مستوى اول

المتوالية الهندسية. دليل شامل بأمثلة (2019)

تسلسل رقمي

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. علي سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

في حالتنا هذه:

أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي العمليات الحسابية والهندسية. في هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - المتوالية الهندسية.

لماذا نحتاج إلى التقدم الهندسي وتاريخه.

حتى في العصور القديمة ، تعامل عالم الرياضيات الإيطالي ، الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) ، مع الاحتياجات العملية للتجارة. واجه الراهب مهمة تحديد ما هو أصغر عدد من الأوزان يمكن استخدامه لوزن البضائع؟ يثبت فيبوناتشي في كتاباته أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذه واحدة من المواقف الأولى التي كان على الناس فيها التعامل مع التقدم الهندسي ، والتي ربما سمعت عنها ولديك على الأقل فكرة عامة عنها. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا ، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟

في الوقت الحاضر ، في ممارسة الحياة ، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك ، عندما يتم تحميل مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. بمعنى آخر ، إذا قمت بوضع أموال على وديعة لأجل في بنك ادخار ، فإن الوديعة ستزيد خلال عام من المبلغ الأصلي ، أي سيكون المبلغ الجديد مساويًا للمساهمة مضروبة في. في عام آخر ، سيزداد هذا المبلغ بمقدار ، أي. يتم ضرب المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف حالة مماثلة في مشاكل الحوسبة ما يسمى ب الفائدة المركبة- تؤخذ النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود على الحساب مع مراعاة الفائدة السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.

هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها تطبيق التقدم الهندسي. على سبيل المثال ، انتشار الإنفلونزا: قام شخص ما بإصابة شخص ما ، وقام بدوره بإصابة شخص آخر ، وبالتالي الموجة الثانية من العدوى - شخص ، وقاموا بدورهم بإصابة شخص آخر ... وهكذا .. .

بالمناسبة ، الهرم المالي ، نفس MMM ، هو حساب بسيط وجاف وفقًا لخصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا نفهم ذلك.

المتوالية الهندسية.

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:

ستجيب على الفور أنه سهل وأن اسم مثل هذا التسلسل هو تقدم حسابي مع اختلاف أعضائه. ماذا عن شيء مثل هذا:

إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم التالي ، فسترى أنه في كل مرة تحصل على فرق جديد (وما إلى ذلك) ، ولكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - كل رقم تالي يكون أكبر بمرات من الرقم السابق !

هذا النوع من التسلسل يسمى المتوالية الهندسيةويتم وضع علامة.

التقدم الهندسي () هو متتالية عددية ، الحد الأول منها يختلف عن الصفر ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس العدد. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.

القيود التي تشير إلى أن المصطلح الأول () ليس مساويًا وليست عشوائية. لنفترض أنه لا يوجد شيء ، والمصطلح الأول لا يزال متساويًا ، و q هو ، hmm .. دعنا نتضح:

توافق على أن هذا ليس تقدمًا.

كما تفهم ، سوف نحصل على نفس النتائج إذا كان أي رقم بخلاف الصفر ، ولكن. في هذه الحالات ، لن يكون هناك تقدم ببساطة ، لأن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما جميع الأصفار ، أو رقم واحد ، وجميع الأصفار المتبقية.

الآن دعونا نتحدث بمزيد من التفاصيل عن مقام التقدم الهندسي ، أي حول.

دعنا نكرر: - هذا رقم ، كم مرة يتغير كل مصطلح لاحقالمتوالية الهندسية.

ماذا تعتقد يمكن أن يكون؟ هذا صحيح ، إيجابي وسلبي ، لكن ليس صفرًا (تحدثنا عن هذا أعلى قليلاً).

لنفترض أن لدينا إيجابية. دعونا في حالتنا ، أ. ما هو المصطلح الثاني و؟ يمكنك بسهولة الإجابة على ما يلي:

حسنا. وفقًا لذلك ، إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - هم إيجابي.

ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال ، أ. ما هو المصطلح الثاني و؟

إنها قصة مختلفة تمامًا

حاول أن تحسب مصطلح هذا التقدم. كم لم تحصل عليه؟ أملك. وبالتالي ، إذا ، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي ، إذا رأيت تقدمًا بعلامات بديلة في أعضائها ، فإن قاسمها يكون سالبًا. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة في اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

الآن دعنا نتدرب قليلاً: حاول تحديد أي متواليات رقمية هي تسلسل هندسي وأيها تسلسل حسابي:

فهمتك؟ قارن إجاباتنا:

• التقدم الهندسي - 3 ، 6.
• التقدم الحسابي - 2 ، 4.
• إنه ليس تطورًا حسابيًا ولا هندسيًا - 1 ، 5 ، 7.

دعنا نعود إلى التقدم الأخير ، ودعونا نحاول إيجاد حده بنفس الطريقة كما في الحساب. كما قد تكون خمنت ، هناك طريقتان للعثور عليه.

نضرب كل حد على التوالي في.

إذن ، العضو -th في التقدم الهندسي الموصوف يساوي.

كما تخمن بالفعل ، ستشتق الآن معادلة تساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل سبق لك أن أخرجته لنفسك ، واصفة كيفية العثور على العضو ال على مراحل؟ إذا كان الأمر كذلك ، فتحقق من صحة تفكيرك.

دعنا نوضح ذلك بمثال العثور على العضو -th في هذا التقدم:

بعبارات أخرى:

اكتشف لنفسك قيمة عضو في تقدم هندسي معين.

حدث؟ قارن إجاباتنا:

انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما ضربنا على التوالي كل عضو سابق في التقدم الهندسي.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فنحن نضعها في شكل عام ونحصل على:

الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الموجبة والسالبة. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط التقدم الهندسي بالشروط التالية: أ.

هل تحسب؟ دعونا نقارن النتائج:

توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على عضو في التقدم بنفس طريقة العضو ، ومع ذلك ، هناك احتمال لسوء التقدير. وإذا وجدنا بالفعل الحد الخامس للتقدم الهندسي ، أ ، فما الذي يمكن أن يكون أسهل من استخدام الجزء "المبتور" من الصيغة.

تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.

في الآونة الأخيرة ، تحدثنا عن ما يمكن أن يكون أكبر أو أقل من الصفر ، ومع ذلك ، هناك قيم خاصة يُطلق عليها اسم التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي.

