Урок «Квадратный трехчлен и его корни. Расположение корней квадратного трехчлена
Читайте также
Учитель высшей категории: Минайченко Н.С., гимназия №24, г.Севастополь
Урок в 8 классе: «Квадратный трёхчлен и его корни»
Тип урока : урок новых знаний.
Цель урока:
организовать деятельность учащихся по закреплению и развитию знаний о разложении квадратного трехчлена на линейные множители, сокращении дробей;
развивать навыки в применении знаний всех способов разложения на множители: вынесение за скобки, с помощью формул сокращенного умножения и способа группировки с целью подготовки к успешной сдаче экзамена по алгебре;
создать условия для развития познавательного интереса к предмету, формирования логического мышления и самоконтроля при использовании разложения на множители.
Оборудование: мультимедийный проектор, экран, презентация: «Корни квадратного трехчлена», кроссворд, тест, раздаточный материал.
Основные понятия . Разложение квадратного трёхчлена на множители.
Самостоятельная деятельность учащихся. Применение теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители при решении задач.
План урока
Решение задач.Ответы на вопросы учащихся
IV. Первичная проверка усвоения знаний. Рефлексия
Сообщение учителя.
Сообщение учащихся
Запись на доске
Методический комментарий:
Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Поэтому важно, чтобы учащиеся автоматически умели не только видеть в примерах формулы разложения на множители, но и применять их в других заданиях: в таких как решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.
В этой теме основное внимание уделяется разложению квадратного трёхчлена на множители:
ax + bx + c = a(x – x )(x – x ),
где x и x– корни квадратного уравнения ax + bx + c = 0.
Это позволяет расширить поле зрения учащегося, научить его мыслить в нестандартной ситуации, используя при этом изучаемый материал, т.е. используя формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:
умение сокращать алгебраические дроби;
умение упрощать алгебраические выражения;
умение решать уравнения;
умение доказывать тождества.
Основное содержание урока:
а) 3x + 5x – 2;
б) –x + 16x – 15;
в) x – 12x + 24;
г) –5x + 6x – 1.
№2. Сократите дробь:
№3. Упростите выражение:
№4. Решите уравнение:
б)
Ход урока:
I. Этап актуализации знаний.
Мотивация учебной деятельности.
а) из истории:
б) кроссворд:
Разминка-тренировка ума – кроссворд:
По горизонтали:
1) Корень второй степени называется…. (квадратный)
2) Значения переменной, при котором уравнение становится верным равенством (корни)
3) Равенство, содержащее неизвестное называется… (уравнение)
4) Индийский ученый , который изложил общее правило решения квадратных уравнений (Брахмагупта)
5) Коэффициенты квадратного уравнения - это… (числа)
6) Древнегреческий ученый, придумавший геометрический метод решения уравнений (Евклид)
7) Теорема, связывающая коэффициенты и корни квадратного уравнения (Виета)
8) «различающий», определяющий корни квадратного уравнения – это… (дискриминант)
Дополнительно:
Если Д>0, сколько корней? (два)
Если Д=0, сколько корней? (один)
Если Д<0, сколько корней? (нет действительных корней)
По горизонтали и вертикали тема урока: «Квадратный трехчлен»
б) мотивация:
Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Поэтому важно, чтобы вы автоматически умели не только видеть в примерах формулы разложения на множители, но и применять их в других заданиях: таких как сокращение дробей, решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.
Сегодня мы основное внимание уделим разложению квадратного трёхчлена на множители:
II. Изучение нового материала.
Тема: Квадратный трёхчлен и его корни.
Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.
Корнем многочлена называется значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю. Значит, чтобы найти корни многочлена, надо приравнять его к нулю, т.е. решить уравнение.
Корень многочлена первой степени
легко найти
. Проверка:
.
Корни квадратного трехчлена можно найти, решив уравнение:
.
По формуле корней квадратного уравнения находим:
;
Если и -корни квадратного трехчлена
, где ≠ 0,
то .
