njegove članove, tada je njen nazivnik negativan. Ovo znanje vam može pomoći da se testirate kada rješavate probleme na ovu temu.

Sada malo vježbajmo: pokušajmo odrediti koji nizovi brojeva su geometrijska progresija, a koji aritmetička progresija:

Jasno? Uporedimo naše odgovore:

• Geometrijska progresija - 3, 6.
• Aritmetička progresija - 2, 4.
• To nije ni aritmetička ni geometrijska progresija - 1, 5, 7.

Vratimo se na našu posljednju progresiju i pokušajmo pronaći njen član, baš kao u aritmetici. Kao što ste možda pretpostavili, postoje dva načina da ga pronađete.

Svaki član sukcesivno množimo sa.

Dakle, th član opisane geometrijske progresije je jednak.

Kao što ste već pretpostavili, sada ćete sami izvesti formulu koja će vam pomoći da pronađete bilo koji član geometrijske progresije. Ili ste ga već razvili za sebe, opisujući kako da pronađete tog člana korak po korak? Ako je tako, onda provjerite ispravnost vašeg razmišljanja.

Ilustrirajmo ovo na primjeru pronalaženja th člana ove progresije:

Drugim riječima:

Sami pronađite vrijednost člana date geometrijske progresije.

Desilo se? Uporedimo naše odgovore:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno množili svaki prethodni član geometrijske progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - stavimo je u opći oblik i dobijemo:

Izvedena formula vrijedi za sve vrijednosti - i pozitivne i negativne. Provjerite ovo sami tako što ćete izračunati uslove geometrijske progresije sa sljedećim uvjetima: , a.

Jeste li brojali? Uporedimo rezultate:

Slažem se da bi bilo moguće pronaći termin progresije na isti način kao i termin, međutim, postoji mogućnost pogrešnog izračunavanja. A ako smo već pronašli th član geometrijske progresije, što bi onda moglo biti jednostavnije od korištenja „skraćenog“ dijela formule.

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija.

Nedavno smo govorili o tome da može biti ili veći ili manji od nule, međutim, postoje posebne vrijednosti za koje se naziva geometrijska progresija beskonačno opadajuća.

Šta mislite zašto je dato ovo ime?
Prvo, zapišimo neku geometrijsku progresiju koja se sastoji od pojmova.
Recimo onda:

Vidimo da je svaki naredni član manji od prethodnog za faktor, ali hoće li biti bilo kakvog broja? Odmah ćete odgovoriti - "ne". Zato se beskonačno smanjuje – smanjuje se i smanjuje, ali nikada ne postaje nula.

Da bismo jasno razumjeli kako ovo izgleda vizualno, pokušajmo nacrtati graf našeg napredovanja. Dakle, za naš slučaj, formula ima sljedeći oblik:

Na grafovima smo navikli crtati ovisnost o, dakle:

Suština izraza se nije promijenila: u prvom unosu smo pokazali ovisnost vrijednosti člana geometrijske progresije od njegovog rednog broja, a u drugom unosu jednostavno smo uzeli vrijednost člana geometrijske progresije kao , i označio redni broj ne kao, već kao. Sve što ostaje da se uradi je da se napravi graf.
Da vidimo šta imaš. Evo grafikona do kojeg sam došao:

Vidiš? Funkcija se smanjuje, teži nuli, ali je nikada ne prelazi, tako da je beskonačno opadajuća. Označimo naše tačke na grafu, a ujedno i šta znače koordinate i:

Pokušajte shematski prikazati graf geometrijske progresije ako je i njegov prvi član jednak. Analizirajte u čemu je razlika s našim prethodnim grafikonom?

Jeste li uspjeli? Evo grafikona do kojeg sam došao:

Sada kada ste u potpunosti razumeli osnove teme geometrijske progresije: znate šta je to, znate kako da pronađete njen pojam, a takođe znate šta je beskonačno opadajuća geometrijska progresija, pređimo na njeno glavno svojstvo.

Svojstvo geometrijske progresije.

Sjećate li se svojstva članova aritmetičke progresije? Da, da, kako pronaći vrijednost određenog broja progresije kada postoje prethodne i sljedeće vrijednosti pojmova ove progresije. Sjećaš li se? Ovo:

Sada smo suočeni sa potpuno istim pitanjem za termine geometrijske progresije. Da bismo izveli takvu formulu, počnimo crtati i zaključivati. Vidjet ćete, vrlo je lako, a ako zaboravite, možete sami izvući.

Uzmimo još jednu jednostavnu geometrijsku progresiju u kojoj znamo i. Kako pronaći? Sa aritmetičkom progresijom to je lako i jednostavno, ali šta je sa ovim? Zapravo, ni u geometriji nema ništa komplicirano - samo trebate zapisati svaku vrijednost koja nam je data prema formuli.

Možete pitati, šta da radimo u vezi s tim sada? Da, vrlo jednostavno. Prvo, predočimo ove formule na slici i pokušamo s njima napraviti razne manipulacije kako bismo došli do vrijednosti.

