Šta je direktna proporcionalnost? Direktna i inverzna proporcionalnost
Završio: Čepkasov Rodion
Učenik 6. razreda
MBOU "Srednja škola br. 53"
Barnaul
Rukovodilac: Bulykina O.G.
nastavnik matematike
MBOU "Srednja škola br. 53"
Barnaul
Uvod. 1
Odnosi i proporcije. 3
Direktni i obrnuto proporcionalni odnosi. 4
Primjena direktnog i inverzno proporcionalnog 6
ovisnosti pri rješavanju raznih problema.
Zaključak. 11
Književnost. 12
Uvod.
Riječ proporcija dolazi od latinske riječi proporcija, što općenito znači proporcionalnost, poravnanje dijelova (određeni omjer dijelova jedan prema drugom). U antičko doba pitagorejci su visoko cijenili doktrinu o proporcijama. S proporcijama su povezivali misli o redu i ljepoti u prirodi, o konsonantnim akordima u muzici i harmoniji u svemiru. Neke vrste proporcija nazivali su muzičkim ili harmoničnim.
Čovjek je još u davna vremena otkrio da su sve pojave u prirodi međusobno povezane, da je sve u neprekidnom kretanju, mijenjanju i, kada se izrazi u brojevima, otkriva zadivljujuće obrasce.
Pitagorejci i njihovi sljedbenici tražili su sve na svijetu numerički izraz. Otkrili su; da su matematičke proporcije u osnovi muzike (odnos dužine žice i visine, odnos između intervala, odnos zvukova u akordima koji daju harmoničan zvuk). Pitagorejci su pokušali matematički potkrijepiti ideju o jedinstvu svijeta, tvrdili su da je osnova svemira simetrična geometrijski oblici. Pitagorejci su tražili matematičku osnovu za lepotu.
Slijedeći pitagorejce, srednjovjekovni naučnik Augustin nazvao je ljepotu „numeričkom jednakošću“. Filozof Bonaventura je napisao: „Nema lepote i zadovoljstva bez proporcionalnosti, a proporcionalnost postoji prvenstveno u brojevima. Potrebno je da sve bude izbrojivo. Leonardo da Vinci je u svojoj raspravi o slikarstvu pisao o upotrebi proporcije u umetnosti: „Slikar u obliku proporcija utjelovljuje iste obrasce skrivene u prirodi koje naučnik poznaje u obliku numeričkog zakona.
Za rješavanje su korištene proporcije različite zadatke kako u antici tako i u srednjem vijeku. Određene vrste problema sada se lako i brzo rješavaju korištenjem proporcija. Proporcije i proporcionalnost koristili su se i koriste se ne samo u matematici, već iu arhitekturi i umjetnosti. Proporcija u arhitekturi i umjetnosti znači održavanje određenih odnosa između veličina različitim dijelovima zgrada, figura, skulptura ili drugo umjetničko djelo. Proporcionalnost je u takvim slučajevima uslov za ispravnu i lepu konstrukciju i prikaz
U svom radu pokušao sam da razmotrim upotrebu direktnih i inverzno proporcionalnih odnosa u raznim oblastima život u okruženju, trag kontakta sa akademski predmeti kroz zadatke.
Odnosi i proporcije.
Zove se količnik dva broja stav ove brojevi.
Stav pokazuje, koliko je puta prvi broj veći od drugog ili koji je dio prvog broja drugog.
Zadatak.
U prodavnicu je dovezeno 2,4 tone krušaka i 3,6 tona jabuka. Koliki udeo donetih plodova su kruške?
Rješenje . Hajde da nađemo koliko su voća doneli: 2,4+3,6=6(t). Da bismo saznali koji dio donesenih plodova čine kruške, pravimo omjer 2,4:6=. Odgovor se može napisati iu formularu decimalni ili kao procenat: = 0,4 = 40%.
Uzajamno inverzno pozvao brojevi, čiji su proizvodi jednaki 1. Dakle odnos se naziva inverznim od odnosa.