لماذا تعتقد أنه يحمل مثل هذا الاسم؟
بادئ ذي بدء ، دعنا نكتب بعض التقدم الهندسي المكون من أعضاء.
دعنا نقول ، إذن:

نرى أن كل مصطلح لاحق أقل من السابق في الأوقات ، لكن هل سيكون هناك أي رقم؟ تجيب على الفور - "لا". هذا هو سبب التناقص اللامتناهي - النقصان ، النقصان ، لكن لا يصبح صفرًا أبدًا.

لفهم ما يبدو عليه هذا بصريًا بوضوح ، دعنا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذلك ، في حالتنا ، تأخذ الصيغة الشكل التالي:

في الرسوم البيانية ، اعتدنا أن نبني الاعتماد على:

لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول ، أظهرنا اعتماد قيمة عضو التقدم الهندسي على رقمه الترتيبي ، وفي الإدخال الثاني ، أخذنا ببساطة قيمة عضو التقدم الهندسي لـ ، و تم تعيين الرقم الترتيبي ليس كـ ، ولكن كـ. كل ما تبقى هو رسم الرسم البياني.
دعونا نرى ما حصل. هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:

يرى؟ تتناقص الدالة ، وتميل إلى الصفر ، ولكنها لا تتجاوزها أبدًا ، لذا فهي تتناقص بلا حدود. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني ، وفي نفس الوقت ماذا يعني الإحداثي:

حاول رسم رسم بياني للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان المصطلح الأول متساويًا أيضًا. تحليل ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق لدينا؟

هل تستطيع فعلها؟ هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:

الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع التقدم الهندسي: أنت تعرف ما هو ، وتعرف كيفية العثور على المصطلح الخاص به ، وأنت تعرف أيضًا ما هو التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، دعنا ننتقل إلى خاصيته الرئيسية.

خاصية التقدم الهندسي.

هل تتذكر خاصية أعضاء التقدم الحسابي؟ نعم ، نعم ، كيف تجد قيمة عدد معين من التقدم عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لأعضاء هذا التقدم. تذكرت؟ هذه:

نحن الآن نواجه نفس السؤال تمامًا عن شروط التقدم الهندسي. لاشتقاق مثل هذه الصيغة ، لنبدأ في الرسم والاستدلال. سترى ، الأمر سهل للغاية ، وإذا نسيت ، يمكنك إخراجه بنفسك.

لنأخذ تقدمًا هندسيًا بسيطًا آخر نعرفه و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي ، يكون هذا سهلًا وبسيطًا ، ولكن كيف يتم هنا؟ في الواقع ، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى رسم كل قيمة مُعطاة لنا وفقًا للصيغة.

أنت تسأل ، والآن ماذا نفعل بها؟ نعم ، بسيط جدا. بادئ ذي بدء ، دعنا نصور هذه الصيغ في الشكل ، ونحاول إجراء العديد من التلاعبات بها من أجل الوصول إلى قيمة.

نحن نستخرج من الأرقام التي حصلنا عليها ، سنركز فقط على تعبيرها من خلال صيغة. علينا إيجاد القيمة المميزة باللون البرتقالي ، مع معرفة الحدود المجاورة لها. دعنا نحاول تنفيذ إجراءات مختلفة معهم ، ونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.

إضافة.
دعنا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:

من هذا التعبير ، كما ترى ، لن نتمكن من التعبير بأي شكل من الأشكال ، لذلك سنجرب خيارًا آخر - الطرح.

الطرح.

كما ترى ، لا يمكننا التعبير عن هذا أيضًا ، لذلك سنحاول ضرب هذه التعبيرات في بعضنا البعض.

عمليه الضرب.

انظر الآن بعناية إلى ما لدينا ، بضرب شروط التقدم الهندسي المعطى لنا مقارنة بما يجب إيجاده:

خمن ما أتحدث عنه؟ بشكل صحيح ، لإيجاده ، نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لأرقام التقدم الهندسي المجاورة للعدد المطلوب مضروبًا في بعضها البعض:

نحن سوف. أنت نفسك استنتجت خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة بشكل عام. حدث؟

متى نسيت الشرط؟ فكر في سبب أهميته ، على سبيل المثال ، حاول حسابه بنفسك ، على. ما يحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح ، هراء كامل ، لأن الصيغة تبدو كما يلي:

وعليه لا تنسى هذا القيد.

الآن دعونا نحسب ما هو

اجابة صحيحة - ! إذا لم تنسَ القيمة المحتملة الثانية عند الحساب ، فأنت زميل رائع ويمكنك المتابعة على الفور إلى التدريب ، وإذا نسيت ، اقرأ ما تم تحليله أدناه وانتبه إلى سبب وجوب كتابة كلا الجذور في الإجابة .

دعنا نرسم كلاً من التدرجات الهندسية - أحدهما له قيمة والآخر بقيمة ، ونتحقق مما إذا كان كلاهما لهما الحق في الوجود:

من أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا ، من الضروري معرفة ما إذا كان هو نفسه بين جميع أعضائه المعينين؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.

ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن إشارة المصطلح المطلوب تتوقف على ما إذا كانت موجبة أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ماهيته ، علينا كتابة كلتا الإجابتين بعلامة زائد وناقص.

الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت الصيغة الخاصة بخاصية التقدم الهندسي ، ابحث عن ، وعرف و

قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:

ما رأيك ، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم أعضاء التقدم الهندسي المجاور للعدد المطلوب ، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال ، نحن بحاجة إلى إيجاد وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي اشتقناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة ، ووصف ما تتكون منه كل قيمة ، كما فعلت عند اشتقاق الصيغة من البداية ، بـ.
على ماذا حصلت؟

الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبالمقابل:

من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الجواربالشروط المطلوبة للتقدم الهندسي ، ولكن أيضًا مع متساوي البعدمما يبحث عنه الأعضاء.

وهكذا تصبح صيغتنا الأصلية:

أي ، إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى ، نقول الآن إنه يمكن أن يكون مساويًا لأي عدد طبيعي أقل. الشيء الرئيسي هو أن تكون متماثلًا لكلا الرقمين المعينين.

تدرب على أمثلة محددة ، فقط كن حذرًا للغاية!

1. و. لايجاد.
2. و. لايجاد.
3. و. لايجاد.

لقد اتخذت القرار؟ أتمنى أن تكون منتبهاً للغاية ولاحظت مشكلة صغيرة.

نحن نقارن النتائج.

في الحالتين الأوليين ، نطبق الصيغة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:

في الحالة الثالثة ، بعد دراسة دقيقة للأرقام التسلسلية للأرقام المعطاة لنا ، نفهم أنها ليست متساوية مع الرقم الذي نبحث عنه: إنه الرقم السابق ، ولكن تم إزالته في الموضع ، لذلك لا يمكن لتطبيق الصيغة.