Hajde da apstrahujemo od brojeva koji su nam dati, fokusirajmo se samo na njihov izraz kroz formulu. Moramo pronaći vrijednost označenu narandžastom bojom, znajući termine koji su joj susjedni. Pokušajmo s njima izvesti razne radnje, kao rezultat kojih možemo dobiti.

Dodatak.
Pokušajmo dodati dva izraza i dobićemo:

Iz ovog izraza, kao što vidite, ne možemo ga izraziti na bilo koji način, stoga ćemo pokušati drugu opciju - oduzimanje.

Oduzimanje.

Kao što vidite, ni ovo ne možemo izraziti, pa hajde da pomnožimo ove izraze jedan s drugim.

Množenje.

Sada pažljivo pogledajte šta imamo množenjem termina geometrijske progresije koja nam je data u poređenju sa onim što treba pronaći:

Pogodite o čemu pričam? Tačno, da bismo pronašli moramo uzeti kvadratni korijen brojeva geometrijske progresije koji se nalaze u susjedstvu željenog pomnoženog jedan s drugim:

Izvoli. Sami ste izveli svojstvo geometrijske progresije. Pokušajte da napišete ovu formulu u opštem obliku. Desilo se?

Zaboravili ste uslov? Razmislite zašto je to važno, na primjer, pokušajte sami izračunati. Šta će se dogoditi u ovom slučaju? Tako je, potpuna glupost jer formula izgleda ovako:

Shodno tome, ne zaboravite ovo ograničenje.

Sada izračunajmo koliko je to jednako

Tačan odgovor - ! Ako prilikom izračunavanja niste zaboravili drugu moguću vrijednost, onda ste super i možete odmah preći na trening, a ako ste zaboravili pročitajte o čemu se govori u nastavku i obratite pažnju zašto je potrebno zapisivati ​​oba korijena u odgovoru.

Nacrtajmo obje naše geometrijske progresije - jednu s vrijednošću, a drugu s vrijednošću i provjerimo da li obje imaju pravo na postojanje:

Da bismo provjerili postoji li takva geometrijska progresija ili ne, potrebno je vidjeti da li su svi njeni dati pojmovi isti? Izračunajte q za prvi i drugi slučaj.

Vidite zašto moramo napisati dva odgovora? Jer predznak pojma koji tražite zavisi od toga da li je pozitivan ili negativan! A pošto ne znamo šta je to, moramo da napišemo oba odgovora sa plusom i minusom.

Sada kada ste savladali glavne tačke i izveli formulu za svojstvo geometrijske progresije, pronađite, saznajte i

Uporedite svoje odgovore sa tačnim:

Šta mislite, šta ako nam nisu date vrijednosti članova geometrijske progresije pored željenog broja, već jednako udaljene od njega. Na primjer, trebamo pronaći, i dati i. Možemo li koristiti formulu koju smo izveli u ovom slučaju? Pokušajte potvrditi ili opovrgnuti ovu mogućnost na isti način, opisujući od čega se svaka vrijednost sastoji, kao što ste učinili kada ste prvobitno izveli formulu, at.
šta si dobio?

Sada ponovo pažljivo pogledajte.
i shodno tome:

Iz ovoga možemo zaključiti da formula funkcionira ne samo sa susedima sa željenim terminima geometrijske progresije, ali i sa jednako udaljeno od onoga što članovi traže.

Dakle, naša početna formula ima oblik:

Odnosno, ako smo u prvom slučaju to rekli, sada kažemo da može biti jednako bilo kojem prirodnom broju koji je manji. Glavna stvar je da je isti za oba data broja.

Vježbajte na konkretnim primjerima, samo budite izuzetno oprezni!

1. , . Nađi.
2. , . Nađi.
3. , . Nađi.

Odlučili? Nadam se da ste bili izuzetno pažljivi i da ste primijetili malu zamku.

Hajde da uporedimo rezultate.

U prva dva slučaja mirno primjenjujemo gornju formulu i dobivamo sljedeće vrijednosti:

U trećem slučaju, kada pažljivo ispitamo serijske brojeve brojeva koji su nam dati, shvatimo da oni nisu jednako udaljeni od broja koji tražimo: to je prethodni broj, ali je uklonjen na poziciji, tako da je nije moguće primijeniti formulu.

Kako to riješiti? Zapravo i nije tako teško kao što se čini! Zapišimo od čega se sastoji svaki broj koji nam je dat i broj koji tražimo.

Dakle, imamo i. Da vidimo šta možemo sa njima? Predlažem podjelu po. Dobijamo:

Svoje podatke zamjenjujemo u formulu:

Sljedeći korak koji možemo pronaći je - za ovo trebamo uzeti kubni korijen rezultirajućeg broja.

Sada pogledajmo ponovo šta imamo. Imamo ga, ali ga moramo pronaći, a ono je zauzvrat jednako:

Pronašli smo sve potrebne podatke za izračun. Zamijenite u formulu:

Naš odgovor: .

Pokušajte sami riješiti još jedan sličan problem:
Dato: ,
Pronađite:

Koliko si dobio? Imam - .