Razmotrimo dva ravnopravan odnos: 4,5:3 i 6:4. Stavimo znak jednakosti između njih i dobijemo proporciju: 4,5:3=6:4.
Proporcija je jednakost dviju relacija: a : b =c :d ili = 
, gdje su a i d ekstremne proporcije, c i b – prosječni članovi(svi članovi proporcije su različiti od nule).
Osnovno svojstvo proporcije:
u ispravnoj proporciji, proizvod ekstremnih članova jednak je proizvodu srednjih članova.
Primjenjujući komutativno svojstvo množenja, nalazimo da je u ispravnoj proporciji moguće zamijeniti ekstremne ili srednje članove. Rezultirajuće proporcije će također biti ispravne.
Koristeći osnovno svojstvo proporcije, možete pronaći njegov nepoznati pojam ako su poznati svi ostali pojmovi.
Da biste pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, trebate pomnožiti prosječne članove i podijeliti sa poznatim ekstremnim članom. x : b = c : d , x = 
Da pronađem nepoznato prosečan član proporcije, trebate pomnožiti ekstremne članove i podijeliti sa poznatim srednjim članom. a : b =x : d , x = 
.
Direktni i obrnuto proporcionalni odnosi.
Značenja dva razne veličine mogu međusobno zavisiti jedno od drugog. Dakle, površina kvadrata zavisi od dužine njegove stranice, i obrnuto - dužina stranice kvadrata zavisi od njegove površine.
Za dvije veličine se kaže da su proporcionalne ako se povećavaju
(smanji) jedan od njih nekoliko puta, drugi se poveća (smanji) isti broj puta.
Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada su omjeri odgovarajućih vrijednosti ovih veličina jednaki.
Primjer direktno proporcionalna zavisnost .
Na benzinskoj pumpi 2 litre benzina teže 1,6 kg. Koliko će biti teški 5 litara benzina?
Rješenje:
Težina kerozina je proporcionalna njegovoj zapremini.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Odgovor: 4 kg.
Ovdje odnos težine i zapremine ostaje nepromijenjen.
Dvije veličine se nazivaju obrnuto proporcionalne ako se jedna od njih poveća (smanji) nekoliko puta, druga smanji (pove) za isti iznos.
Ako su količine obrnuto proporcionalne, tada je omjer vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.
P primjerobrnuto proporcionalni odnos.
Dva pravougaonika imaju istu površinu. Dužina prvog pravougaonika je 3,6 m, a širina 2,4 m. Nađite širinu drugog pravougaonika.
Rješenje:
1 pravougaonik 3,6 m 2,4 m
2 pravougaonika 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 m 2,4 m
x = 3,6*2,4 = 1,8 m
Odgovor: 1,8 m.
Kao što vidite, problemi koji uključuju proporcionalne veličine mogu se riješiti korištenjem proporcija.
Nisu svake dvije veličine direktno proporcionalne ili obrnuto proporcionalne. Na primjer, visina djeteta raste kako se njegova dob povećava, ali ove vrijednosti nisu proporcionalne, jer kada se starost udvostruči, visina djeteta se ne udvostručuje.
Praktična primjena direktna i inverzno proporcionalna zavisnost.
Zadatak br. 1
Školska biblioteka raspolaže sa 210 udžbenika matematike, što čini 15% ukupnog fonda biblioteke. Koliko knjiga ima u bibliotečkom fondu?
Rješenje:
Ukupno udžbenika - ? - 100%
Matematičari - 210 -15%
15% 210 akademski.
X = 100* 210 = 1400 udžbenika
100% x uch. 15
Odgovor: 1400 udžbenika.
Problem br. 2
Biciklista prijeđe 75 km za 3 sata. Koliko će biciklistu trebati da pređe 125 km istom brzinom?
Rješenje:
3 h – 75 km
H – 125 km
Stoga su vrijeme i udaljenost direktno proporcionalne veličine
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Odgovor: za 5 sati.