كيف حلها؟ في الواقع ليس الأمر صعبًا كما يبدو! دعنا نكتب معك ما يتكون منه كل رقم معطى لنا والرقم المطلوب.

لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا فعله معهم. أقترح تقسيم. نحن نحصل:

نستبدل بياناتنا في الصيغة:

الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها - لهذا علينا أخذ الجذر التكعيبي للعدد الناتج.

الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ، ولكن علينا أن نجد ، وهذا بدوره يساوي:

وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:

جوابنا: .

حاول حل مشكلة أخرى بنفسك:
منح: ،
لايجاد:

كم لم تحصل عليه؟ أملك - .

كما ترون ، في الواقع ، أنت بحاجة تذكر صيغة واحدة فقط-. كل ما تبقى يمكنك الانسحاب دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك ، اكتب ببساطة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق واكتب ما ، وفقًا للصيغة أعلاه ، كل رقم من أرقامها يساوي.

مجموع شروط التقدم الهندسي.

الآن ضع في اعتبارك الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع شروط التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:

لاشتقاق صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المحدود ، نضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه في. نحن نحصل:

انظر عن كثب: ما هو القاسم المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح ، الأعضاء العاديون ، على سبيل المثال وما إلى ذلك ، باستثناء العضو الأول والأخير. دعنا نحاول طرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية. على ماذا حصلت؟

عبر الآن من خلال صيغة عضو في التقدم الهندسي واستبدل التعبير الناتج في صيغتنا الأخيرة:

تجميع التعبير. يجب ان تحصل على:

كل ما تبقى هو التعبير عن:

تبعا لذلك ، في هذه الحالة.

ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل إذن؟ تخيل تقدمًا هندسيًا عند. كيف تبدو؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة بشكل صحيح ، على التوالي ، ستبدو الصيغة كما يلي:

كما هو الحال مع التقدم الحسابي والهندسي ، هناك العديد من الأساطير. واحد منهم هو أسطورة سيث ، خالق الشطرنج.

يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي ، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المواقف الممكنة فيها. عندما علم أنه اخترعها أحد رعاياه ، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. اتصل بالمخترع وأمره أن يطلب منه ما يريد ، واعدًا بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.

طلب سيتا وقتًا للتفكير ، وعندما ظهر في اليوم التالي أمام الملك ، فاجأ الملك بتواضع لا مثيل له في طلبه. طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج ، وقمحًا للمربع الثاني ، والثالث ، والرابع ، وهكذا.

كان الملك غاضبًا وطرد Seth بعيدًا ، قائلاً إن طلب الخادم لا يستحق كرم الملك ، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبيباته مقابل جميع خلايا اللوحة.

والسؤال الآن هو: باستخدام صيغة مجموع أعضاء التقدم الهندسي ، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يتلقاها Seth؟

لنبدأ بالمناقشة. نظرًا لأن سيث ، وفقًا للشرط ، طلب حبة قمح للخلية الأولى من رقعة الشطرنج ، للخلية الثانية ، للخلية الثالثة ، للرابع ، إلخ ، نرى أن المشكلة تتعلق بالتقدم الهندسي. ما هو المتساوي في هذه الحالة؟
بشكل صحيح.

مجموع خلايا رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات ، يبقى فقط الاستبدال في الصيغة والحساب.

لتمثيل "مقاييس" رقم معين على الأقل تقريبًا ، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:

بالطبع ، إذا أردت ، يمكنك أن تأخذ آلة حاسبة وتحسب نوع الرقم الذي ستنتهي به ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتعين عليك أن تأخذ كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
بمعنى آخر:

كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.

فوه) إذا كنت تريد تخيل ضخامة هذا الرقم ، فعليك تقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
مع ارتفاع الحظيرة م وعرض م ، يجب أن يمتد طولها إلى كيلومتر ، أي ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.

إذا كان الملك قويًا في الرياضيات ، فيمكنه أن يعرض على العالم نفسه لعد الحبوب ، لأنه من أجل عد مليون حبة ، سيحتاج على الأقل يومًا من العد الدؤوب ، وبالنظر إلى أنه من الضروري عد الكوينتيليونات ، يجب أن تحسب الحبوب طوال حياته.

والآن سنحل مسألة بسيطة تتعلق بمجموع حدود التقدم الهندسي.
أصيب فاسيا ، طالب الصف الخامس ، بالأنفلونزا ، لكنه استمر في الذهاب إلى المدرسة. كل يوم ، يصيب فاسيا شخصين يصيبان بدوره شخصين آخرين ، وهكذا دواليك. فقط شخص واحد في الفصل. في كم يوم سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟

إذن ، أول عضو في التقدم الهندسي هو فاسيا ، أي شخص. العضو العاشر في التقدم الهندسي ، هذان الشخصان اللذان أصابهما في اليوم الأول من وصوله. المجموع الإجمالي لأعضاء التقدم يساوي عدد الطلاب 5A. وفقًا لذلك ، نحن نتحدث عن تقدم يتم فيه:

دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغة لمجموع شروط التقدم الهندسي:

سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تؤمن بالصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "إصابة" الطلاب بنفسك. حدث؟ انظر كيف تبدو بالنسبة لي:

احسب لنفسك عدد الأيام التي سيصاب فيها الطلاب بالأنفلونزا إذا أصاب الجميع شخصًا ما ، وكان هناك شخص في الفصل.

ما هي القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأوا يمرضون بعد يوم.

كما ترون ، فإن مثل هذه المهمة والرسم لها يشبه الهرم ، حيث "يجلب" كل شخص لاحقًا أشخاصًا جددًا. ومع ذلك ، عاجلاً أم آجلاً ، تأتي لحظة لا يستطيع فيها الأخير جذب أي شخص. في حالتنا ، إذا تخيلنا أن الفصل معزول ، فإن الشخص من يغلق السلسلة (). وبالتالي ، إذا كان شخص ما متورطًا في هرم مالي تم تقديم المال فيه إذا أحضرت مشاركين آخرين ، فلن يقوم الشخص (أو في الحالة العامة) بإحضار أي شخص ، على التوالي ، سيخسر كل ما استثمره في عملية الاحتيال المالية هذه .

كل ما قيل أعلاه يشير إلى تناقص أو زيادة التقدم الهندسي ، ولكن كما تتذكر ، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. كيف تحسب مجموع أعضائها؟ ولماذا هذا النوع من التقدم له ميزات معينة؟ دعونا نفهمها معا.