Kao što vidite, u suštini vam je potrebno zapamtite samo jednu formulu- . Sve ostalo možete sami povući bez ikakvih poteškoća u bilo koje vrijeme. Da biste to učinili, jednostavno napišite najjednostavniju geometrijsku progresiju na komad papira i zapišite čemu je jednak svaki od njegovih brojeva, prema gore opisanoj formuli.

Zbir članova geometrijske progresije.

Sada pogledajmo formule koje nam omogućavaju da brzo izračunamo zbir članova geometrijske progresije u datom intervalu:

Da biste izveli formulu za zbir članova konačne geometrijske progresije, pomnožite sve dijelove gornje jednadžbe sa. Dobijamo:

Pogledajte pažljivo: šta je zajedničko poslednje dve formule? Tako je, zajednički članovi, na primjer, i tako dalje, osim prvog i posljednjeg člana. Pokušajmo oduzeti 1. od 2. jednačine. šta si dobio?

Sada izrazite izraz geometrijske progresije kroz formulu i zamijenite rezultirajući izraz u našu posljednju formulu:

Grupirajte izraz. Trebali biste dobiti:

Sve što ostaje da se uradi je da izrazimo:

Shodno tome, u ovom slučaju.

Šta ako? Koja formula onda radi? Zamislite geometrijsku progresiju na. Kakva je ona? Niz identičnih brojeva je tačan, pa će formula izgledati ovako:

Postoje mnoge legende o aritmetičkoj i geometrijskoj progresiji. Jedna od njih je legenda o Setu, tvorcu šaha.

Mnogi ljudi znaju da je igra šaha izmišljena u Indiji. Kada ju je hinduistički kralj upoznao, bio je oduševljen njenom duhovitošću i raznolikošću mogućih pozicija u njoj. Saznavši da ga je izmislio jedan od njegovih podanika, kralj je odlučio da ga lično nagradi. Pozvao je pronalazača k sebi i naredio mu da traži od njega sve što želi, obećavajući da će ispuniti i najvještiju želju.

Seta je tražio vremena za razmišljanje, a kada se sledećeg dana Seta pojavio pred kraljem, iznenadio je kralja neviđenom skromnošću svog zahteva. Tražio je da se da zrno pšenice za prvo polje šahovske table, zrno pšenice za drugo, zrno pšenice za treće, četvrto itd.

Kralj se naljutio i otjerao Seta, rekavši da je molba sluge nedostojna kraljeve velikodušnosti, ali je obećao da će sluga dobiti svoja zrna za sva polja na tabli.

A sada pitanje: koristeći formulu za zbir članova geometrijske progresije, izračunajte koliko zrna Set treba da dobije?

Počnimo sa rasuđivanjem. Pošto je, prema uslovu, Set tražio zrno pšenice za prvo polje šahovske table, za drugo, za treće, za četvrto itd., onda vidimo da je problem oko geometrijske progresije. Šta je jednako u ovom slučaju?
U redu.

Ukupan broj kvadrata na šahovskoj tabli. Odnosno, . Imamo sve podatke, ostaje nam samo da ih ubacimo u formulu i izračunamo.

Da bismo zamislili barem približno "skalu" datog broja, transformiramo koristeći svojstva stepena:

Naravno, ako želite, možete uzeti kalkulator i izračunati koji broj ćete dobiti, a ako ne, morate mi vjerovati na riječ: konačna vrijednost izraza će biti.
To je:

kvintilion kvadrilion trilion milijardi milijardi miliona hiljada.

Fuj) Ako želite da zamislite ogromnu veličinu ovog broja, onda procenite kolika bi ambara bila potrebna da primi celokupnu količinu žita.
Ako je štala m visoka i m široka, njena dužina bi se morala protezati za km, tj. duplo dalje nego od Zemlje do Sunca.

Da je kralj jak u matematici, mogao je pozvati i samog naučnika da prebroji zrna, jer da bi prebrojao milion zrna, trebao bi mu barem dan neumornog brojanja, a s obzirom da je potrebno prebrojati kvintilione, zrna morao bi se računati tokom njegovog života.

Sada ćemo riješiti jednostavan problem koji uključuje zbir članova geometrijske progresije.
Učenik 5A razreda Vasja se razbolio od gripe, ali nastavlja da ide u školu. Svaki dan Vasya zarazi dvije osobe, koje zauzvrat zaraze još dvije osobe, itd. U razredu su samo ljudi. Za koliko dana će cijeli razred biti bolestan od gripe?

Dakle, prvi član geometrijske progresije je Vasya, odnosno osoba. Pojam geometrijske progresije su dvije osobe koje je zarazio prvog dana svog dolaska. Ukupan zbir termina napredovanja jednak je broju učenika 5A. Shodno tome, govorimo o progresiji u kojoj:

Zamijenimo naše podatke u formulu za zbir članova geometrijske progresije:

Cijeli razred će se razboljeti za nekoliko dana. Ne vjerujete formulama i brojevima? Pokušajte sami dočarati “zarazu” učenika. Desilo se? Pogledajte kako izgleda za mene:

Izračunajte sami koliko bi dana trebalo da se učenici razbole od gripa da svaki zarazi osobu, a u razredu je samo jedna osoba.

