Абсолютная погрешность косвенных измерений величины u. Теория ошибок. Относительная погрешность, или точность измерений
![Абсолютная погрешность косвенных измерений величины u. Теория ошибок. Относительная погрешность, или точность измерений](/uploads/3349a05c7557d7318c6422ac716b823a.jpg)
Читайте также
Пусть известны две независимо измеренных физических величины и с погрешностями и соответственно. Тогда справедливы следующие правила:
1. Абсолютная погрешность суммы (разности) есть сумма абсолютных погрешностей. То есть, если
Более разумная (учитывающая то, что величины и независимы и маловероятно, что их истинные значения одновременно окажутся на краях диапазонов) оценка получается по формуле:
На всех школьных олимпиадах допускается применение любой из этих двух формул. Аналогичные формулы справедливы для случая нескольких (более двух) слагаемых.
Пример:
Пусть величина , ,
.
2. Относительная погрешность произведения (частного) есть сумма относительных погрешностей.
То есть, если
Как и в предыдущем случае, более разумной будет формула
Аналогичные формулы справедливы для случая нескольких (более двух) множителей.
Таким образом, в результате сложения двух величин сначала вычисляется абсолютная погрешность величины, а после этого может быть вычислена относительная погрешность.
Пример:
Пусть величина , ,
3. Правило для возведения в степень. Если , то .
Пример:
4. Правило умножения на константу. Если .
Пример:
5. Более сложные функции величин разбиваются на более простые вычисления, погрешности которых можно рассчитать по формулам представленным выше.
Пример:
Пусть
6. Если расчётная формула сложна и не сводиться к описанным выше случаем, то, школьники знакомые с понятием частной производной могут найти погрешность косвенного измерения следующим образом: пусть , тогда
или более простой оценкой:
Пример:
Пусть
7. Школьники, не знакомые с производными, могут пользоваться методом границ, который состоит в следующем: пусть нам известно, что и для каждой величины диапазон в котором лежит её истинное значение. Рассчитаем минимальное и максимальное возможное значение величины на области задания величин :
За абсолютную погрешность величины возьмём полуразность максимального и минимального значения:
Пример:
Пусть
Правила округления
При обработке результатов измерений часто приходится производить округление. При этом нужно следить, чтобы ошибка, возникающая при округлении, была хотя бы на порядок меньше остальных погрешностей. Однако оставлять слишком много значащих цифр тоже неправильно, поскольку влечёт за собой потерю драгоценного времени. В большинстве случаев бывает достаточно погрешность округлить до двух значащих цифр, а результат до того же порядка, что и погрешность. При записи же конечного ответа принято оставлять в погрешности только одну значащую цифру, за исключением случая, когда эта цифра единица, тогда нужно оставить две значащих цифры в погрешности. Также часто порядок числа выносится за скобку, таким образом, чтобы первая значащая цифра числа осталась либо в порядке единиц, либо в порядке десятых.
Например, пусть были проведены измерения модуля Юнга стали и Алюминия и были получены следующие значения (до округления):
,
,
,
.
Правильно записанный конечный ответ тогда будет иметь вид:
Построение графиков
Во многих задачах, предлагаемых на физических олимпиадах школьников, требуется снять зависимость одной физической величины от другой, а затем проанализировать эту зависимость (сравнить экспериментальную зависимость с теоретической, определить неизвестные параметры теоретической зависимости). График является наиболее удобным и наглядным способом представления данных и их дальнейшего анализа. Поэтому в критериях оценивания большинства экспериментальных задач присутствуют баллы за график, даже если построение графика не требуется явно в условии. Таким образом, если при решении задачи Вы сомневаетесь нужно ли в данной задаче построение графика или нет - сделайте выбор в пользу графика.
Правила построения графика
1. График строится на миллиметровой бумаге. Если на экспериментальном туре олимпиады миллиметровая бумага не была предоставлена сразу, нужно попросить её у организаторов.
2. График нужно подписать в верхней части, чтобы всегда можно было установить, какой участник строил этот график. В работе следует указать, что был построен соответствующий график, на случай если график будет потерян во время проверки.
3. Ориентация миллиметровой бумаги может быть как альбомная, так и книжная.