لذا ، بالنسبة للمبتدئين ، دعونا ننظر مرة أخرى إلى هذه الصورة للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:

والآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي ، المشتقة قبل ذلك بقليل:
أو

ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح ، يوضح الرسم البياني أنه يميل إلى الصفر. أي عندما تكون متساوية تقريبًا ، على التوالي ، عند حساب التعبير ، سنحصل تقريبًا. في هذا الصدد ، نعتقد أنه عند حساب مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يمكن إهمال هذه الشريحة ، لأنها ستكون متساوية.

- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.

الأهمية!لا نستخدم صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحةً على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع بلا نهايةعدد الأعضاء.

إذا تمت الإشارة إلى رقم محدد n ، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حد n ، حتى لو أو.

والآن دعونا نتدرب.

1. أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي مع و.
2. أوجد مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود باستخدام و.

أتمنى أن تكون حذرا جدا. قارن إجاباتنا:

الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي ، وقد حان الوقت للانتقال من النظرية إلى الممارسة. المشاكل الأسية الأكثر شيوعًا الموجودة في الاختبار هي مشاكل الفائدة المركبة. سنتحدث عنهم.

مشاكل حساب الفائدة المركبة.

لابد أنك سمعت عن ما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ما تعنيه؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فلنكتشف ذلك ، لأنك بعد أن أدركت العملية نفسها ، ستفهم على الفور ما يجب أن يفعله التقدم الهندسي بها.

نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك شروطًا مختلفة للودائع: هذا هو المصطلح ، والصيانة الإضافية ، والفائدة بطريقتين مختلفتين لحسابها - بسيطة ومعقدة.

مع مصلحة بسيطةكل شيء واضح إلى حد ما: يتم تحصيل الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. أي ، إذا كنا نتحدث عن وضع 100 روبل سنويًا أقل من ذلك ، فسيتم تقييدها فقط في نهاية العام. وفقًا لذلك ، بحلول نهاية الإيداع ، سوف نتلقى روبل.

الفائدة المركبةهو الخيار الذي رسملة الفائدة، بمعنى آخر. إضافتهم إلى مبلغ الوديعة والحساب اللاحق للدخل ليس من المبلغ الأولي ، ولكن من المبلغ المتراكم للإيداع. لا تحدث الكتابة بالأحرف الكبيرة باستمرار ، ولكن مع بعض التواتر. كقاعدة عامة ، تكون هذه الفترات متساوية ، وغالبًا ما تستخدم البنوك شهرًا أو ربعًا أو سنة.

لنفترض أننا وضعنا كل الروبلات نفسها سنويًا ، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نحصل؟

هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن كذلك ، فلنأخذ الأمر خطوة بخطوة.

أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر ، يجب أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من روبلنا بالإضافة إلى الفائدة عليه ، أي:

أنا موافق؟

يمكننا إخراجها من القوس ثم نحصل على:

موافق ، هذه الصيغة تشبه بالفعل الصيغة التي كتبناها في البداية. يبقى التعامل مع النسب المئوية

في حالة حدوث المشكلة ، يتم إخبارنا عن السنوي. كما تعلم ، نحن لا نضرب في - نقوم بتحويل النسب المئوية إلى كسور عشرية ، أي:

حق؟ الآن تسأل ، من أين أتى الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: حالة المشكلة تقول عنها سنويالفوائد المستحقة شهريا. كما تعلم ، في غضون عام من الأشهر ، على التوالي ، سيخصم البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:

أدرك؟ حاول الآن كتابة الشكل الذي سيبدو عليه هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة تحسب يوميًا.
هل تستطيع فعلها؟ دعونا نقارن النتائج:

أتقنه! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا للشهر الثاني ، مع الأخذ في الاعتبار أن الفائدة يتم خصمها على مبلغ الإيداع المتراكم.
هذا ما حدث لي:

أو بعبارة أخرى:

أعتقد أنك قد لاحظت بالفعل نمطًا ورأيت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سيساوي أعضائه ، أو بعبارة أخرى ، مقدار الأموال التي سنحصل عليها في نهاية الشهر.
صنع؟ تدقيق!

كما ترى ، إذا وضعت أموالًا في أحد البنوك لمدة عام بفائدة بسيطة ، فستتلقى روبل ، وإذا وضعتها بسعر مركب ، فستتلقى روبل. الفائدة صغيرة ، لكن هذا يحدث فقط خلال العام الثالث ، ولكن لفترة أطول ، تكون الرسملة أكثر ربحية:

ضع في اعتبارك نوعًا آخر من مشاكل الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته ، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. لذا فإن المهمة هي:

بدأت Zvezda الاستثمار في الصناعة في عام 2000 برأس مال بالدولار. في كل عام منذ عام 2001 ، حققت ربحًا يساوي رأس مال العام السابق. ما مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة Zvezda في نهاية عام 2003 ، إذا لم يتم سحب الربح من التداول؟

عاصمة شركة زفيزدا عام 2000.
- عاصمة شركة زفيزدا عام 2001.
- عاصمة شركة زفيزدا عام 2002.
- عاصمة شركة زفيزدا 2003.

أو يمكننا أن نكتب باختصار:

لحالتنا:

2000 و 2001 و 2002 و 2003.

على التوالى:
روبل
لاحظ أنه في هذه المشكلة ليس لدينا قسمة إما بواسطة أو بواسطة ، حيث يتم إعطاء النسبة المئوية سنويًا ويتم احتسابها سنويًا. أي عند قراءة مشكلة الفائدة المركبة ، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة ، وفي أي فترة يتم تحصيلها ، وبعد ذلك فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.

اكتشف - حل.

1. ابحث عن مصطلح للتقدم الهندسي إذا كان معروفًا ، و
2. أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي ، إذا كان معروفًا ذلك ، و
3. بدأت MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003 برأس مال بالدولار. في كل عام منذ عام 2004 ، حققت ربحًا يساوي رأس مال العام السابق. بدأت شركة "MSK Cash Flows" الاستثمار في الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار ، وبدأت في تحقيق ربح في عام 2006 بمبلغ. ما هو عدد الدولارات التي يفوق رأس مال شركة واحدة رأس مال شركة أخرى في نهاية عام 2007 ، إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟

الإجابات:

1. نظرًا لأن حالة المشكلة لا تنص على أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب للعثور على مجموع عدد معين من أعضائها ، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
2. 
   شركة "MDM Capital":

   2003 ، 2004 ، 2005 ، 2006 ، 2007.
   - يزيد بنسبة 100٪ أي مرتين.
   على التوالى:
   روبل
   التدفقات النقدية لل MSK:

   2005 ، 2006 ، 2007.
   - يزيد بمقدار مرات.
   على التوالى:
   روبل
   روبل

دعونا نلخص.