Problem br. 3
8 identičnih cijevi napuni bazen za 25 minuta. Koliko će minuta biti potrebno da se bazen napuni sa 10 takvih cijevi?
Rješenje:
8 cijevi – 25 minuta
10 cijevi - ? minuta
Broj cijevi je obrnuto proporcionalan vremenu, dakle
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Odgovor: za 20 minuta.
Problem br. 4
Tim od 8 radnika obavi zadatak za 15 dana. Koliko radnika može završiti zadatak za 10 dana radeći sa istom produktivnošću?
Rješenje:
8 radnih dana – 15 dana
Radnici - 10 dana
Broj radnika je obrnuto proporcionalan broju dana, dakle
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Odgovor: 12 radnika.
Problem br. 5
Od 5,6 kg paradajza dobije se 2 litra sosa. Koliko litara sosa se može dobiti od 54 kg paradajza?
Rješenje:
5,6 kg – 2 l
54 kg - ? l
Dakle, broj kilograma paradajza direktno je proporcionalan količini dobijenog sosa
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Odgovor: 19 l.
Problem br. 6
Za grijanje školske zgrade ugalj je skladišten 180 dana po stopi potrošnje
0,6 tona uglja dnevno. Koliko će dana trajati ova zaliha ako se dnevno troši 0,5 tona?
Rješenje:
Broj dana
Stopa potrošnje
Broj dana je, dakle, obrnuto proporcionalan stopi potrošnje uglja
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Odgovor: 216 dana.
Problem br. 7
IN gvozdene rude Za 7 delova gvožđa postoje 3 dela nečistoća. Koliko tona nečistoća ima u rudi koja sadrži 73,5 tona gvožđa?
Rješenje:
Broj delova
Težina
Iron
73,5
Nečistoće
Dakle, broj dijelova je direktno proporcionalan masi
7: 73,5 = 3: x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Odgovor: 31,5 t
Problem br. 8
Automobil je prešao 500 km, koristeći 35 litara benzina. Koliko će litara benzina biti potrebno da se pređe 420 km?
Rješenje:
Udaljenost, km
Benzin, l
Udaljenost je direktno proporcionalna potrošnji benzina, dakle
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29,4.
Odgovor: 29,4 l
Problem br. 9
Za 2 sata ulovili smo 12 karasa. Koliko će karaša biti ulovljeno za 3 sata?
Rješenje:
Broj karasa ne zavisi od vremena. Ove količine nisu ni direktno proporcionalne ni obrnuto proporcionalne.
Odgovor: Nema odgovora.
Problem br. 10
Rudarsko preduzeće treba da kupi 5 novih mašina za određeni iznos novca po ceni od 12 hiljada rubalja po jednoj. Koliko ovih mašina može da kupi preduzeće ako cena za jednu mašinu postane 15 hiljada rubalja?
Rješenje:
Broj automobila, kom.
Cijena, hiljada rubalja
Broj automobila je obrnuto proporcionalan cijeni, dakle
5: x = 15: 12,
x=5*12:15,
x=4.
Odgovor: 4 automobila.
Problem br. 11
U gradu N na trgu P nalazi se prodavnica čiji je vlasnik toliko strog da za kašnjenje oduzima 70 rubalja od plate za 1 kašnjenje dnevno. Dve devojke, Julija i Nataša, rade u jednom odeljenju. Njihova plate zavisi od broja radnih dana. Julija je za 20 dana dobila 4.100 rubalja, a Nataša je za 21 dan trebala dobiti više, ali je kasnila 3 dana zaredom. Koliko će rubalja dobiti Nataša?
Rješenje:
Radni dani
Plata, rub.
Julia
4100
Natasha
Dakle, plata je direktno proporcionalna broju radnih dana
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 rub. Nataša je trebala da ga primi.
4305 – 3 * 70 = 4095 (rub.)
Odgovor: Natasha će dobiti 4095 rubalja.