Доказательство:
Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена:
=
=
=
=
=
=
=
=
Так как дискриминант
, получим:
=
=
Применим в скобках формулу разности квадратов и получим:
=
=
,
так как
;
. Теорема доказана.
Полученная формула называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.
III. Формирование умений и навыков.
№1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) 3x + 5x – 2;Решение:
Ответ: 3x+5x–2=3(х+2)(х-)=(х+2)(3х-1)
На доске:
б) –5x + 6x – 1;
Дополнительно:
в) x – 12x + 24;
г) –x + 16x – 15.
№2. Сократите дробь:
а)
№4. Решите уравнение:
б)
IV. Первичная проверка усвоения знаний.
а) Тест.
Вариант 1.
1. Найти корни квадратного трехчлена: 2х 2 -9х-5
Ответ:
2. Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было верным равенство:
б) Взаимопроверка по вариантам (ответы и параметры оценивания иллюстрируются).
в) Рефлексия.
V. Домашнее задание.
Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.
Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена
, т.е. делает преобразование вида:\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) и раскладывает на множители квадратный трехчлен : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \(p, q \) и \(n, m \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода квадратного многочлена
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} x + \frac{1}{7}x^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки
. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Пример подробного решения
Выделение квадрата двучлена.
$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$
$$2x^2+2x-4 = $$
$$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} = $$
$$2\left(x^2 + 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right)-\frac{9}{2} = $$
$$2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$
Ответ:
$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$
Разложение на множители.
$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$
$$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$
$$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) \right) = $$
$$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Ответ:
$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена
Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+p) 2 +q, где p и q - действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена .
Выделим из трехчлена 2x 2 +12x+14 квадрат двучлена.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 3 2 . Получим:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$
$$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена
, и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Разложение на множители квадратного трехчлена
Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m - действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена .
Покажем на примере как это преобразование делается.
Разложим квадратный трехчлен 2x 2 +4x-6 на множители.
Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен
, и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому
трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x 2 +4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x 2 +4x-6 =0
имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3,
т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.
Изучение многих физических и геометрических
закономерностей часто приводит к решению задач с
параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и
их системы, которые часто бывают весьма сложными
и требующими нестандартного подхода к решению. В
школе же этот один из наиболее трудных разделов
школьного курса алгебры рассматривается только
на немногочисленных факультативных или
предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод
является удобным и быстрым способом решения
уравнений с параметром.
Как известно, в отношении уравнений с
параметрами встречаются две постановки задачи.
- Решить уравнение (для каждого значения параметра найти все решения уравнения).
- Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.
В данной работе рассматривается и
исследуется задача второго типа применительно к
корням квадратного трехчлена, нахождение
которых сводится к решению квадратного
уравнения.
Автор надеется, что данная работа поможет
учителям при разработке уроков и при
подготовке учащихся к ЕГЭ.
1. Что такое параметр
Выражение вида aх
2 + bх + c
в
школьном курсе алгебры называют квадратным
трехчленом относительно х,
где a, b,
c –
заданные действительные числа, причем, a
=/= 0.
Значения переменной х, при которых выражение
обращается в нуль, называют корнями квадратного
трехчлена. Для нахождения корней квадратного
трехчлена, необходимо решить квадратное
уравнение aх
2 + bх + c =
0.
Вспомним из школьного курса алгебры основные
уравнения aх + b =
0;
aх2 + bх + c = 0.
При поиске их корней, значения
переменных a, b, c,
входящих в уравнение
считаются фиксированными и заданными. Сами
переменные называют параметром. Поскольку, в
школьных учебниках нет определения параметра, я
предлагаю взять за основу следующий его
простейший вариант.
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
2. Основные типы и методы решения задач с параметрами
Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.
- Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a 2 – 4.
- Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например. При каких значениях параметра a уравнение 4х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
- Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых
корни уравнения (a –
2)х
2
–
2aх
+ a +
3 =
0
положительные.