1) التقدم الهندسي () هو تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر ، وكل حد يبدأ من الثاني يساوي السابق مضروبًا في نفس العدد. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.

2) معادلة أعضاء التدرج الهندسي -.

3) يمكن أن تأخذ أي قيمة ، باستثناء و.

• إذا ، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم لديهم نفس العلامة - هم إيجابي;
• إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة
• عندما - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.

4) ، في - خاصية التقدم الهندسي (الشروط المجاورة)

أو
، في (شروط متساوية البعد)

عندما تجدها ، لا تنسى ذلك يجب أن يكون هناك إجابتان..

علي سبيل المثال،

5) يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الهندسي بالصيغة:
أو

إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي ، فحينئذٍ:
أو

الأهمية!لا نستخدم الصيغة الخاصة بمجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحة على أنه من الضروري إيجاد مجموع عدد لا نهائي من المصطلحات.

6) تُحسب أيضًا مهام الفائدة المركبة وفقًا لصيغة العضو العاشر في التعاقب الهندسي ، بشرط ألا يتم سحب الأموال من التداول:

المتوالية الهندسية. باختصار حول الرئيسي

المتوالية الهندسية() هو متتالية عددية ، الحد الأول منها يختلف عن الصفر ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي السابق ، مضروبًا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.

مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.

• إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - فهم إيجابيون ؛
• إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة ؛
• عندما - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.

معادلة أعضاء التقدم الهندسي - .

مجموع شروط التقدم الهندسيمحسوبة بالصيغة:
أو

تأمل الآن في مسألة تلخيص التقدم الهندسي اللانهائي. دعونا نطلق على المجموع الجزئي لتقدم لانهائي معين مجموع شروطه الأولى. قم بالإشارة إلى المجموع الجزئي بالرمز

لكل تقدم لا حصر له

يمكن للمرء أن يؤلف سلسلة (لانهائية أيضًا) لمجموعها الجزئية

دع التسلسل مع زيادة غير محدودة له حدود

في هذه الحالة ، الرقم S ، أي حد المبالغ الجزئية للتقدم ، يسمى مجموع التقدم اللانهائي. سوف نثبت أن التدرج الهندسي المتناقص اللانهائي له دائمًا مجموع ، ونشتق صيغة لهذا المجموع (يمكننا أيضًا أن نظهر أنه بالنسبة للتقدم اللانهائي ليس له مجموع ، أو غير موجود).

نكتب التعبير عن المجموع الجزئي كمجموع أعضاء التقدم وفقًا للصيغة (91.1) ونأخذ في الاعتبار حد المجموع الجزئي عند

من نظرية البند 89 ، من المعروف أنه للتقدم المتناقص ؛ لذلك ، بتطبيق نظرية حد الفرق ، نجد

(تُستخدم القاعدة هنا أيضًا: يتم إخراج العامل الثابت من علامة الحد). تم إثبات الوجود ، وفي نفس الوقت يتم الحصول على صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود:

يمكن أيضًا كتابة المساواة (92.1) كـ

هنا قد يبدو التناقض أن يتم تخصيص قيمة محدودة محددة جيدًا لمجموع مجموعة لا نهائية من المصطلحات.

يمكن إعطاء توضيح واضح لشرح هذا الموقف. اعتبر مربعًا ضلعًا يساوي واحدًا (الشكل 72). دعونا نقسم هذا المربع بخط أفقي إلى جزأين متساويين ونطبق الجزء العلوي على الجزء السفلي بحيث يتكون مستطيل من الجانبين 2 و. بعد ذلك ، نقسم النصف الأيمن من هذا المستطيل مرة أخرى إلى النصف بخط أفقي ونربط الجزء العلوي بالجزء السفلي (كما هو موضح في الشكل 72). استمرارًا لهذه العملية ، نقوم باستمرار بتحويل المربع الأصلي بمساحة تساوي 1 إلى أشكال متساوية الحجم (تأخذ شكل سلم بخطوات رقيق).

مع استمرار لانهائي لهذه العملية ، تتحلل مساحة المربع بالكامل إلى عدد لا نهائي من المصطلحات - مناطق المستطيلات ذات القواعد التي تساوي 1 والارتفاعات. وتشكل مناطق المستطيلات تقدمًا متناقصًا لانهائيًا ، مجموعها

أي ، كما هو متوقع ، تساوي مساحة المربع.

مثال. ابحث عن مجموع التسلسلات اللانهائية التالية:

الحل أ) نلاحظ أن هذا التقدم لذلك نجد بالصيغة (92.2)

ب) هذا يعني أنه بنفس الصيغة (92.2) لدينا

ج) نجد أن هذا التقدم لذلك ، هذا التقدم ليس له مجموع.

في القسم 5 ، تم عرض تطبيق الصيغة لمجموع شروط التقدم المتناقص بشكل لا نهائي لتحويل كسر عشري دوري إلى كسر عادي.

تمارين

1. مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل غير محدود هو 3/5 ، ومجموع حدوده الأربعة الأولى هو 13/27. أوجد الحد الأول والمقام في التقدم.

2. أوجد أربعة أعداد تشكل تعاقبًا هندسيًا متبادلًا يكون فيه الحد الثاني أقل من الأول بمقدار 35 ، والثالث أكبر من الرابع بمقدار 560.

3. عرض ماذا لو تسلسل

يشكل تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ، ثم التسلسل

لأي شكل من أشكال التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي. هل هذا التأكيد يحمل ل

اشتق معادلة حاصل ضرب شروط التقدم الهندسي.

المتتاليات العددية VI

§ ل 48. مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي

حتى الآن ، عند الحديث عن المبالغ ، افترضنا دائمًا أن عدد المصطلحات في هذه المبالغ محدود (على سبيل المثال ، 2 ، 15 ، 1000 ، إلخ). ولكن عند حل بعض المشكلات (خاصة الرياضيات العليا) ، يتعين على المرء التعامل مع مبالغ عدد لا حصر له من المصطلحات

S = أ 1 + أ 2 + ... + أ ن + ... . (1)

ما هذه المبالغ؟ الدير مجموع عدد لا حصر له من المصطلحات أ 1 , أ 2 , ..., أ ن ، ... يسمى حد المجموع S. ن أول ص الأرقام متى ص -> ∞ :

S = S. ن = (أ 1 + أ 2 + ... + أ ن ). (2)

بالطبع ، قد يكون الحد (2) موجودًا وقد لا يكون موجودًا. وفقًا لذلك ، يُقال أن المجموع (1) موجود أو غير موجود.