Problem br. 12
Udaljenost između dva grada na karti je 6 cm Nađite udaljenost između ovih gradova na tlu ako je razmjer karte 1:250000.
Rješenje:
Označimo udaljenost između gradova na terenu sa x (u centimetrima) i pronađemo omjer dužine segmenta na karti i udaljenosti na tlu, koja će biti jednaka mjerilu karte: 6: x = 1 : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Odgovor: 15 km.
Problem br. 13
4000 g rastvora sadrži 80 g soli. Kolika je koncentracija soli u ovoj otopini?
Rješenje:
Težina, g
Koncentracija, %
Rješenje
4000
Sol
4000: 80 = 100: x,
x = 
,
x = 2.
Odgovor: Koncentracija soli je 2%.
Problem br. 14
Banka daje kredit od 10% godišnje. Dobili ste zajam od 50.000 rubalja. Koliko biste trebali vratiti banci za godinu dana?
Rješenje:
50.000 rub.
100%
x rub.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 rub. iznosi 10%.
50.000 + 5000=55.000 (rub.)
Odgovor: za godinu dana banka će dobiti 55.000 rubalja nazad.
Zaključak.
Kao što možemo vidjeti iz navedenih primjera, direktni i inverzno proporcionalni odnosi su primjenjivi u različitim područjima života:
ekonomija,
trgovina,
U proizvodnji i industriji,
kuhanje,
Građevinarstvo i arhitektura.
sport,
stočarstvo,
topografije,
fizičari,
hemija itd.
U ruskom jeziku postoje i poslovice i izreke koje uspostavljaju direktan i inverzni odnos:
Kako se vrati, tako će i odgovoriti.
Što je panj viši, to je viša senka.
Kako više ljudi, manje kiseonika.
I spreman je, ali glup.
Matematika je jedna od drevne nauke, nastala je na osnovu potreba i želja čovječanstva. Prošavši kroz istoriju formiranja od Ancient Greece, i dalje ostaje relevantan i neophodan u svakodnevni život bilo koju osobu. Koncept direktne i inverzne proporcionalnosti poznat je od davnina, jer su zakoni proporcije motivisali arhitekte prilikom bilo koje konstrukcije ili stvaranja bilo koje skulpture.
Znanje o proporcijama se široko koristi u svim sferama ljudskog života i aktivnosti - bez njega se ne može bez njega pri slikanju (pejzaži, mrtve prirode, portreti itd.), Rasprostranjeno je i među arhitektima i inženjerima - općenito je teško zamislite da nešto stvarate bez upotrebe znanja o proporcijama i njihovim odnosima.
Književnost.
Matematika-6, N.Ya. Vilenkin et al.
Algebra -7, G.V. Dorofejev i drugi.
Matematika-9, GIA-9, urednik F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova
matematika-6, didaktički materijali, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
Zadaci iz matematike za 4-5 razred, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988
Zbirka zadataka i primjera iz matematike 5-6 razreda, N.A. Tereshin,
T.N. Terešina, M. “Akvarijum” 1997
I. Direktno proporcionalne veličine.
Neka vrijednost y zavisi od veličine X. Ako pri povećanju X nekoliko puta veća at povećava za isti iznos, onda takve vrijednosti X I at nazivaju se direktno proporcionalnim.
Primjeri.
1 . Količina kupljene robe i nabavna cijena (ako fiksna cijena jedna jedinica robe - 1 komad ili 1 kg itd.) Koliko je puta više robe kupljeno, to su više puta više platili.
2 . Prijeđena udaljenost i vrijeme provedeno na njemu (s konstantna brzina).Koliko puta je duži put, koliko puta će više vremena trebati da se završi.
3 . Zapremina tijela i njegova masa. ( Ako je jedna lubenica 2 puta veća od druge, tada će njena masa biti 2 puta veća)
II. Svojstvo direktne proporcionalnosti veličina.
Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.