Основные способы решения задач с параметром:
аналитический и графический.
Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.
Задача № 1
При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?
Решение
х
2 –
2aх + a
2 –
1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два
различных корня, а это возможно лишь при условии:
Д > 0.
Имеем: Д = 4a
2 – 2(а
2 – 1) = 4.
Как видим дискриминант не зависит от а,
следовательно, уравнение имеет два различных
корня при любых значениях параметра а. Найдем
корни уравнения: х
1 = а
+ 1, х
2
= а
– 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку
(1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а
< 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Ответ: 2 < а
< 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого
типа возможен и рационален в тех случаях, когда
дискриминант квадратного уравнения «хороший»,
т.е. является точным квадратом какого либо числа
или выражения или корни уравнения можно найти по
теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не
представляют собой иррациональных выражений. В
противном случае решения задач такого типа
сопряжено с достаточно сложными процедурами с
технической точки зрения. Да и решение
иррациональных неравенств требует от ученика
новых знаний.
Графический
– это способ, при котором
используют графики в координатной плоскости (х;у)
или (х;а). Наглядность и красота такого способа
решения помогает найти быстрый путь решения
задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно из курса алгебры корни квадратного
уравнения (квадратного трехчлена) являются
нулями соответствующей квадратичной функции: У = х
2
– 2ах
+ а
2 – 1. Графиком функции
является парабола, ветви направлены вверх
(первый коэффициент равен 1). Геометрическая
модель, отвечающая всем требованиям задачи,
выглядит так.
Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.
- Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
- Вершина параболы находится между вертикальными
прямыми х
= 1 и х
= 5, следовательно
абсцисса вершины параболы х о принадлежит
промежутку (1; 5), т.е.
1 <х о < 5. - Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.
Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.
Ответ: 2 < а < 4.
Как видно из примера, графический способ
решения задач рассматриваемого типа возможен в
случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат
параметр под знаком радикала (в этом случае
дискриминант уравнения не является полным
квадратом).
Во втором способе решения мы работали с
коэффициентами уравнения и областью значения
функции у
= х
2 – 2ах
+ а
2
– 1.
Такой способ решения нельзя назвать только
графическим, т.к. здесь приходится решать систему
неравенств. Скорее этот способ комбинированный:
функционально-графический. Из этих двух способов
последний является не только изящным, но и
наиболее важным, так как в нем просматриваются
взаимосвязь между всеми типами математической
модели: словесное описание задачи,
геометрическая модель – график квадратного
трехчлена, аналитическая модель – описание
геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни
квадратного трехчлена удовлетворяют заданным
условиям в области определения при искомых
значениях параметра.
А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?
Нахождение корней квадратного трехчлена
Цели: ввести понятие квадратичного трехчлена и его корней; формировать умение находить корни квадратного трехчлена.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из чисел: –2; –1; 1; 2 – являются корнями уравнений?
а) 8х + 16 = 0; в) х 2 + 3х – 4 = 0;
б) 5х 2 – 5 = 0; г) х 3 – 3х – 2 = 0.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала проводить по следующей с х е м е:
1) Ввести понятие корня многочлена.
2) Ввести понятие квадратного трехчлена и его корней.
3) Разобрать вопрос о возможном количестве корней квадратного трехчлена.
Вопрос о выделении квадрата двучлена из квадратного трехчлена лучше разобрать на следующем уроке.
На каждом этапе объяснения нового материала необходимо предлагать учащимся устное задание на проверку усвоения основных моментов теории.
З а д а н и е 1. Какие из чисел: –1; 1; ; 0 – являются корнями многочлена х 4 + 2х 2 – 3?
З а д а н и е 2. Какие из следующих многочленов являются квадратными трехчленами?
1) 2х 2 + 5х – 1; 6) х 2 – х – ;
2) 2х – ; 7) 3 – 4х + х 2 ;
3) 4х 2 + 2х + х 3 ; 8) х + 4х 2 ;
4) 3х 2 – ; 9) + 3х – 6;
5) 5х 2 – 3х ; 10) 7х 2 .