Koju vrijednost ste dobili? Ispostavilo se da su svi počeli da se razboljevaju nakon jednog dana.

Kao što vidite, takav zadatak i crtež za njega nalikuju piramidi, u kojoj svaki sljedeći "dovodi" nove ljude. Međutim, prije ili kasnije dođe trenutak kada ovo drugo ne može nikoga privući. U našem slučaju, ako zamislimo da je klasa izolirana, osoba iz zatvara lanac (). Dakle, ako je osoba bila uključena u finansijsku piramidu u kojoj je dat novac ako ste doveli još dva učesnika, tada ta osoba (ili općenito) ne bi dovela nikoga, shodno tome, izgubila bi sve što je uložila u ovu finansijsku prevaru.

Sve što je gore rečeno odnosi se na opadajuću ili rastuću geometrijsku progresiju, ali, kao što se sjećate, imamo poseban tip - beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju. Kako izračunati zbir njegovih članova? I zašto ova vrsta progresije ima određene karakteristike? Hajde da to shvatimo zajedno.

Dakle, prvo, pogledajmo ponovo ovaj crtež beskonačno opadajuće geometrijske progresije iz našeg primjera:

Pogledajmo sada formulu za sumu geometrijske progresije, izvedenu malo ranije:
ili

čemu težimo? Tako je, grafikon pokazuje da teži nuli. Odnosno, at, bit će gotovo jednaka, odnosno, pri izračunavanju izraza dobićemo skoro. S tim u vezi, smatramo da se pri izračunavanju sume beskonačno opadajuće geometrijske progresije ova zagrada može zanemariti, jer će biti jednaka.

- formula je zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

BITAN! Koristimo formulu za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uvjet eksplicitno kaže da trebamo pronaći zbir beskonačno broj članova.

Ako je specificiran određeni broj n, tada koristimo formulu za zbir n članova, čak i ako je ili.

Sada vježbajmo.

1. Naći zbir prvih članova geometrijske progresije sa i.
2. Naći zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa i.

Nadam se da ste bili izuzetno oprezni. Uporedimo naše odgovore:

Sada znate sve o geometrijskoj progresiji i vrijeme je da pređete s teorije na praksu. Najčešći problemi s geometrijskom progresijom na koji se susreću na ispitu su problemi s izračunavanjem složene kamate. Ovo su oni o kojima ćemo govoriti.

Problemi sa obračunom složene kamate.

Vjerovatno ste čuli za takozvanu formulu složene kamate. Da li razumete šta to znači? Ako ne, hajde da to shvatimo, jer kada shvatite sam proces, odmah ćete shvatiti kakve veze ima geometrijska progresija s tim.

Svi idemo u banku i znamo da postoje različiti uslovi za depozite: to uključuje oročenje, dodatne usluge i kamatu sa dva različita načina obračuna - jednostavnim i složenim.

WITH obična kamata sve je manje-više jasno: kamata se obračunava jednom na kraju roka depozita. Odnosno, ako kažemo da položimo 100 rubalja na godinu dana, onda će oni biti kreditirani tek na kraju godine. U skladu s tim, do kraja depozita dobit ćemo rublje.

Složena kamata- ovo je opcija u kojoj se javlja kapitalizacija kamata, tj. njihovo dodavanje na iznos depozita i naknadni obračun prihoda ne od početnog, već od akumuliranog iznosa depozita. Kapitalizacija se ne dešava stalno, već sa određenom frekvencijom. Po pravilu, takvi periodi su jednaki i banke najčešće koriste mjesec, kvartal ili godinu.

Pretpostavimo da godišnje deponujemo iste rublje, ali uz mjesečnu kapitalizaciju depozita. Šta mi radimo?

Razumijete li sve ovdje? Ako ne, hajde da to shvatimo korak po korak.

Doneli smo rublje u banku. Do kraja mjeseca na računu bi trebalo da imamo iznos koji se sastoji od naših rubalja plus kamate na njih, to jest:

Slažem se?

Možemo to izvaditi iz zagrada i onda dobijamo:

Slažem se, ova formula je već sličnija onome što smo napisali na početku. Sve što je preostalo je izračunati procente

U opisu problema nam je rečeno o godišnjim stopama. Kao što znate, ne množimo sa - procente pretvaramo u decimalne razlomke, odnosno:

zar ne? Sada možete pitati, odakle je došao broj? Veoma jednostavno!
Ponavljam: izjava problema govori o ANNUAL kamata koja se akumulira MONTHLY. Kao što znate, za godinu dana, shodno tome, banka će nam naplatiti dio godišnje kamate mjesečno:

Shvatili ste? Sada pokušajte da napišete kako bi izgledao ovaj dio formule kada bih rekao da se kamata obračunava dnevno.
Jeste li uspjeli? Uporedimo rezultate:

Dobro urađeno! Vratimo se našem zadatku: napišite koliko će nam biti pripisano na račun u drugom mjesecu, s obzirom da se na akumulirani iznos depozita obračunava kamata.
Evo šta sam dobio:

Ili, drugim riječima:

Mislim da ste već primijetili uzorak i vidjeli geometrijsku progresiju u svemu tome. Napišite koliko će biti jednak njen član ili, drugim riječima, koji iznos novca ćemo dobiti na kraju mjeseca.
Jeste li? Hajde da proverimo!

Kao što vidite, ako stavite novac u banku na godinu dana uz prostu kamatu, dobićete rublje, a ako po složenoj kamatnoj stopi, dobit ćete rublje. Korist je mala, ali to se dešava samo tokom 1. godine, ali na duži period kapitalizacija je mnogo isplativija:

Pogledajmo drugu vrstu problema koji uključuje složenu kamatu. Nakon onoga što ste shvatili, to će vam biti elementarno. Dakle, zadatak:

Kompanija Zvezda počela je da investira u industriju 2000. godine, sa kapitalom u dolarima. Svake godine od 2001. godine ostvaruje dobit jednak kapitalu prethodne godine. Koliko će dobiti Zvezdina kompanija na kraju 2003. godine ako se dobit ne povuče iz prometa?

Kapital kompanije Zvezda 2000. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2001. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2002. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2003. godine.

Ili možemo ukratko napisati:

Za naš slučaj:

2000, 2001, 2002 i 2003.

odnosno:
rubalja
Napominjemo da u ovom zadatku nemamo podjelu ni po ni po, jer se procenat daje GODIŠNJE i obračunava se GODIŠNJE. Odnosno, kada čitate problem o složenoj kamati, obratite pažnju na to koji je procenat dat i u kom periodu se obračunava, pa tek onda pređite na obračun.
Sada znate sve o geometrijskoj progresiji.

Trening.

1. Nađi termin geometrijske progresije ako je poznato da je, i
2. Naći zbir prvih članova geometrijske progresije ako je to poznato, i
3. Kompanija MDM Capital počela je da investira u industriju 2003. godine, sa kapitalom u dolarima. Svake godine od 2004. godine ostvaruje dobit jednak kapitalu prethodne godine. Kompanija MSK Cash Flows počela je da ulaže u industriju 2005. godine u iznosu od 10.000 dolara, a 2006. godine je počela da ostvaruje profit u iznosu od 2000. godine. Za koliko je dolara veći kapital jedne kompanije od druge na kraju 2007. godine, ako dobit nije povučena iz opticaja?

odgovori:

1. Budući da se u iskazu problema ne kaže da je progresija beskonačna i da je potrebno pronaći zbir određenog broja njegovih članova, izračunavanje se vrši prema formuli:
2. 
   Kompanija MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - povećava se za 100%, odnosno 2 puta.
   odnosno:
   rubalja
   Kompanija MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - povećava se za, odnosno za puta.
   odnosno:
   rubalja
   rubalja

Hajde da sumiramo.

1) Geometrijska progresija ( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.

2) Jednačina članova geometrijske progresije je .

3) može uzeti bilo koju vrijednost osim i.

• ako, onda svi naredni termini progresije imaju isti predznak - oni su pozitivni;
• ako, onda svi naredni uslovi progresije alternativni znakovi;
• kada - progresija se naziva beskonačno opadajućom.

4) , at - svojstvo geometrijske progresije (susedni pojmovi)

ili
, at (jednako udaljeni pojmovi)

Kada ga nađete, nemojte to zaboraviti trebalo bi da postoje dva odgovora.

Na primjer,

5) Zbir članova geometrijske progresije izračunava se po formuli:
ili

Ako je progresija beskonačno opadajuća, tada:
ili

BITAN! Koristimo formulu za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uslov eksplicitno kaže da moramo pronaći zbir beskonačnog broja članova.

6) Problemi na složenu kamatu računaju se i po formuli th člana geometrijske progresije, pod uslovom da sredstva nisu povučena iz opticaja:

GEOMETRIJSKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Geometrijska progresija( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se zove nazivnik geometrijske progresije.

Imenilac geometrijske progresije može uzeti bilo koju vrijednost osim i.

• Ako, onda svi naredni članovi progresije imaju isti predznak - pozitivni su;
• ako, onda svi sljedeći članovi progresije zamjenjuju znakove;
• kada - progresija se naziva beskonačno opadajućom.

Jednadžba pojmova geometrijske progresije - .

Zbir članova geometrijske progresije izračunato po formuli:
ili

Razmotrimo određenu seriju.

7 28 112 448 1792...

Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata tačno četiri puta veća od prethodnog. To znači da je ova serija progresija.

Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva čija je glavna karakteristika da se sljedeći broj dobije od prethodnog množenjem određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 =a z ·q, gdje je z broj odabranog elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Period kada se izučava geometrijska progresija u školi je 9. razred. Primjeri će vam pomoći da shvatite koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na osnovu ove formule, nazivnik progresije se može naći na sljedeći način:

Ni q ni b z ne mogu biti nula. Takođe, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.

U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate posljednji pomnožiti sa q.

Da biste postavili ovu progresiju, morate navesti njen prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od narednih članova i njihov zbir.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova progresija se dijeli na nekoliko tipova:

• Ako su i 1 i q veći od jedan, onda je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer za to je predstavljen u nastavku.

Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

• Ako |q| je manji od jedan, to jest, množenje njime je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima opadajuća geometrijska progresija. Primjer za to je predstavljen u nastavku.

Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veći od jedan, q manji.

Tada se niz brojeva može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji slijedi.

• Naizmjenični znak. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 = -3, q = -2 - oba parametra su manja od nule.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Postoje mnoge formule za praktično korištenje geometrijskih progresija:

• Z-term formula. Omogućava vam da izračunate element pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je računati četvrti element progresije.

Rješenje:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Zbir prvih elemenata čija je količina jednaka z. Omogućava vam da izračunate zbir svih elemenata niza doa zinkluzivno.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednak 1.

Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz brojeva koji se beskonačno ponavljaju.

Zbir geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S5.

Rješenje:S 5 = 22 - izračunavanje po formuli.

• Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.

Rješenje:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neke nekretnine:

• Karakteristično svojstvo. Ako je sledeći uslov radi za bilo kojez, tada je dati niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Također, kvadrat bilo kojeg broja u geometrijskoj progresiji nalazi se dodavanjem kvadrata bilo koja dva druga broja u datom nizu, ako su jednako udaljeni od ovog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Gdjet- udaljenost između ovih brojeva.

• Elementirazlikuju se u qjednom.
• Progresiju čine i logaritmi elemenata progresije, ali aritmetičke, odnosno svaki od njih je za određeni broj veći od prethodnog.

Primjeri nekih klasičnih problema

Da bismo bolje razumjeli što je geometrijska progresija, mogu pomoći primjeri sa rješenjima za klasu 9.

• Uslovi:a 1 = 3, a 3 = 48. Nađiq.

Rješenje: svaki sljedeći element je veći od prethodnog uq jednom.Neophodno je neke elemente izraziti u terminima drugih koristeći nazivnik.

dakle,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

• Uslovi:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunajte S 6.

Rješenje:Da biste to učinili, samo pronađite q, prvi element i zamijenite ga u formulu.

a 3 = q· a 2 , dakle,q= 2

a 2 = q · a 1 ,Zbog toga a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: da biste to učinili, dovoljno je četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primjer primjene:

• Klijent banke je položio depozit u iznosu od 10.000 rubalja, pod kojim će svake godine klijentu biti dodato 6% na glavnicu. Koliko novca će biti na računu nakon 4 godine?

Rješenje: Početni iznos je 10 hiljada rubalja. To znači da će godinu dana nakon ulaganja račun imati iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Shodno tome, iznos na računu nakon još jedne godine biće iskazan na sledeći način:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije, koji je dat prvim elementom jednakim 10 hiljada i imeniocem jednakim 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primjeri problema izračunavanja sume:

Geometrijska progresija se koristi u raznim problemima. Primjer za pronalaženje sume može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS 5.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih trebate zamijeniti u formulu.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunajte zbir prvih šest elemenata.

Rješenje:

U geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno da biste izračunali zbroj koji vam je potreban da znate elementa 1 i imenilacq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično, morate pronaćia 1 , znajućia 2 Iq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrijska progresija, uz aritmetičku progresiju, važan je niz brojeva koji se izučava u školskom predmetu algebre u 9. razredu. U ovom članku ćemo pogledati nazivnik geometrijske progresije i kako njegova vrijednost utječe na njena svojstva.

Definicija geometrijske progresije

Prvo, dajmo definiciju ovog brojevnog niza. Geometrijska progresija je niz racionalnih brojeva koji se formira uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa sa konstantnim brojem koji se naziva imenilac.

Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožite 3 (prvi element) sa 2, dobićete 6. Ako pomnožite 6 sa 2, dobićete 12, i tako dalje.

Članovi niza koji se razmatraju obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.

Gornja definicija progresije može se napisati matematičkim jezikom na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b imenilac. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, onda je b1-1 = 1, i dobijamo a1 = a1. Ako je n = 2, onda je an = b * a1, i opet dolazimo do definicije dotičnog niza brojeva. Slično razmišljanje može se nastaviti za velike vrijednosti n.

Imenilac geometrijske progresije

Broj b u potpunosti određuje koji će karakter imati cijeli niz brojeva. Imenilac b može biti pozitivan, negativan ili veći ili manji od jedan. Sve gore navedene opcije dovode do različitih sekvenci:

• b > 1. Postoji rastući niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će se cijeli niz povećati samo u apsolutnoj vrijednosti, ali će se smanjiti ovisno o predznaku brojeva.
• b = 1. Često se ovaj slučaj ne naziva progresijom, jer postoji običan niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.

Formula za iznos

Prije nego što pređemo na razmatranje specifičnih problema koristeći nazivnik vrste progresije koja se razmatra, treba dati važnu formulu za zbir njenih prvih n elemenata. Formula izgleda ovako: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Možete sami dobiti ovaj izraz ako uzmete u obzir rekurzivni niz članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i imenilac da biste pronašli zbir proizvoljnog broja članova.