Zadatak 1. Za džem od malina uzeo 12 kg maline i 8 kg Sahara. Koliko šećera će vam trebati ako ga uzmete? 9 kg maline?
Rješenje.
Razmišljamo ovako: neka bude potrebno x kgšećer za 9 kg maline Masa malina i masa šećera su direktno proporcionalne količine: koliko je puta manje malina, toliko je potrebno i šećera. Dakle, omjer uzetih malina (po težini) ( 12:9 ) će biti jednak omjeru uzetog šećera ( 8:x). Dobijamo proporciju:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. odgovor: on 9 kg maline treba uzeti 6 kg Sahara.
Rješenje problema Moglo bi se uraditi ovako:
Pusti 9 kg maline treba uzeti x kg Sahara.
(Strelice na slici su usmjerene u jednom smjeru, a gore ili dolje nije bitno. Značenje: koliko je puta broj 12 više broja 9 , isti broj puta 8 više broja X, tj. ovdje postoji direktna veza).
odgovor: on 9 kg Moram uzeti malo malina 6 kg Sahara.
Zadatak 2. Auto za 3 sata prešao udaljenost 264 km. Koliko će mu trebati da putuje? 440 km, ako vozi istom brzinom?
Rješenje.
Neka za x sati auto će preći put 440 km.
odgovor: auto će proći 440 km za 5 sati.
Zadatak 3. Voda teče iz cijevi u bazen. Za 2 sata ona ispunjava 1/5 bazen U kom dijelu bazena je napunjena voda 5 sati?
Rješenje.
Odgovaramo na pitanje zadatka: za 5 satiće biti popunjena 1/x dio bazena. (Cijeli bazen se uzima kao jedna cjelina).
Dve veličine se nazivaju direktno proporcionalna, ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se poveća za isti iznos. Prema tome, kada se jedan od njih smanji nekoliko puta, drugi se smanjuje za isti iznos.
Odnos između takvih veličina je direktan proporcionalna zavisnost. Primjeri direktno proporcionalne zavisnosti:
1) pri konstantnoj brzini pređeni put je direktno proporcionalan vremenu;
2) obim kvadrata i njegova stranica su direktno proporcionalne veličine;
3) cena proizvoda kupljenog po jednoj ceni direktno je proporcionalna njegovoj količini.
Da biste razlikovali direktnu proporcionalnu vezu od inverzne, možete koristiti poslovicu: „Što dalje u šumu, to je više drva za ogrjev“.
Zgodno je rješavati probleme koji uključuju direktno proporcionalne veličine koristeći proporcije.
1) Za izradu 10 dijelova potrebno vam je 3,5 kg metala. Koliko će metala ući u izradu 12 ovih dijelova?
(Mi razmišljamo ovako:
1. U popunjenu kolonu postavite strelicu u smjeru od najvećeg prema najmanjem broju.
2. Što više dijelova, to je više metala potrebno za njihovu izradu. To znači da je ovo direktno proporcionalan odnos.
Neka je za izradu 12 dijelova potrebno x kg metala. Izrađujemo proporciju (u smjeru od početka strelice do njenog kraja):
12:10=x:3,5
Da biste pronašli , trebate podijeliti proizvod ekstremnih članova poznatim srednjim članom:
To znači da će biti potrebno 4,2 kg metala.
Odgovor: 4,2 kg.
2) Za 15 metara tkanine platili su 1680 rubalja. Koliko košta 12 metara takve tkanine?
(1. U popunjenu kolonu postavite strelicu u smjeru od najvećeg prema najmanjem.
2. Što manje tkanine kupite, manje morate platiti za nju. To znači da je ovo direktno proporcionalan odnos.
3. Dakle, druga strelica je u istom smjeru kao i prva).
Neka x rubalja košta 12 metara tkanine. Napravimo proporciju (od početka strelice do njenog kraja):
15:12=1680:x
Da biste pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, podijelite proizvod srednjih članova poznatim ekstremnim članom proporcije:
To znači da 12 metara košta 1344 rubalja.