Какие из квадратных трёхчленов имеют корень 0?
З а д а н и е 3. Может ли квадратный трехчлен иметь три корня? Почему? Сколько корней имеет квадратный трехчлен х 2 + х – 5?
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 55, № 56, № 58.
2. № 59 (а, в, д), № 60 (а, в).
В этом задании не нужно искать корни квадратных трехчленов. Достаточно найти их дискриминант и ответить на поставленный вопрос.
а) 5х 2 – 8х + 3 = 0;
D 1 = 16 – 15 = 1;
D 1 0, значит, данный квадратный трехчлен имеет два корня.
б) 9х 2 + 6х + 1 = 0;
D 1 = 9 – 9 = 0;
D 1 = 0, значит, квадратный трехчлен имеет один корень.
в) –7х 2 + 6х – 2 = 0;
7х 2 – 6х + 2 = 0;
D 1 = 9 – 14 = –5;
Если останется время, можно выполнить № 63.
Р е ш е н и е
Пусть ax
2 + bx
+ c
– данный квадратный трехчлен. Поскольку a
+ b
+
+ c
= 0, то один из корней этого трехчлена равен 1. По теореме Виета второй корень равен . Согласно условию, с
= 4а
, поэтому второй корень данного квадратного трехчлена равен
.
О т в е т: 1 и 4.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что такое корень многочлена?
– Какой многочлен называют квадратным трехчленом?
– Как найти корни квадратного трехчлена?
– Что такое дискриминант квадратного трехчлена?
– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен? От чего это зависит?
Домашнее задание: № 57, № 59 (б, г, е), № 60 (б, г), № 62.
Найти корень квадратного трехчлена можно через дискриминант. Кроме того, для приведенного многочлена второй степени действует теорема Виета, основанная на соотношении коэффициентов.
Инструкция
- Квадратные уравнения – довольно обширная тема в школьной алгебре. Левая часть такого уравнения представляет собой многочлен второй степени вида А х² + B х + C, т.е. выражение из трех одночленов разной степени неизвестной х. Чтобы найти корень квадратного трехчлена, нужно вычислить такое значение х, при котором выполняется равенство этого выражения нулю.
- Для решения квадратного уравнения нужно найти дискриминант. Его формула является следствием выделения полного квадрата многочлена и представляет собой определенное соотношение его коэффициентов:D = B² – 4 А C.
- Дискриминант может принимать различные значения, в том числе быть отрицательным. И если младшие школьники могут с облегчением сказать, что корней у такого уравнения нет, то старшеклассники уже способны их определить, исходя из теории комплексных чисел. Итак, вариантов может быть три: Дискриминант – положительное число. Тогда корни уравнения равны: х1 = (-B + √D)/2 А; х2 = (-B - √D)/2 А;
Дискриминант обратился в ноль. Теоретически в этом случае уравнение также имеет два корня, но практически они одинаковы: х1 = х2 = -B/2 А;
Дискриминант меньше нуля. В расчет вводится некая величина i² = -1, которая позволяет записать комплексное решение: х1 = (-B + i √|D|)/2 А; х2 = (-B - i √|D|)/2 А. - Метод дискриминанта справедлив для любого квадратного уравнения, однако есть ситуации, когда целесообразно применить более быстрый способ, особенно при небольших целочисленных коэффициентах. Этот способ называется теоремой Виета и заключается в паре соотношений между коэффициентами в приведенном трехчлене:х² + P х + Q
х1 + х2 = -P;
х1 х2 = Q.Остается только подобрать корни. - Следует отметить, что уравнение может быть приведено к подобному виду. Для этого нужно разделить все слагаемые трехчлена на коэффициент при старшей степени А:А х² + B х + C |А
х² + B/А х + C/А
х1 + х2 = -B/А;
х1 х2 = C/А.