كيف تعرف ما إذا كان المجموع (1) موجودًا في كل حالة على حدة؟ يتجاوز الحل العام لهذا السؤال نطاق برنامجنا. ومع ذلك ، هناك حالة خاصة واحدة مهمة يتعين علينا النظر فيها الآن. سنتحدث عن مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.

اسمحوا ان أ 1 , أ 1 ف , أ 1 ف 2 ، ... هو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. هذا يعني أن | ف |< 1. Сумма первых ص أعضاء هذا التقدم يساوي

من النظريات الأساسية حول حدود المتغيرات (انظر الفقرة 136) نحصل على:

لكن 1 = 1 ، أ ف ن = 0. لذلك

إذن ، مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود يساوي الحد الأول من هذا التقدم مقسومًا على واحد ناقص مقام هذا التقدم.

1) مجموع التقدم الهندسي 1 ، 1/3 ، 1/9 ، 1/27 ، ... هو

ومجموع التقدم الهندسي هو 12 ؛ -6 ؛ 3 ؛ - 3/2 ، ... يساوي

2) كسر دوري بسيط 0.454545 ... يتحول إلى كسر عادي.

لحل هذه المشكلة ، نمثل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:

الجانب الأيمن من هذه المساواة هو مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، المصطلح الأول منه هو 45/100 والمقام 1/100. لذا

بالطريقة الموصوفة ، يمكن أيضًا الحصول على القاعدة العامة لتحويل الكسور الدورية البسيطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني ، الفقرة 38):

لتحويل كسر دوري بسيط إلى كسر عادي ، تحتاج إلى المضي قدمًا على النحو التالي: ضع فترة الكسر العشري في البسط ، وفي المقام - عدد يتكون من تسع مرات مأخوذ من عدد من الأرقام في الفترة من الكسر العشري.

3) الكسر الدوري المختلط 0.58333 .... يتحول إلى كسر عادي.

دعنا نمثل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:

على الجانب الأيمن من هذه المساواة ، تشكل جميع المصطلحات ، بدءًا من 3/1000 ، تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ، الحد الأول منه هو 3/1000 ، والمقام هو 1/10. لذا

بالطريقة الموصوفة ، يمكن أيضًا الحصول على القاعدة العامة لتحويل الكسور الدورية المختلطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني ، الفقرة 38). نحن عمدا لا ندرجها هنا. ليست هناك حاجة لحفظ هذه القاعدة المرهقة. من المفيد أكثر معرفة أن أي كسر دوري مختلط يمكن تمثيله كمجموع للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي وبعض الأرقام. والصيغة

لمجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يجب على المرء ، بالطبع ، أن يتذكر.

كتدريب ، ندعوك ، بالإضافة إلى المشاكل رقم 995-1000 أدناه ، للعودة مرة أخرى إلى المشكلة رقم 301 § 38.

تمارين

995. ما يسمى مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود؟

996- أوجد مبالغ للتعاقب الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي:

997. لما القيم X تقدم

يتناقص بلا حدود؟ ابحث عن مجموع مثل هذا التقدم.

998. في مثلث متساوي الأضلاع مع ضلع أ يتم تسجيل مثلث جديد عن طريق توصيل نقاط المنتصف من جوانبه ؛ يتم كتابة مثلث جديد في هذا المثلث بنفس الطريقة ، وهكذا إلى ما لا نهاية.

أ) مجموع محيط كل هذه المثلثات ؛

ب) مجموع مناطقهم.

999. في مربع مع ضلع أ مربع جديد منقوش عن طريق ربط نقاط المنتصف من جوانبه ؛ مربع مكتوب في هذا المربع بنفس الطريقة ، وهكذا إلى ما لا نهاية. أوجد مجموع محيط كل هذه المربعات ومجموع مساحتها.

1000. قم بعمل تسلسل هندسي متناقص بشكل لا نهائي ، بحيث يكون مجموعها 25/4 ، ومجموع مربعات حدودها يساوي 625/24.

الرياضيات مايتحكم الناس في الطبيعة وأنفسهم.

عالم الرياضيات والأكاديمي السوفيتي أ. كولموغوروف

المتوالية الهندسية.

إلى جانب مهام التدرجات الحسابية ، فإن المهام المتعلقة بمفهوم التقدم الهندسي شائعة أيضًا في اختبارات القبول في الرياضيات. لحل مثل هذه المشكلات بنجاح ، تحتاج إلى معرفة خصائص التقدم الهندسي ولديك مهارات جيدة في استخدامها.

هذه المقالة مخصصة لعرض الخصائص الرئيسية للتقدم الهندسي. كما يقدم أمثلة على حل المشكلات النموذجية, اقترضت من مهام اختبارات القبول في الرياضيات.

دعونا نلاحظ بشكل مبدئي الخصائص الرئيسية للتقدم الهندسي ونتذكر أهم الصيغ والبيانات, المرتبطة بهذا المفهوم.

تعريف.يسمى التسلسل العددي بالتتابع الهندسي إذا كان كل رقم من أرقامه ، بدءًا من الثاني ، مساويًا للرقم السابق ، مضروبًا في نفس الرقم. يسمى الرقم مقام التقدم الهندسي.

للحصول على تقدم هندسيالصيغ صالحة

, (1)

أين . تسمى الصيغة (1) صيغة المصطلح العام للتقدم الهندسي ، والصيغة (2) هي الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي: يتطابق كل عضو في التقدم مع الوسط الهندسي لأعضائه المجاورين و.

ملحوظة، أنه بسبب هذه الخاصية تحديدًا ، يُطلق على التقدم المعني اسم "هندسي".

تم تلخيص الصيغتين (1) و (2) أعلاه على النحو التالي:

, (3)

لحساب المجموعأول أعضاء التقدم الهندسيالصيغة تنطبق

إذا عيّننا

أين . بما أن الصيغة (6) هي تعميم للصيغة (5).

في حالة متى و المتوالية الهندسيةيتناقص بشكل لا نهائي. لحساب المجموعلجميع أعضاء التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يتم استخدام الصيغة

. (7)

علي سبيل المثال ، باستخدام الصيغة (7) ، يمكن للمرء أن يظهر، ماذا او ما

أين . يتم الحصول على هذه المساواة من الصيغة (7) بشرط أن (المساواة الأولى) و (المساواة الثانية).