4. На графике обязательно должны присутствовать координатные оси. Вертикальная ось проводится в левой части графика, а горизонтальная ось в нижней части.
5. Вертикальная ось должна соответствовать значениям функции, а горизонтальная – значениям аргумента.
6. Оси на графике рисуются с отступом 1-2см от края миллиметровой бумаги.
7. Каждая ось должна быть подписана, то есть должна быть указана физическая величина, отложенная вдоль этой оси, и (через запятую) единица её измерения. Записи вида « », « » и « » эквивалентны, но первые два варианта предпочтительнее. Горизонтальная ось подписывается слева у верхнего конца, а вертикальная снизу у правого конца.
8. Оси не обязательно должны пересекаться в точке (0,0).
9. Масштаб графика и положение начала отсчёта на координатных осях выбираются так, чтобы наносимые точки располагались по возможности на всей площади листа. При этом нули координатных осей могут вообще не попадать на график.
10. Линии, проведённые на миллиметровой бумаге через сантиметр, должны попадать на круглые значения величин. С графиком удобно работать, если 1 см на миллиметровой бумаги соответствуют 1, 2, 4, 5 *10 n единиц измерения по данной оси. Часть делений на оси нужно подписать. Подписанные деления должны находится на равном расстоянии друг от друга. Подписанных делений на оси должно быть не менее 4х и не более 10ти.
11. Точки на график нужно наносить так, чтобы они были чётко и ясно видны. Для того чтобы показать, что величина наносимая на график имеет погрешность, из каждой точки проводятся отрезки вверх и вниз, вправо и влево. Длина горизонтальных отрезков соответствует погрешности величины, отложенной по горизонтальной оси, длина вертикальных отрезков - погрешности величины, отложенной по вертикальной. Таким образом, обозначаются области определения экспериментальной точки, называемые крестами ошибок. Кресты ошибок обязательны к нанесению на графике, за исключением случаев: в условии задачи дано непосредственное указание не оценивать погрешности, погрешность составляет меньше 1 мм в масштабе соответствующей оси. В последнем случае необходимо указать, что погрешность значений слишком мала для нанесения по этой оси. В таких случаях считается, что размер точки соответствует ошибке измерения.
12. Стремитесь к тому, чтобы ваш график был удобен, понятен и аккуратен. Стройте его карандашом, чтобы можно было исправить ошибки. Не подписывайте рядом с точкой соответствующее ей значение - это загромождает график. Если на одном графике показано сразу несколько зависимостей, используйте разные символы или цвета для точек. Для определения, какой тип экспериментальных точек, какой зависимости соответствует, используйте легенду графика. На графике допускаются зачёркивания (если подвёл ластик или под рукой не оказалось хорошего карандаша), но делать их нужно аккуратно. Не стоит использовать штрих-корректор - это выглядит некрасиво.
Примечание: все вышеперечисленные правила происходят исключительно из соображений удобства работы с графиком. Однако, при проверке работ на олимпиадах жюри пользуются этими правилами как формальными критериями: плохо выбран масштаб - минус полбалла. Поэтому на олимпиаде следует неукоснительно придерживаться этих правил.
Пример:
Справа приведен график, построенный не по критериям, а слева, построенный по указанным выше правилам.
Оценка погрешности прямых многократных измерений
При оценке погрешности прямых многократных измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.
.
(8)
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/271/html_D7pg50cgwX.q61a/img-uIHWfI.png)
.
Задается значение доверительной вероятности Р. В лабораториях практикума принято задавать Р=0,95.
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/271/html_D7pg50cgwX.q61a/img-pEdqmE.png)
.
Определяется суммарная погрешность
,
где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.
Оценивается относительная погрешность результата измерений
.
Записывается окончательный результат в виде
,
с α=… Е=…%.
,
Р=…, Е=…
(7)
Следует
иметь в виду, что сами формулы теории
ошибок справедливы для большого число
измерений. Поэтому значение случайной,
а следовательно, и суммарной погрешности
определяется при малом n
с большой ошибкой. При вычислении Δх
при числе измерений
рекомендуется
ограничиваться одной значащей цифрой,
если она больше 3 и двумя, если первая
значащая цифра меньше 3. Например, если
Δх
=
0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх
=0,04,
а если Δх
=0,123,
то пишем Δх
=0,12.
Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.
Оценка погрешности косвенных многократных измерений
При
оценке погрешности косвенных многократных
измерений
,
являющейся функцией других независимых
величин
,
можно использовать два способа.
Первый
способ
используется,
если величина y
определяется при различных условиях
опыта. В этом случае для каждого из
значений
вычисляется
,
а затем определяется среднее арифметическое
из всех значенийy
i
.
Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.
Второй
способ
применяется,
если данная функция y
определяется
несколько раз при одних и тех же измерений.
В этом случае величина
рассчитывается
по средним значениям
..
Систематическая (приборная) погрешность,
как и при первом способе, находится на
основании известных приборных погрешностей
всех измерений по формуле
,
где
- приборные ошибки прямых измерений
величины
,
-
частные производные функции по переменной
.
Для
нахождения случайной погрешности
косвенного измерения вначале рассчитываются
средние квадратичные ошибки среднего
арифметического отдельных измерений.
Затем находится средняя квадратичная
ошибка величины y
.
Задание доверительной вероятности α,
нахождение коэффициента Стьюдента
,
определение случайной и суммарной
ошибок осуществляются так же, как и в
случае прямых измерений. Аналогичным
образом представляется результат всех
расчетов в виде
,
с Р=… Е=…%.
Пример , получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид
.
Частные производные по переменным d и h будут равны
,
.
Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра имеет следующий вид
,
где
и
приборные
ошибки при измерении диаметра и высоты
цилиндра
Пример
:
Определить
погрешность мощности, которая рассеивается
в резисторе по формуле
со
следующими величинами тока и сопротивления
резистору, которые определяются прямым
измерением: R
= 1,10 ± 0.05 Ом; I = 1,20 ± 0.05 A.
Результаты
приведены со средними квадратичными
отклонениями средних арифметических
R
и
I
.
Оценка истинного (среднего) значения
мощности:
Вт
Для оценки точности полученного значения вычисляем частичные производные и частичные погрешности косвенных измерений:
=
1,2 2 ·0,05=0,072
А
2
Ом;
=2·1,2·1,1·0,05=
0,132
А 2
Ом
Среднее квадратичное отклонение косвенного измерения мощности, которое вычислено за формулой составляет
=0,
15
А 2
Ом
=0,15
Вт.
Р = 1,58 ± 0.15 Вт.
Погрешности измерений физических величин
1.Введение(измерения и погрешности измерений)
2.Случайные и систематические погрешности
3.Абсолютные и относительные погрешности
4.Погрешности средств измерений
5.Класс точности электроизмерительных приборов
6.Погрешность отсчета
7.Полная абсолютная погрешность прямых измерений
8.Запись окончательного результата прямого измерения
9.Погрешности косвенных измерений
10.Пример
1. Введение(измерения и погрешности измерений)
Физика как наука родилась более 300 лет назад, когда Галилей по сути создал научный изучения физических явлений: физические законы устанавливаются и проверяются экспериментально путем накопления и сопоставления опытных данных, представляемых набором чисел, формулируются законы языком математики, т.е. с помощью формул, связывающих функциональной зависимостью числовые значения физических величин. Поэтому физика- наука экспериментальная, физика- наука количественная.
Познакомимся с некоторыми характерными особенностями любых измерений.
Измерение- это нахождение числового значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений (линейки, вольтметра, часы и т.д.).
Измерения могут быть прямыми и косвенными.
Прямое измерение- это нахождение числового значения физической величины непосредственно средствами измерений. Например, длину - линейкой, атмосферное давление- барометром.
Косвенное измерение- это нахождение числового значения физической величины по формуле, связывающей искомую величину с другими величинами, определяемыми прямыми измерениями. Например сопротивление проводника определяют по формуле R=U/I, где U и I измеряются электроизмерительными приборами.
Рассмотрим пример измерения.
Измерим длину бруска линейкой (цена деления 1 мм). Можно лишь утверждать, что длина бруска составляет величину между 22 и 23 мм. Ширина интервала “неизвестности составляет 1мм, те есть равна цене деления. Замена линейки более чувствительным прибором, например штангенциркулем снизит этот интервал, что приведет к повышению точности измерения. В нашем примере точность измерения не превышает 1мм.