Odgovor: 1344 rubalja.
Možemo beskrajno pričati o prednostima učenja pomoću video lekcija. Prvo, jasno i razumljivo, dosljedno i strukturirano iznose svoje misli. Drugo, za njih je potrebno određeno vrijeme i nisu, često su dugotrajni i dosadni. Treće, oni su za učenike uzbudljiviji od redovnih časova na koje su navikli. Možete ih pogledati u mirnoj atmosferi.
U mnogim zadacima iz predmeta matematika učenici 6. razreda će se suočiti sa direktnim i obrnuto proporcionalnim odnosima. Prije nego što počnete proučavati ovu temu, vrijedno je zapamtiti koje su proporcije i koja osnovna svojstva imaju.
Prethodna video lekcija posvećena je temi "Proporcije". Ovaj je logičan nastavak. Vrijedi napomenuti da je tema prilično važna i često se susreće. Vrijedi ga pravilno razumjeti jednom za svagda.
Kako bi se pokazala važnost teme, video lekcija počinje zadatkom. Stanje se pojavljuje na ekranu i najavljuje ga spiker. Snimak podataka je dat u obliku neke vrste dijagrama kako bi učenik koji gleda video snimak što bolje razumio. Bilo bi bolje da se u početku pridržava ovog oblika snimanja.
Nepoznato, kao što je uobičajeno u većini slučajeva, označava se latiničnim slovom x. Da biste ga pronašli, prvo morate pomnožiti vrijednosti unakrsno. Tako će se dobiti jednakost dva omjera. To sugerira da to ima veze s proporcijama i vrijedno je zapamtiti njihovo glavno svojstvo. Imajte na umu da su sve vrijednosti prikazane u istoj mjernoj jedinici. Inače ih je bilo potrebno svesti na jednu dimenziju.
Nakon što pogledate metodu rješenja u videu, ne biste trebali imati poteškoća s takvim problemima. Najavljivač komentira svaki potez, objašnjava sve radnje i prisjeća se proučenog materijala koji se koristi.
Odmah nakon gledanja prvog dijela video lekcije „Direktne i obrnute proporcionalne zavisnosti“, možete zamoliti učenika da riješi isti problem bez nagoveštaja. Nakon toga, možete ponuditi alternativni zadatak.
U zavisnosti od mentalne sposobnosti studenta, možete postepeno povećavati složenost narednih zadataka.
Nakon prvog razmatranog problema, data je definicija direktno proporcionalnih veličina. Definiciju čita spiker. Glavni koncept je istaknut crvenom bojom.
Zatim se demonstrira još jedan problem na osnovu kojeg se objašnjava obrnuto proporcionalni odnos. Najbolje je da učenik ove pojmove zapiše u svesku. Ako je potrebno, prije testovi, učenik može lako pronaći sva pravila i definicije i ponovo ih pročitati.
Nakon gledanja ovog videa, učenik 6. razreda će shvatiti kako koristiti proporcije u određenim zadacima. Ovo je prilično važna tema koju ni u kom slučaju ne treba propustiti. Ako učenik nije u stanju da sagleda gradivo koje je nastavnik prezentirao tokom časa među ostalim učenicima, onda će takvi obrazovni resursi biti veliki spas!
Primjer
1,6 / 2 = 0,8;4 / 5 = 0,8;
5,6 / 7 = 0,8, itd. Faktor proporcionalnosti Konstantni odnos proporcionalnih veličina se naziva
faktor proporcionalnosti
faktor proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko je jedinica jedne veličine po jedinici druge. Direktna proporcionalnost- funkcionalna zavisnost, u kojoj određena veličina zavisi od druge veličine na način da njihov odnos ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju
proporcionalno
, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dvaput promijeni u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.(Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:) = fMatematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:,f = xacon
s
t Inverzna proporcionalnost
Inverzna proporcionalnost - ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije). Matematički
inverzna proporcionalnost
je napisano kao formula:
Svojstva funkcije: