Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
КАРТА УРОКА «ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА»
Учащийся _______________________________________________________________________
1. Я знаю материал предыдущих уроков | Баллы |
Я ответил без конспекта на все вопросы правильно. | |
Я ответил без конспекта с одной ошибкой. | |
Я ответил без конспекта и сделал более одной ошибки. | |
Я ответил правильно на все вопросы, используя конспект. | |
Я ответил, используя конспект, с одной ошибкой | |
Я ответил, используя конспект, и сделал более одной ошибки |
2. Я завершил запись примеров | Баллы |
Я выполнил все задания без ошибок | |
Я выполнил с одной ошибкой | |
Я выполнил задания и сделал более двух ошибок |
3. Я выполнил вывод формулы для нахождения синуса и косинуса | Баллы |
Я вывел формулы правильно | |
Я вывел формулы и допустил одну ошибку | |
Я вывел формулы с помощью учителя |
4. Я применил свои знания по теме: «Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» при решении самостоятельной работы | Баллы |
Я решил примеры 1 варианта без ошибок. | |
Я решил примеры 1 варианта и допустил ошибку. | |
Я решил примеры 2 варианта без ошибок. | |
Я решил примеры 2 варианта и допустил ошибку. | |
Я решил примеры 3 варианта без ошибок | |
Я решил примеры 3 варианта и допустил ошибку. | |
Я решил примеры 4 варианта без ошибок. | |
Я решил примеры 4 варианта и допустил ошибку. |
5. Оцени себя: | |
Я понял вывод формул и могу решать примеры по данной теме с тетрадкой и помощью учителя. | |
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, только смотря в формулы. | |
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, если забуду формулу, я смогу ее вывести сам. |
Мои баллы: __________
Максимальное кол-во баллов – 22
18 – 22 балла - оценка «5»
15 – 17 баллов - оценка «4»
11 –14 баллов - оценка «3»
Менее 11 баллов - нужно прийти на консультацию в ближайшие дни, материал еще не усвоился.
«Краткий план»
Головатова Вера Анатольевна, преподаватель математики
ГБ ПОУ «Охтинский колледж»
Конспект двух уроков для обучающихся I курса (10кл.) по теме:
«Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла»
Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Для достижения поставленной цели необходимо:
Знать:
формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса);
знаки тригонометрических функций по четвертям;
множество значений тригонометрических функций;
основные формулы тригонометрии.
Понимать:
что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента;
алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
Применить:
умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания;
умение работать с простыми дробями;
умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Анализ:
анализировать ошибки в логике рассуждения.
Синтез:
предложить свой способ решения примеров;
составить кроссворд, используя полученные знания.
Оценка:
знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.
Используемые источники:
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.В. Сидоров и др. Просвещение, 2006.
Задания Открытого банка для подготовки к ЕГЭ по математике, 2011 г.
Ресурсы сети ИНТЕРНЕТ.
Краткий план урока:
Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке – 3-5 мин.
Актуализация знаний и умений.
Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать.
На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1 – 10 мин.
Объяснение нового материала.
Преподаватель выводит формулу для основного тригонометрического тождества – 5 мин.
Учащимся предлагается самостоятельно завершить запись примеров, выведенных на экран, проверить правильность ответов и выставить баллы в карту урока для Задания № 2 – 5 мин.
Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. На экран выводится правильный ответ, учащиеся проверяют и выставляют баллы в карту урока для Задания №3 – 5-7 мин.
Преподаватель на доске решает примеры на применение основного тригонометрического тождества. Учащиеся отвечают на вопросы преподавателя по ходу объяснения и записывают примеры себе в тетрадь – 15 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и котангенсом, учащиеся принимают активное участие в выводе формул, отвечают на вопросы и делают записи в тетрадь – 5 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом – 5 мин.
К доске вызываются учащиеся по желанию и с помощью преподавателя по алгоритму выполняют решение примеров. Все остальные записывают и по мере необходимости отвечают на вопросы – 10 мин.
Закрепление изученного материала
В конце урока на экран выводятся правильные ответы, учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4 – 20 мин.
Домашнее задание: Учащиеся записывают в тетрадь задание на дом – 3 мин.
Просмотр содержимого документа
«Рефлексия»
После посещения семинаров по РНС и проведении урока с использованием технологической карты мне стало очевидно, что рейтинговая система стимулирует максимально возможный интерес учащихся к конкретной теме. В моем случае – это основные формулы тригонометрии.
Тригонометрия очень часто не воспринимается учащимися не столько из-за своей сложности, сколько из-за большого количества формул, с которыми нужно уметь работать.
Трудно после одного урока, проведенного с использованием технологической карты, ожидать каких-то невероятных успехов и результатов, но мне кажется, что преимущества рейтинговой системы при изучении тригонометрии и математики в целом состоят в следующем:
появилась возможность организовать и поддерживать как работу на уроке, так и самостоятельную, систематическую работу учащихся дома;
должна повыситься посещаемость и уровень дисциплины на уроках;
повышается мотивация к учебной деятельности;
уменьшаются стрессовые ситуации при получении неудовлетворительных оценок;
стимулируется творческое отношение к работе.