Поэтому измерения никогда не могут быть выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный. Неопределенность в измерении характеризуется погрешностью - отклонением измеренного значения физической величины от ее истинного значения.
Перечислим некоторые из причин, приводящих к появлению погрешностей.
1. Ограниченная точность изготовления средств измерения.
2. Влияние на измерение внешних условий (изменение температуры, колебание напряжения...).
3. Действия экспериментатора (запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза...).
4. Приближенный характер законов, используемых для нахождения измеряемых величин.
Перечисленные причины появления погрешностей неустранимы, хотя и могут быть сведены к минимуму. Для установления достоверности выводов, полученных в результате научных исследований существуют методы оценки данных погрешностей.
2. Случайные и систематические погрешности
Погрешности, возникаемые при измерениях делятся на систематические и случайные.
Систематические погрешности- это погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения). При повторных измерениях погрешность остается прежней.
Причины возникновения систематических погрешностей:
1) несоответствие средств измерения эталону;
2) неправильная установка измерительных приборов (наклон, неуравновешенность);
3) несовпадение начальных показателей приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;
4) несоответствие измеряемого объекта с предположением о его свойствах (наличие пустот и т.д).
Случайные погрешности- это погрешности, которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при многократном повторении опыта.
3. Абсолютные и относительные погрешности
Для количественной оценки качества измерений вводят понятия абсолютной и относительной погрешностей измерений.
Как уже говорилось, любое измерение дает лишь приближенное значение физической величины, однако можно указать интервал, который содержит ее истинное значение:
А пр - D А < А ист < А пр + D А
Величина D А называется абсолютной погрешностью измерения величины А. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Абсолютная погрешность равна модулю максимально возможного отклонения значения физической величины от измеренного значения. А пр - значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений.
Но для оценки качества измерения необходимо определить относительную погрешность e . e = D А/А пр или e= (D А/А пр)*100%.
Если при измерении получена относительная погрешность более 10%, то говорят, что произведена лишь оценка измеряемой величины. В лабораториях физического практикума рекомендуется проводить измерения с относительной погрешностью до 10%. В научных лабораториях некоторые точные измерения (например определение длины световой волны), выполняются с точностью миллионных долей процента.
4. Погрешности средств измерений
Эти погрешности называют еще инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного прибора, точностью его изготовления и градуировки. Обычно довольствуются о допустимых инструментальных погрешностях, сообщаемых заводом изготовителем в паспорте к данному прибору. Эти допустимые погрешности регламентируются ГОСТами. Это относится и к эталонам. Обычно абсолютную инструментальную погрешность обозначают D иА.
Если сведений о допустимой погрешности не имеется (например у линейки), то в качестве этой погрешности можно принять половину цены деления.
При взвешивании абсолютная инструментальная погрешность складывается из инструментальных погрешностей весов и гирь. В таблице приведены допустимые погрешности наиболее часто
встречающихся в школьном эксперименте средств измерения.
Средства измерения |
Предел измерения |
Цена деления |
Допустимаяпогрешность |
линейка ученическая |
|||
линейка демонстрационная |
|||
лента измерительная |
|||
мензурка |
|||
гири 10,20, 50 мг |
|||
гири 100,200 мг |
|||
гири 500 мг |
|||
штангенциркуль |
|||
микрометр |
|||
динамометр |
|||
весы учебные |
|||
Секундомер |
1с за 30 мин |
||
барометр-анероид |
720-780 мм рт.ст. |
1 мм рт.ст |
3 мм рт.ст |
термометр лабораторный |
0-100 градусов С |
||
амперметр школьный |
|||
вольтметр школьный |
5. Класс точности электроизмерительных приборов
Стрелочные электроизмерительные приборы по допустимым значениям погрешностям делятся на классы точности, которые обозначены на шкалах приборов числами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности g пр прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная погрешность от всей шкалы прибора.
g пр = (D и А/А макс)*100% .
Например абсолютная инструментальная погрешность прибора класса 2,5 составляет 2,5% от его шкалы.