نظرية.اذا ثم

دليل - إثبات. اذا ثم ،

لقد تم إثبات النظرية.

دعنا ننتقل إلى النظر في أمثلة لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "التقدم الهندسي".

مثال 1معطى: و. لايجاد .

قرار.إذا تم تطبيق الصيغة (5) ، إذن

إجابه: .

مثال 2اسمحوا و. لايجاد .

قرار.منذ و ، نستخدم الصيغ (5) ، (6) ونحصل على نظام المعادلات

إذا كانت المعادلة الثانية للنظام (9) مقسومة على الأولى، ثم أو. من هذا يتبع . دعونا ننظر في حالتين.

1. إذا ، ثم من المعادلة الأولى للنظام (9) لدينا.

2. إذا ، إذن.

مثال 3اسمحوا و. لايجاد .

قرار.يتبع من الصيغة (2) أن أو. منذ ذلك الحين أو.

حسب الشرط. ومع ذلك ، لذلك. لأن و ، ثم هنا لدينا نظام المعادلات

إذا تم تقسيم المعادلة الثانية للنظام على الأولى ، ثم أو.

منذ ذلك الحين ، فإن المعادلة لها جذر واحد مناسب. في هذه الحالة ، تشير المعادلة الأولى للنظام.

مع الأخذ بعين الاعتبار الصيغة (7) نحصل عليها.

إجابه: .

مثال 4معطى: و. لايجاد .

قرار.منذ ذلك الحين .

لأنه إذن أو

حسب الصيغة (2) لدينا. في هذا الصدد ، من المساواة (10) نحصل أو.

ومع ذلك ، بشرط ، لذلك.

مثال 5ومن المعروف أن. لايجاد .

قرار. وفقًا للنظرية ، لدينا متساويان

منذ ذلك الحين أو. لأنه عندها .

إجابه: .

مثال 6معطى: و. لايجاد .

قرار.مع الأخذ بعين الاعتبار الصيغة (5) نحصل عليها

منذ ذلك الحين . منذ ذلك الحين وبعد ذلك.

مثال 7اسمحوا و. لايجاد .

قرار.وفقًا للصيغة (1) ، يمكننا الكتابة

لذلك ، لدينا أو. ومن المعروف أن وبالتالي و.

إجابه: .

المثال 8أوجد مقام التدرج الهندسي المتناقص لانهائي إذا

و .

قرار. من الصيغة (7) يتبعو . من هنا ومن حالة المشكلة نحصل على نظام المعادلات

إذا كانت المعادلة الأولى للنظام تربيع, ثم قسّم المعادلة الناتجة على المعادلة الثانية، ثم نحصل

أو .

إجابه: .

المثال 9أوجد جميع القيم التي يمثل التسلسل ، تسلسلًا هندسيًا لها.

قرار.اسمحوا و. وفقًا للصيغة (2) ، التي تحدد الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي ، يمكننا كتابة أو.

من هنا نحصل على المعادلة التربيعية, جذورهمو .

دعنا نتحقق من: إذا، ثم و ؛ إذا ، إذن ، و.

في الحالة الأولى لديناو ، وفي الثانية - و.

إجابه: ، .

المثال 10حل المعادلة

, (11)

اين و.

قرار. الجانب الأيسر من المعادلة (11) هو مجموع تقدم هندسي متناقص لانهائي ، وفيه يتم توفير: و.

من الصيغة (7) يتبع، ماذا او ما . في هذا الصدد ، تأخذ المعادلة (11) الشكلأو . جذر مناسب المعادلة التربيعية هي

إجابه: .

المثال 11.ص تسلسل الأرقام الموجبةيشكل تقدمًا حسابيًا، أ - المتوالية الهندسية، ما علاقتها به. لايجاد .

قرار.مثل تسلسل حسابي، من ثم (الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي). بقدر ما، ثم أو. هذا يعني ، أن التقدم الهندسي. حسب الصيغة (2)، ثم نكتب ذلك.

منذ ذلك الحين وبعد ذلك . في هذه الحالة ، التعبيريأخذ الشكل أو. حسب الشرط ، لذلك من المعادلةنحصل على حل فريد للمشكلة قيد النظر، بمعنى آخر. .

إجابه: .

المثال 12.احسب المجموع

. (12)

قرار. اضرب طرفي المساواة (12) في 5 واحصل على

إذا طرحنا (12) من التعبير الناتج، من ثم

أو .

للحساب ، نعوض بالقيم في الصيغة (7) ونحصل عليها. منذ ذلك الحين .

إجابه: .

ستكون أمثلة حل المشكلات الواردة هنا مفيدة للمتقدمين في التحضير لامتحانات القبول. لدراسة أعمق لطرق حل المشكلات, المرتبطة بالتقدم الهندسي, يمكنك استخدام البرامج التعليمية من قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة مهام في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية / إد. م. سكانافي. - م: Mir i Obrazovanie، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: أقسام إضافية من المناهج الدراسية. - م: ليناند / URSS، 2014. - 216 ص.

3. Medynsky M.M. دورة كاملة في الرياضيات الابتدائية في المهام والتمارين. الكتاب الثاني: التسلسل الرقمي والتعاقب. - م: إيدتوس، 2015. - 208 ص.

هل لديك اسئلة؟

للحصول على مساعدة مدرس - سجل.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

لنفكر في سلسلة.

7 28 112 448 1792...

من الواضح تمامًا أن قيمة أي عنصر من عناصره أكبر أربع مرات من القيمة السابقة. إذن هذه السلسلة هي تقدم.

التقدم الهندسي هو سلسلة لا نهائية من الأرقام ، السمة الرئيسية لها هي الحصول على الرقم التالي من الرقم السابق بضربه في عدد معين. يتم التعبير عن هذا بالصيغة التالية.

a z +1 = a z q ، حيث z هو رقم العنصر المحدد.

وفقًا لذلك ، z ∈ N.

الفترة التي يتم فيها دراسة التقدم الهندسي في المدرسة هي الصف 9. ستساعدك الأمثلة على فهم المفهوم:

0.25 0.125 0.0625...

بناءً على هذه الصيغة ، يمكن العثور على مقام التقدم على النحو التالي:

لا يمكن أن تساوي q ولا b z صفرًا. أيضًا ، يجب ألا يساوي كل عنصر من عناصر التقدم صفرًا.

