Сколько свойству параллельных. Параллельные прямые на плоскости и в пространстве
Читайте также
1. Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
2. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
4. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные при этом внутренние накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; внутренние односторонние углы в сумме составляют 180°.
5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
6. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.
7. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Теорема Фалеса . Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.
Теорема о пропорциональных отрезках . Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.
Треугольник. Признаки равенства треугольников .
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. По двум катетам.
2. По катету и гипотенузе.
3. По гипотенузе и острому углу.
4. По катету и острому углу.
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё
1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна
4. Сумма внешних углов га-угольника равна 360°.
5. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
6. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.
7. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки - медиана, биссектриса, высота, то он является равнобедренным.
Неравенство треугольника и следствия из него
1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало
первого звена с концом последнего.
3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то
1) перпендикуляр короче наклонных;
2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
Средняя линия треугольника.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
Теорема о средней линии треугольника .
Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.
Теоремы о медианах треугольника
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.
Теорема о высотах треугольника . Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Теорема о биссектрисах треугольника . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
Свойство биссектрисы треугольника . Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
Площади подобных треугольников
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.
В прямоугольном треугольнике
1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.
2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к этому катету острого угла.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
5. R = ; г = , где а, b - катеты, а с - гипотенуза прямоугольного треугольника; г и R - радиусы вписанной и описанной окружности соответственно.
Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора
1. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
2. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник - прямоугольный.
Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.
Метрические соотношения в треугольнике
1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
2. Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3. Формула для медианы треугольника. Если m - медиана треугольника, проведенная к стороне с, то m = 
, где а и b - остальные стороны треугольника.
4. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
5. Обобщённая теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
Формулы площади треугольника
1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
4. Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус описанной окружности.
5. Формула Герона: S=, где p - полупериметр; а, b, с - стороны треугольника.
Элементы равностороннего треугольника
. Пусть h, S, r, R - высота, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной а. Тогда
Четырёхугольники
Параллелограмм. Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма .
1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Свойство середин сторон четырёхугольника . Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырёхугольника.
Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
Свойства и признаки прямоугольника.
1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
Ромб. Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого равны.
Свойства и признаки ромба.
1. Диагонали ромба перпендикулярны.
2. Диагонали ромба делят его углы пополам.
3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб.
4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб.
Трапеция. Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
Замечательное свойство трапеции . Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Равнобедренная трапеция . Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции.
1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали - полусумме оснований.
Формулы площади четырёхугольника
1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
2. Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.
3. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.
4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
6. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
7. Формула Герона для четырёхугольника, около которого можно описать окружность:
S = , где а, b, с, d - стороны этого четырёхугольника, p - полупериметр, а S - площадь.
Подобные фигуры
1. Отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.
2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Правильный многоугольник .
Пусть а n - сторона правильного n-угольника, а г n и R n - радиусы вписанной и описанной окружностей. Тогда
Окружность.
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.
Основные свойства окружности
1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
2. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.
3. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
4. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
5. Хорды окружности, удалённые от центра на равные расстояния, равны.
6. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.
7. Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны.
8. Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.
9. Диаметр есть наибольшая хорда окружности.
Касательная к окружности . Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Если прямая а, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то прямая а - касательная к окружности.
3. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках А и В, то MA = MB и ﮮАМО = ﮮВМО, где точка О - центр окружности.
4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Касающиеся окружности . Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).
1. Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.
2. Окружности радиусов г и R с центрами О 1 и О 2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + г = O 1 O 2 .
3. Окружности радиусов г и R (г
4. Окружности с центрами О 1 и O 2 касаются внешним образом в точке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А и В и пересекается с общей касательной, проходящей через точку К, в точке С. Тогда ﮮАК В = 90° и ﮮО 1 СО 2 = 90°.
5. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов г и R равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними. Оба эти отрезка равны .
Углы, связанные с окружностью
1. Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося.
2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
6. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой величины дуги, высекаемой на окружности этой хордой.
Свойства хорд окружности
1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.
2. Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕ ЕВ = СЕ ED.
Вписанные и описанные окружности
1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, - середина гипотенузы.
3. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
4. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.
5. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.
Теорема о касательной и секущей и следствие из неё
1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
2. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.