Если известен класс точности прибора и его шкала, то можно определить абсолютную инструментальную погрешность измерения
D иА=( g пр * А макс)/100.
Для повышения точности измерения стрелочным электроизмерительным прибором надо выбирать прибор с такой шкалой, чтобы в процессе измерения располагались во второй половине шкалы прибора.
6. Погрешность отсчета
Погрешность отсчета получается от недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерений.
В большинстве случаев абсолютную погрешность отсчета принимают равной половине цены деления. Исключения составляют измерения стрелочными часами (стрелки передвигаются рывками).
Абсолютную погрешность отсчета принято обозначать D оА
7. Полная абсолютная погрешность прямых измерений
При выполнении прямых измерений физической величины А нужно оценивать следующие погрешности: D иА, D оА и D сА (случайную). Конечно, иные источники ошибок, связанные с неправильной установкой приборов, несовмещение начального положения стрелки прибора с 0 и пр. должны быть исключены.
Полная абсолютная погрешность прямого измерения должна включать в себя все три вида погрешностей.
Если случайная погрешность мала по сравнению с наименьшим значением, которое может быть измерено данным средством измерения (по сравнению с ценой деления), то ее можно пренебречь и тогда для определения значения физической величины достаточно одного измерения. В противном случае теория вероятностей рекомендует находить результат измерения как среднее арифметическое значение результатов всей серии многократных измерений, погрешность результата вычислять методом математической статистики. Знание этих методов выходит за пределы школьной программы.
8. Запись окончательного результата прямого измерения
Окончательный результат измерения физической величины А следует записывать в такой форме;
А=А пр + D А, e= (D А/А пр)*100%.
А пр - значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений. D А- полная абсолютная погрешность прямого измерения.
Абсолютную погрешность обычно выражают одной значащей цифрой.
Пример: L=(7,9 + 0,1) мм, e=13%.
9. Погрешности косвенных измерений
При обработке результатов косвенных измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную погрешность косвенного измерения e= D Х/Х пр, пользуясь формулами, приведенными в таблице (без доказательств).
Абсолютную погрешность определяется по формуле D Х=Х пр *e,
где e выражается десятичной дробью, а не в процентах.
Окончательный результат записывается так же, как и в случае прямых измерений.
Вид функции |
Формула |
Х=А+В+С |
|
Х=А-В |
|
Х=А*В*С |
|
Х=А n |
|
Х=А/В |
|
Пример: Вычислим погрешность измерения коэффициента трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна силе трения скольжения.
С помощью динамометра взвесим брусок с грузами: 1,8 Н. F тр =0,6 Н
μ=0,33.Инструментальная погрешность динамометра (находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены деления)
Δ о =0,05Н.Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.
Относительная погрешность измерения (в таблице 5-я строчка)
, следовательно
абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет0,22*0,33=0,074
Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины a, b, c , ..., полученные при прямых измерениях
z = f (a, b, c,...) (1.11)
Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал
при надежности a и относительную погрешность .
Что касается , то оно находится путем подстановки в правую часть (11) вместо a, b, c ,... их средних значений
Абсолютная погрешность косвенных измерений является функцией абсолютных погрешностей прямых измерений и вычисляется по формуле
(1.14)
Здесь частные производные функции f по переменным a, b, …
Если величины a, b, c, ... в функцию Z = f (a, b, c,...) входят в виде сомножителей в той или иной степени, т. е. если
, (1.15)
то сначала удобно вычислить относительную погрешность
, (1.16)
а затем абсолютную
Формулы для Dz и e z приводятся в справочной литературе.
Примечания.
1. При косвенных измерениях в расчетные формулы могут входить известные физические константы (ускорение свободного падения g
, скорость света в вакууме с
и т. д.), числа типа дробные множители ... . Эти величины при вычислениях округляются. При этом, естественно, в расчет вносится погрешность ‒ погрешность округления при вычислениях, которая должна учитываться.