وفقًا لذلك ، لمعرفة الرقم التالي في المتسلسلة ، عليك ضرب الرقم الأخير في q.

لتحديد هذا التقدم ، يجب عليك تحديد العنصر الأول والمقام. بعد ذلك ، من الممكن العثور على أي من المصطلحات اللاحقة ومجموعها.

أصناف

اعتمادًا على q و a 1 ، ينقسم هذا التقدم إلى عدة أنواع:

• إذا كان كل من a 1 و q أكبر من واحد ، فإن هذا التسلسل هو تقدم هندسي يتزايد مع كل عنصر تالٍ. ويرد مثال على ذلك أدناه.

مثال: أ 1 = 3 ، ف = 2 - كلا المعلمتين أكبر من واحد.

ثم يمكن كتابة التسلسل العددي على النحو التالي:

3 6 12 24 48 ...

• إذا كان | q | أقل من واحد ، أي أن الضرب بواسطته يعادل القسمة ، فإن التقدم في ظروف مماثلة هو تقدم هندسي متناقص. ويرد مثال على ذلك أدناه.

مثال: أ 1 = 6 ، ف = 1/3 - أ 1 أكبر من واحد ، ف أصغر.

ثم يمكن كتابة التسلسل العددي على النحو التالي:

6 2 2/3 ... - أي عنصر أكبر بثلاث مرات من العنصر الذي يليه.

• متغير تسجيل. إذا كان q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: أ 1 = -3 ، ف = -2 - كلا المعلمتين أقل من صفر.

ثم يمكن كتابة التسلسل على النحو التالي:

3, 6, -12, 24,...

الصيغ

من أجل الاستخدام المريح للتعاقب الهندسي ، توجد العديد من الصيغ:

• صيغة العضو z-th. يسمح لك بحساب العنصر تحت رقم معين دون حساب الأرقام السابقة.

مثال:ف = 3, أ 1 = 4. مطلوب لحساب العنصر الرابع من التقدم.

قرار:أ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• مجموع العناصر الأولى التي رقمها ض. يسمح لك بحساب مجموع كل عناصر التسلسل حتىأ ضشامل.

منذ (1-ف) في المقام ثم (1 - ف)≠ 0 ، وبالتالي فإن q لا تساوي 1.

ملحوظة: إذا كانت q = 1 ، فسيكون التقدم سلسلة من رقم متكرر بلا حدود.

مجموع التقدم الهندسي ، أمثلة:أ 1 = 2, ف= -2. احسب S 5.

قرار:س 5 = 22 - الحساب بالصيغة.

• المبلغ إذا |ف| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:أ 1 = 2 , ف= 0.5. أوجد المبلغ.

قرار:س = 2 · = 4

س = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

بعض الخصائص:

• خاصية مميزة. إذا كان الشرط التالي أداؤها لأيض، فإن سلسلة الأرقام المعطاة هي تسلسل هندسي:

أ ض 2 = أ ض -1 · أض + 1

• أيضًا ، يمكن العثور على مربع أي رقم من التقدم الهندسي عن طريق إضافة مربعات أي رقمين آخرين في سلسلة معينة ، إذا كانت متساوية البعد عن هذا العنصر.

أ ض 2 = أ ض - ر 2 + أ ض + ر 2 ، أينرهي المسافة بين هذه الأرقام.

• عناصرتختلف في فبمجرد.
• تشكل لوغاريتمات عناصر التقدم أيضًا تقدمًا ، ولكن بالفعل حسابيًا ، أي أن كل منها أكبر من سابقتها برقم معين.

أمثلة لبعض المشاكل الكلاسيكية

لفهم ماهية التقدم الهندسي بشكل أفضل ، يمكن أن تساعد الأمثلة مع حل للصف 9.

• الظروف:أ 1 = 3, أ 3 = 48. بحثف.

الحل: كل عنصر تالٍ أكبر من العنصر السابق فيف بمجرد.من الضروري التعبير عن بعض العناصر من خلال البعض الآخر باستخدام المقام.

لذلك،أ 3 = ف 2 · أ 1

عند الاستبدالف= 4

• الظروف:أ 2 = 6, أ 3 = 12. احسب S 6.

قرار:للقيام بذلك ، يكفي إيجاد العنصر الأول q واستبداله في الصيغة.

أ 3 = ف· أ 2 ، بالتالي،ف= 2

أ 2 = ف أ 1 ،لهذا أ 1 = 3

ق 6 = 189

• · أ 1 = 10, ف= -2. ابحث عن العنصر الرابع من التقدم.

الحل: للقيام بذلك يكفي التعبير عن العنصر الرابع بالعنصر الأول ومن خلال المقام.

أ 4 = ف 3· أ 1 = -80

مثال تطبيقى:

• قام عميل البنك بإيداع مبلغ 10000 روبل ، بموجب شروطه ، سيضيف العميل كل عام 6 ٪ منه إلى المبلغ الأساسي. كم سيكون المال في الحساب بعد 4 سنوات؟

الحل: المبلغ الأولي 10 آلاف روبل. لذلك ، بعد عام من الاستثمار ، سيكون للحساب مبلغ يساوي 10000 + 10000 · 0.06 = 10000 1.06

وفقًا لذلك ، سيتم التعبير عن المبلغ في الحساب بعد عام آخر على النحو التالي:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

أي كل عام يزيد المبلغ بمقدار 1.06 مرة. هذا يعني أنه من أجل العثور على مبلغ الأموال في الحساب بعد 4 سنوات ، يكفي إيجاد العنصر الرابع من التقدم ، والذي يُعطى بواسطة العنصر الأول الذي يساوي 10 آلاف ، والمقام يساوي 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

أمثلة على المهام لحساب المجموع:

في مشاكل مختلفة ، يتم استخدام التقدم الهندسي. يمكن إعطاء مثال لإيجاد المجموع على النحو التالي:

أ 1 = 4, ف= 2 احسبS5.

الحل: جميع البيانات اللازمة للحساب معروفة ، ما عليك سوى استبدالها في الصيغة.

س 5 = 124

• أ 2 = 6, أ 3 = 18. احسب مجموع العناصر الستة الأولى.

قرار:

جيوم. التقدم ، كل عنصر تالي q مرات أكبر من العنصر السابق ، أي لحساب المجموع ، تحتاج إلى معرفة العنصرأ 1 والمقامف.

أ 2 · ف = أ 3

ف = 3

وبالمثل ، نحن بحاجة إلى إيجادأ 1 ، معرفةأ 2 وف.

أ 1 · ف = أ 2

أ 1 =2

س 6 = 728.