Beskonačno opadajući niz

Gore je dato objašnjenje šta je to. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Pošto bilo koji broj čiji modul ne prelazi 1 teži nuli kada se podigne na velike stepene, to jest, b∞ => 0 ako je -1

Budući da će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak sume beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jedinstveno je određen predznakom njenog prvog elementa a1.

Pogledajmo sada nekoliko problema u kojima ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na određene brojeve.

Zadatak br. 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbira

Za geometrijsku progresiju imenilac progresije je 2, a njen prvi element je 3. Čemu će biti jednaki njeni 7. i 10. član i koliki je zbir njegovih sedam početnih elemenata?

Stanje problema je prilično jednostavno i uključuje direktnu upotrebu gornjih formula. Dakle, da bismo izračunali broj elementa n, koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenom poznatih podataka, dobijamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo i za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.

Koristimo dobro poznatu formulu za zbir i odredimo ovu vrijednost za prvih 7 elemenata serije. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Zadatak br. 2. Određivanje zbira proizvoljnih elemenata progresije

Neka je -2 jednako nazivniku geometrijske progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbir od 5. do 10. elementa ove serije, uključujući.

Postavljeni problem se ne može riješiti direktno korištenjem poznatih formula. Može se riješiti korištenjem 2 različite metode. Radi kompletnosti izlaganja teme, predstavljamo oba.

Metoda 1. Ideja je jednostavna: trebate izračunati dva odgovarajuća zbira prvih članova, a zatim oduzeti drugi od jednog. Izračunavamo manji iznos: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunavamo veći zbir: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da su u posljednjem izrazu sabrana samo 4 člana, pošto je 5. već uključen u iznos koji treba izračunati prema uslovima zadatka. Konačno, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbir između m i n članova dotičnog niza. Radimo potpuno isto kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom iznosa. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti poznate brojeve u rezultirajući izraz i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Zadatak br. 3. Šta je imenilac?

Neka je a1 = 2, nađite imenilac geometrijske progresije, pod uslovom da je njen beskonačan zbir 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.

Na osnovu uslova problema nije teško pogoditi koju formulu treba koristiti za njegovo rješavanje. Naravno, za zbir progresije beskonačno opadajuće. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje zamijeniti poznate vrijednosti i dobiti traženi broj: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ili -0,333 (3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se prisjetimo da za ovu vrstu niza modul b ne bi trebao ići dalje od 1. Kao što se može vidjeti, |-1 / 3|

Zadatak br. 4. Obnavljanje niza brojeva

Neka su data 2 elementa brojevnog niza, na primjer, 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Iz ovih podataka je potrebno rekonstruirati cijeli niz, znajući da zadovoljava svojstva geometrijske progresije.

Da biste riješili problem, prvo morate zapisati odgovarajući izraz za svaki poznati pojam. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada podijelite drugi izraz sa prvim, dobijamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde određujemo imenilac uzimajući peti korijen omjera članova poznatih iz iskaza problema, b = 1,148698. Dobijeni broj zamenimo u jedan od izraza za poznati element, dobijamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Tako smo našli nazivnik progresije bn, i geometrijsku progresiju bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.

Gdje se koriste geometrijske progresije?

Da nema praktične primjene ovog brojevnog niza, onda bi se njegovo proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali takva aplikacija postoji.

Ispod su 3 najpoznatija primjera:

• Zenonov paradoks, u kojem okretni Ahilej ne može sustići sporu kornjaču, riješen je konceptom beskonačno opadajućeg niza brojeva.
• Ako stavite zrna pšenice na svako polje šahovske ploče tako da na 1. polje stavite 1 zrno, na 2. - 2, na 3. - 3, i tako dalje, tada će vam trebati da popunite sva polja na tabli. 18446744073709551615 žitarice!
• U igrici "Tower of Hanoi", da bi se diskovi premjestili s jednog štapa na drugi, potrebno je izvršiti 2n - 1 operacije, odnosno njihov broj raste eksponencijalno s brojem n korištenih diskova.

Matematika je štaljudi kontrolišu prirodu i sebe.

Sovjetski matematičar, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrijska progresija.

Pored zadataka o aritmetičkim progresijama, na prijemnim ispitima iz matematike česti su i problemi vezani za pojam geometrijske progresije. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate poznavati svojstva geometrijskih progresija i imati dobre vještine u njihovom korištenju.

Ovaj članak je posvećen prikazu osnovnih svojstava geometrijske progresije. Ovdje su također dati primjeri rješavanja tipičnih problema., pozajmljeno iz zadataka prijemnih ispita iz matematike.

Zabilježimo prvo osnovna svojstva geometrijske progresije i prisjetimo se najvažnijih formula i iskaza, povezan sa ovim konceptom.

Definicija. Niz brojeva naziva se geometrijska progresija ako je svaki broj, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen istim brojem. Broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.

Za geometrijsku progresijuformule su validne

, (1)

Gdje . Formula (1) se zove formula opšteg člana geometrijske progresije, a formula (2) predstavlja glavno svojstvo geometrijske progresije: svaki član progresije se poklapa sa geometrijskom sredinom njegovih susednih članova i .

Bilješka, da se upravo zbog ovog svojstva dotična progresija naziva „geometrijska“.