Принято считать, что погрешность округления приближенного числа равна половине единицы того разряда, до которого это число было округлено. Например,p = 3,14159... . Если взять p= 3,1, то Dp = 0,05, если p = 3,14, то Dp = 0,005 ... и т.д. Вопрос о том, до какого разряда округлять приближенное число, решается так: относительная ошибка, вносимая округлением, должна быть того же порядка или на порядок меньше, что и максимальная из относительных ошибок других видов. Таким же образом оценивается абсолютная ошибка табличных данных. Например, в таблице указано r = 13,6×10 3 кг/ м 3 , следовательно,Dr = 0,05×10 3 кг/м 3 .
Ошибка значений универсальных постоянных часто указывается вместе с их принятыми за средние значения: (с
= м/c, где Dс
= 0,3×10 3 м/c.
2. Иногда при косвенных измерениях условия опыта при повторных наблюдениях не совпадают. В этом случае значение функции z вычисляется для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляется через значения z так же, как при прямых измерениях (все погрешности здесь входят в одну случайную погрешность измерения z ). Величины, которые не измеряются, а задаются (если они есть) должны быть указаны при этом с достаточно большой точностью.
Порядок обработки результатов измерений
Прямые измерения
1. Вычислить среднее значение для n измерений
2. Найти погрешности отдельных измерений .
3. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений и их сумму: .
4. Задать надежностьa (для наших целей принимаем a = 0,95) и по таблице определить коэффициенты Стьюдента t a,n и t a, ¥ .
5. Произвести оценку систематических погрешностей: приборной Dх пр и ошибки округления при измеренияхDх окр = D/2 (D ‒ цена деления прибора) и найти полную погрешность результата измерений (полуширину доверительного интервала):
.
6. Оценить относительную погрешность
.
7. Окончательный результат записать в виде
ε = … % при a = ...
Косвенные измерения
1. Для каждой величины, измеренной прямым способом, входящей в формулу для определения искомой величины , провести обработку, как указано выше. Если среди величин a, b, c
, ... есть табличные константы или числа типа p, е
,..., то при вычислениях округлять их следует так (если это возможно), чтобы вносимая при этом относительная ошибка была на порядок меньше наибольшей относительной ошибки величин, измеренных прямым способом.
Определить среднее значение искомой величины
z = f (,,
3. Оценить полуширину доверительного интервала для результата косвенных измерений
,
где производные ... вычисляются при
4. Определить относительную погрешность результата
5. Если зависимость z от a, b, c
,... имеет вид , где k, l, m
‒ любые действительные числа, то сначала следует найти относительную
ошибку
а затем абсолютную .
6. Окончательный результат записать в виде
z =
Примечание:
При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.
При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений :
Правило 1. При сложении и вычитании приближенных чисел необходимо:
а) выделить слагаемое, у которого сомнительная цифра имеет наиболее высокий разряд;
б) все остальные слагаемые округлить до следующего разряда (сохраняется одна запасная цифра);
в) произвести сложение (вычитание);
г) в результате отбросить последнюю цифру путем округления (разряд сомнительной цифры результата при этом совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых).
Пример: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.
В этих числах последние значащие цифры сомнительные (неверные уже отброшены). Запишем их в виде 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.
Видно, что у первого слагаемого сомнительная цифра 2 имеет наиболее высокий разряд (десятки). Округлив все другие числа до следующего разряда и сложив, получим
543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094·10 5 .
Правило 2. При умножении (делении) приближенных чисел необходимо:
а) выделить число (числа) с наименьшим количеством значащих цифр (ЗНАЧАЩИЕ – цифры отличные от ноля и ноли стоящие между ними );
б) округлить остальные числа так, чтобы в них было на одну значащую цифру больше (сохраняется одна запасная цифра), чем выделенном по п. а;
в) перемножить (разделить) полученные числа;
г) в результате оставить столько значащих цифр, сколько их было в числе (числах) с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример: .
Правило 3. При возведении в степень, при извлечении корня в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе.
Пример:
.
Правило 4. При нахождении логарифма числа мантисса логарифма должна иметь столько значащих цифр, сколько их в исходном числе:
Пример:
.
В окончательной записиабсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру . (Если этой цифрой окажется 1, то после нее сохраняют еще одну цифру).
Среднее значение округляется до того же разряда, что и абсолютная погрешность.
Например: V = (375,21 0,03) см 3 = (3,7521 0,0003) см 3 .