Единственный недостаток РНС (как мне кажется) – это большой объем работы для преподавателя, но это работа на результат. После единственного урока, проведенного по этой системе, учащиеся постоянно спрашивают, будем ли мы еще так работать. Значит, их что-то зацепило. И нужно продолжать работать.
Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа»
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню ( перед вами задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
Инструкция:
Инструкция:
Решите самостоятельно этим способом пример:
2 вариант
Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.
Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….
3 вариант
4 вариант
Просмотр содержимого презентации
«Презентация»
Повторение:
1. В какой четверти находится угол в
1 радиан и чему он примерно равен?
В I четверти, 1 рад. 57,3 °
2. Какое слово пропущено в определении функции синус?
Синусом угла называется ………… точки единичной окружности.
ОРДИНАТА
3. Какое слово пропущено в определении функции косинус?
Косинусом угла называется
………… точки единичной окружности.
АБСЦИССА
4. Допишите формулу:
tg
5. Определите знак произведения:
tg
6. Какое значение может принимать синус?
или
7. Вычислите:
y
B (x; y)
R
Y=sin
O
x
x=cos
Завершите запись:
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
x
- Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
- Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
- + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
- + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.
1 Вариант:
3 Вариант:
2.Вариант:
4 Вариант:
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .
Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .
1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;
Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:
\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .
Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .
Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .
Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.
ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .
В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.
Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.
Навигация по странице.
Связь между синусом и косинусом одного угла
Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.
То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.
Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.
Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .
Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.
В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое .
Связь между тангенсом и котангенсом
Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.
Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .
Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .
Тема: Тригонометрические формулы (25 часов)
Урок 6 – 7: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Цель:
изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Для достижения поставленной цели необходимо:
- Знать:
- формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса); знаки тригонометрических функций по четвертям; множество значений тригонометрических функций; основные формулы тригонометрии.
- Понимать:
- что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента; алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
- Применить:
- умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; умение работать с простыми дробями; умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
- Анализ:
- анализировать ошибки в логике рассуждения.
- Синтез:
- предложить свой способ решения примеров; составить кроссворд, используя полученные знания.
- Оценка:
- знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
- Организационный момент.
- Актуализация знаний и умений.
- В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен?
- Какое слово пропущено в определение функции синус?
- Какое слово пропущено в определении функции косинус?
- Какие значения может принимать синус?
()
- Объяснение нового материала.
где – абсцисса точки В, – ее ордината. Отсюда следует, что Точка В принадлежит окружности. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению
Воспользовавшись тем, что получим
(1). Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества. Равенство (1) называется основным тригонометрическим тождеством. В равенстве (1) может принимать любые значения. Самостоятельно завершите запись:
1.
Проверьте правильность вашей записи. Выставите себе баллы в карту урока для Задания № 2. Продолжаем. Мы вывели основное тригонометрическое тождество, а для чего оно нам нужно? Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса значение косинуса и наоборот. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. Для проверки к доске вызываются два ученика. Одному предлагается выразить синус через косинус, второму – косинус через синус. На экран выводится верный ответ:
Учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 3. В этих формулах от чего зависит знак перед корнем? (От того, в какой четверти расположен угол тригонометрической функции, которую мы определяем).
Пример 1 . Вычислить
если
Определим четверть, в которой находится угол . Четверть – III. Вспомним, что синус в третьей четверти отрицательный, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак « – »: Пример 2. Вычислить
если
Определяем четверть, в которой находится угол . Четверть – IV, косинус в четвертой четверти положителен. Поэтому в формуле (3) перед корнем нужен знак « + »:
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом . По определению тангенса и котангенса
Перемножая эти равенства, получаем:
Из равенства (4) можно выразить
через
и наоборот:
Равенства (4) – (6) верны при всех значениях, при которых
имеют смысл, т. е. при
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также котангенсом и синусом одного и того же аргумента. Разделив обе части равенства (1) на
, получим:
т.е.
Если обе части равенства (1) разделить на
, то будем иметь:
т.е.
Рассмотрим примеры использования выведенных формул для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
Пример 1. Найдем если известно, что
Решение:
- Для отыскания котангенса угла
удобно воспользоваться формулой (6):
Ответ:
Пример2. Известно, что
. Найдем все остальные тригонометрические функции. Решение:
- Воспользуемся формулой (7).
Имеем:
,
. По условию задачи угол является углом 1 четверти, поэтому его косинус положителен. Значит
Ответ:
Установленные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента позволяют упрощать тригонометрические выражения.
Пример 3. Упростим выражение:
Решение: Воспользуемся формулами:
. Получим:
- Закрепление.
А сейчас на экране представлены рубрики самооценки по данной теме. Отметьте, на какой уровень вы бы хотели сегодня выйти.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.
Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами лежат задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
Инструкция:
4 вариант
А теперь, ребята, давайте проверим ответы. На экран выводятся правильные ответы, и учащиеся проверяют свои работы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4. По карте урока оцените себя. Подсчитайте свои баллы и выставите их в карту.
- Домашнее задание.
- Записать все выведенные формулы в справочник. По учебнику №459 (3, 5), №460 (1)