Длина окружности радиуса R равна C= 2πR
Эта глава посвящена изучению параллельных прямых. Так называются две прямые на плоскости, которые не пересекаются. Отрезки параллельных прямых мы видим в окружающей обстановке - это два края прямоугольного стола, два края обложки книги, две штанги троллейбуса и т. д. Параллельные прямые играют в геометрии очень важную роль. В этой главе вы узнаете о том, что такое аксиомы геометрии и в чём состоит аксиома параллельных прямых - одна из самых известных аксиом геометрии.
В п. 1 мы отмечали, что две прямые либо имеют одну общую точку, т. е. пересекаются, либо не имеют ни одной общей точки, т. е. не пересекаются.
Определение
Параллельность прямых а и b обозначают так: а || b.
На рисунке 98 изображены прямые а и b, перпендикулярные к прямой с. В п. 12 мы установили, что такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.
Рис. 98
Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых. На рисунке 99, а отрезки АВ и CD параллельны (АВ || CD), а отрезки MN и CD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 99, б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей (рис. 99, в).
Рис. 99 Признаки параллельности двух прямых
Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 100). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 100 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
накрест лежащие углы
: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы
: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы
: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Рис. 100
Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.
Теорема
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).
Докажем, что а || b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 101, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.
Рис. 101
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.
Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 101, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН 1 , равный отрезку АН, как показано на рисунке 101, в, и проведём отрезок ОН 1 . Треугольники ОНА и ОН 1 В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка Н 1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н 1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 - прямой (так как угол 5 - прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой HH 1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.
Теорема
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1 =∠2 (рис. 102).
Рис. 102
Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то ∠2 = ∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1 = ∠3. Но углы 1 и 3 - накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.
Теорема
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1 + ∠4 = 180° (см. рис. 102).
Так как углы 3 и 4 - смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.
Практические способы построения параллельных прямых
Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертёжный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами α и β, равны.
Рис. 103 На рисунке 104 показан способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертёжной практике.
Рис. 104 Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скреплённые шарниром, рис. 105).
Рис. 105
Задачи
186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что а || b, если:
а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а угол 7 в три раза больше угла 3.
Рис. 106
187. По данным рисунка 107 докажите, что АВ || DE.
Рис. 107
188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
189. Используя данные рисунка 108, докажите, что ВС || AD.
Рис. 108
190. На рисунке 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Докажите, что DE || АС.
Рис. 109
191. Отрезок ВК - биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что прямые КМ и АВ параллельны.
192. В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.
193. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС - биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямую, параллельную противоположной стороне.
195. Начертите треугольник АВС и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника.
Признаки параллельности двух прямых
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна 180°, то
прямые параллельны (рис.1).
Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.
Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.
Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).
Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.
Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).
Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.
Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной
.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).
Справедлива и следующая теорема.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
накрест лежащие углы равны;
соответственные углы равны;
сумма односторонних углов равна 180°.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).
Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.
Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.
Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.
§ 1. Признаки параллельности двух прямых - Геометрия 7 класс (Атанасян Л. С.)
Краткое описание:
О том, что такое параллельные прямые, вы узнаете в этом параграфе. Вы получите простое определение, но в то же время несколько необычное, — две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Другими словами, если две прямые не пересекаются, то они и будут параллельными. Или, если прямые не имеют точек пересечения, то они параллельны.
Необычность этого определения заключается в том, что если перед вами две прямые и вы не видите их точку пересечения, то это вовсе не значит, что ее нет. Это значит, что вы ее, возможно, просто не видите.
Поэтому это определение невозможно использовать напрямую для того, чтобы доказать, что две прямые являются параллельными. Ведь вы же не можете бесконечно следовать за продолжением прямых для того, чтобы убедиться в том, что они таки не пересекаются.
Но это и не нужно. Существуют признаки, по которым можно судить о параллельности прямых. Их три. В соответствие с каждым из них рассматривают особые углы или их комбинации, которые образуются при пересечении этих двух исследуемых прямых третьей прямой – секущей. По этим углам и судят о параллельности прямых.
Доказательства этих признаков – теоремы о параллельности прямых – основаны на теореме, которую вы уже рассматривали в 1 главе учебника, — две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются. Только теперь эта теорема выглядит иначе, — две прямые, перпендикулярные третьей, — параллельны.