I
= (5,530 0,013) А, A
= Дж.
Формулы вычисления погрешностей косвенных измерений основаны на представлениях дифференциального исчисления.
Пусть зависимость величины Y от измеряемой величины Z имеет простой вид: .
Здесь и - постоянные, значения которых известны. Если z увеличить или уменьшить на некоторое число , то соответственно изменится на :
Если - погрешность измеренной величины Z , то соответственно будет погрешностью вычисляемой величины Y .
Получим формулу абсолютной погрешности в общем случае функции одной переменной . Пусть график этой функции имеет вид, показанный на рис.1. Точному значению аргумента z 0 соответствует точное значение функцииy 0 = f(z 0).
Измеренное значение аргумента отличается от точного значения аргумента на величину Δz вследствие ошибок измерений. Значение функции будет отличаться от точного на величину Δy.
Из геометрического смысла производной как тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке (рис. 1) следует:
. (10)
Формула для относительной погрешности косвенного измерения в случае функции одной переменной будет иметь вид: . (11)
Учитывая, что дифференциал функции равен , получим
(12)
Если косвенное измерение представляет собой функцию m
переменных , то погрешность косвенного измерения будет зависеть от погрешностей прямых измерений . Частную погрешность, связанную с ошибкой измерения аргумента , обозначим . Она составляет приращение функции за счет приращения при условии, что все остальные аргументы неизменны. Таким образом, частную абсолютную погрешность запишем согласно (10) в следующем виде:
(13)
Таким образом, чтобы найти частную погрешность косвенного измерения , надо, согласно (13), частную производную умножить на погрешность прямого измерения . При вычислении частной производной функции по остальные аргументы считаются постоянными.
Результирующая абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле, в которую входят квадраты частных погрешностей
косвенного измерения :
или с учетом (13)
(14)
Относительная погрешность косвенного измерения определяется по формуле:
Или с учетом (11) и (12)
. (15)
Пользуясь (14) и (15), находят одну из погрешностей, абсолютную или относительную, в зависимости от удобства вычислений. Так, например, если рабочая формула имеет вид произведения, отношения измеряемых величин, ее легко логарифмировать и по формуле (15) определить относительную погрешность косвенного измерения. Затем абсолютную погрешность вычислить по формуле (16):
Для иллюстрации вышеизложенного порядка определения погрешности косвенных измерений вернемся к виртуальной лабораторной работе «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника».
Рабочая формула (1) имеет вид отношения измеряемых величин:
Поэтому начнем с определения относительной погрешности. Для этого прологарифмируем данное выражение, а затем вычислим частные производные:
; ; .
Подстановка в формулу (15) приводит к формуле относительной погрешности косвенного измерения:
(17)
После подстановка результатов прямых измерений
{ ;
} в (17) получаем:
(18)
Для вычисления абсолютной погрешности используем выражение (16) и ранее вычисленное значение (9) ускорения свободного падения g :
Результат вычисления абсолютной погрешности округляем до одной значащей цифры. Вычисленное значение абсолютной погрешности определяет точность записи окончательного результата:
, α ≈ 1. (19)
При этом доверительная вероятность определяется доверительной вероятностью тех из прямых измерений, которые внесли решающий вклад в погрешность косвенного измерения. В данном случае это измерения периода.
Таким образом, с вероятностью близкой к 1 величина g лежит в пределах от 8 до 12 .
Для получения более точного значения ускорения свободного падения g необходимо совершенствовать методику измерений. С этой целью надо уменьшить относительную погрешность , которая в основном, как следует из формулы (18), определяется погрешностью измерения времени.
Для этого надо измерять время не одного полного колебания, а, например, 10-ти полных колебаний. Тогда, как следует из (2), формула относительной погрешности примет вид:
. (20)
В табл.4 представлены результаты измерения времени для N = 10
Для величины L возьмем результаты измерений из табл.2. Подставляя результаты прямых измерений в формулу (20), найдем относительную погрешность косвенного измерения:
По формуле (2) вычислим значение косвенно измеряемой величины:
.
.
Окончательный результат записывается в виде:
; ; .
В этом примере показана роль формулы относительной погрешности в анализе возможных направлений совершенствования методики измерений.