Gore navedene formule (1) i (2) su generalizirane na sljedeći način:

, (3)

Za izračunavanje iznosa prvo termini geometrijske progresijeformula se primjenjuje

Ako označimo , onda

Gdje . Kako je , formula (6) je generalizacija formule (5).

U slučaju kada i geometrijska progresijase beskonačno smanjuje. Za izračunavanje iznosaod svih članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije, koristi se formula

. (7)

Na primjer , pomoću formule (7) možemo pokazati, Šta

Gdje . Ove jednakosti se dobijaju iz formule (7) pod uslovom da je , (prva jednakost) i , (druga jednakost).

Teorema. Ako onda

Dokaz. Ako onda

Teorema je dokazana.

Idemo dalje na razmatranje primjera rješavanja zadataka na temu „Geometrijska progresija“.

Primjer 1. Dato: , i . Pronađite .

Rješenje. Ako primijenimo formulu (5), onda

Odgovor: .

Primjer 2. Neka bude. Pronađite .

Rješenje. Pošto i , koristimo formule (5), (6) i dobijamo sistem jednačina

Ako se druga jednačina sistema (9) podijeli s prvom, zatim ili . Iz ovoga proizilazi da . Razmotrimo dva slučaja.

1. Ako, onda iz prve jednačine sistema (9) imamo.

2. Ako , onda .

Primjer 3. Neka , i . Pronađite .

Rješenje. Iz formule (2) slijedi da ili . Od , tada ili .

Po uslovu. Međutim, stoga. Od i onda ovde imamo sistem jednačina

Ako je druga jednadžba sistema podijeljena s prvom, onda ili .

Budući da jednačina ima jedinstven odgovarajući korijen. U ovom slučaju to slijedi iz prve jednačine sistema.

Uzimajući u obzir formulu (7), dobijamo.

Odgovor: .

Primjer 4. Dato: i . Pronađite .

Rješenje. Od tada.

Od , tada ili

Prema formuli (2) imamo . U tom smislu, iz jednakosti (10) dobivamo ili .

Međutim, pod uslovom, dakle.

Primjer 5. Poznato je da . Pronađite .

Rješenje. Prema teoremi, imamo dvije jednakosti

Od , tada ili . Jer onda .

Odgovor: .

Primjer 6. Dato: i . Pronađite .

Rješenje. Uzimajući u obzir formulu (5), dobijamo

Od tada. Od , i , onda .

Primjer 7. Neka bude. Pronađite .

Rješenje. Prema formuli (1) možemo pisati

Dakle, imamo ili . Poznato je da i , Stoga i .

Odgovor: .

Primjer 8. Pronađite nazivnik beskonačne opadajuće geometrijske progresije ako

i .

Rješenje. Iz formule (7) slijedi I . Odavde i iz uslova zadatka dobijamo sistem jednačina

Ako je prva jednadžba sistema na kvadrat, a zatim podijelite rezultirajuću jednačinu drugom jednačinom, onda dobijamo

Ili .

Odgovor: .

Primjer 9. Pronađite sve vrijednosti za koje je niz , , geometrijska progresija.

Rješenje. Neka , i . Prema formuli (2), koja definira glavno svojstvo geometrijske progresije, možemo napisati ili .

Odavde dobijamo kvadratnu jednačinu, čiji su koreni i .

Hajde da proverimo: ako, zatim , i ; ako , onda , i .

U prvom slučaju imamo i , au drugom – i .

Odgovor: , .

Primjer 10.Riješite jednačinu

, (11)

gdje i .

Rješenje. Lijeva strana jednačine (11) je zbir beskonačne opadajuće geometrijske progresije, u kojoj i , podložno: i .

Iz formule (7) slijedi, Šta . U tom smislu, jednačina (11) poprima oblik ili . Pogodan korijen kvadratna jednačina je

Odgovor: .

Primjer 11. P niz pozitivnih brojevaformira aritmetičku progresiju, A – geometrijska progresija, kakve to veze ima. Pronađite .

Rješenje. Jer aritmetički niz, To (glavno svojstvo aritmetičke progresije). Zbog, zatim ili . Ovo implicira, da geometrijska progresija ima oblik. Prema formuli (2), onda to zapišemo.

Od i , tada . U ovom slučaju, izraz ima oblik ili . po uslovu, pa iz jednadžbe.dobijamo jedinstveno rešenje problema koji se razmatra, tj. .

Odgovor: .

Primjer 12. Izračunaj sumu

. (12)

Rješenje. Pomnožimo obje strane jednakosti (12) sa 5 i dobijemo

Ako od rezultujućeg izraza oduzmemo (12)., To

ili .

Da bismo izračunali, zamjenjujemo vrijednosti u formulu (7) i dobivamo . Od tada.

Odgovor: .

Ovdje dati primjeri rješavanja problema bit će korisni kandidatima prilikom pripreme za prijemne ispite. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, vezano za geometrijsku progresiju, Možete koristiti tutorijale sa liste preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate na fakultetima / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.

3. Medynsky M.M. Kompletan kurs osnovne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojčani nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. – 208 str.

Imate još pitanja?

Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.