Основные тригонометрические тождества. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла
КАРТА УРОКА «ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА»
Учащийся _______________________________________________________________________
1. Я знаю материал предыдущих уроков | Баллы |
Я ответил без конспекта на все вопросы правильно. | |
Я ответил без конспекта с одной ошибкой. | |
Я ответил без конспекта и сделал более одной ошибки. | |
Я ответил правильно на все вопросы, используя конспект. | |
Я ответил, используя конспект, с одной ошибкой | |
Я ответил, используя конспект, и сделал более одной ошибки |
2. Я завершил запись примеров | Баллы |
Я выполнил все задания без ошибок | |
Я выполнил с одной ошибкой | |
Я выполнил задания и сделал более двух ошибок |
3. Я выполнил вывод формулы для нахождения синуса и косинуса | Баллы |
Я вывел формулы правильно | |
Я вывел формулы и допустил одну ошибку | |
Я вывел формулы с помощью учителя |
4. Я применил свои знания по теме: «Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» при решении самостоятельной работы | Баллы |
Я решил примеры 1 варианта без ошибок. | |
Я решил примеры 1 варианта и допустил ошибку. | |
Я решил примеры 2 варианта без ошибок. | |
Я решил примеры 2 варианта и допустил ошибку. | |
Я решил примеры 3 варианта без ошибок | |
Я решил примеры 3 варианта и допустил ошибку. | |
Я решил примеры 4 варианта без ошибок. | |
Я решил примеры 4 варианта и допустил ошибку. |
5. Оцени себя: | |
Я понял вывод формул и могу решать примеры по данной теме с тетрадкой и помощью учителя. | |
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, только смотря в формулы. | |
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, если забуду формулу, я смогу ее вывести сам. |
Мои баллы: __________
Максимальное кол-во баллов – 22
18 – 22 балла - оценка «5»
15 – 17 баллов - оценка «4»
11 –14 баллов - оценка «3»
Менее 11 баллов - нужно прийти на консультацию в ближайшие дни, материал еще не усвоился.
«Краткий план»
Головатова Вера Анатольевна, преподаватель математики
ГБ ПОУ «Охтинский колледж»
Конспект двух уроков для обучающихся I курса (10кл.) по теме:
«Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла»
Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Для достижения поставленной цели необходимо:
Знать:
формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса);
знаки тригонометрических функций по четвертям;
множество значений тригонометрических функций;
основные формулы тригонометрии.
Понимать:
что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента;
алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
Применить:
умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания;
умение работать с простыми дробями;
умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Анализ:
анализировать ошибки в логике рассуждения.
Синтез:
предложить свой способ решения примеров;
составить кроссворд, используя полученные знания.
Оценка:
знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.
Используемые источники:
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.В. Сидоров и др. Просвещение, 2006.
Задания Открытого банка для подготовки к ЕГЭ по математике, 2011 г.
Ресурсы сети ИНТЕРНЕТ.
Краткий план урока:
Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке – 3-5 мин.
Актуализация знаний и умений.
Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать.
На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1 – 10 мин.
Объяснение нового материала.
Преподаватель выводит формулу для основного тригонометрического тождества – 5 мин.
Учащимся предлагается самостоятельно завершить запись примеров, выведенных на экран, проверить правильность ответов и выставить баллы в карту урока для Задания № 2 – 5 мин.
Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. На экран выводится правильный ответ, учащиеся проверяют и выставляют баллы в карту урока для Задания №3 – 5-7 мин.
Преподаватель на доске решает примеры на применение основного тригонометрического тождества. Учащиеся отвечают на вопросы преподавателя по ходу объяснения и записывают примеры себе в тетрадь – 15 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и котангенсом, учащиеся принимают активное участие в выводе формул, отвечают на вопросы и делают записи в тетрадь – 5 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом – 5 мин.
К доске вызываются учащиеся по желанию и с помощью преподавателя по алгоритму выполняют решение примеров. Все остальные записывают и по мере необходимости отвечают на вопросы – 10 мин.
Закрепление изученного материала
В конце урока на экран выводятся правильные ответы, учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4 – 20 мин.
Домашнее задание: Учащиеся записывают в тетрадь задание на дом – 3 мин.
Просмотр содержимого документа
«Рефлексия»
После посещения семинаров по РНС и проведении урока с использованием технологической карты мне стало очевидно, что рейтинговая система стимулирует максимально возможный интерес учащихся к конкретной теме. В моем случае – это основные формулы тригонометрии.
Тригонометрия очень часто не воспринимается учащимися не столько из-за своей сложности, сколько из-за большого количества формул, с которыми нужно уметь работать.
Трудно после одного урока, проведенного с использованием технологической карты, ожидать каких-то невероятных успехов и результатов, но мне кажется, что преимущества рейтинговой системы при изучении тригонометрии и математики в целом состоят в следующем:
появилась возможность организовать и поддерживать как работу на уроке, так и самостоятельную, систематическую работу учащихся дома;
должна повыситься посещаемость и уровень дисциплины на уроках;
повышается мотивация к учебной деятельности;
уменьшаются стрессовые ситуации при получении неудовлетворительных оценок;
стимулируется творческое отношение к работе.
Единственный недостаток РНС (как мне кажется) – это большой объем работы для преподавателя, но это работа на результат. После единственного урока, проведенного по этой системе, учащиеся постоянно спрашивают, будем ли мы еще так работать. Значит, их что-то зацепило. И нужно продолжать работать.
Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа»
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню ( перед вами задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
Инструкция:
Инструкция:
Решите самостоятельно этим способом пример:
2 вариант
Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.
Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….
3 вариант
4 вариант
Просмотр содержимого презентации
«Презентация»
Повторение:
1. В какой четверти находится угол в
1 радиан и чему он примерно равен?
В I четверти, 1 рад. 57,3 °
2. Какое слово пропущено в определении функции синус?
Синусом угла называется ………… точки единичной окружности.
ОРДИНАТА
3. Какое слово пропущено в определении функции косинус?
Косинусом угла называется
………… точки единичной окружности.
АБСЦИССА
4. Допишите формулу:
tg
5. Определите знак произведения:
tg
6. Какое значение может принимать синус?
или
7. Вычислите:
y
B (x; y)
R
Y=sin
O
x
x=cos
Завершите запись:
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
x
- Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
- Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
- + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
- + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.
1 Вариант:
3 Вариант:
2.Вариант:
4 Вариант:
Тема: Тригонометрические формулы (25 часов)
Урок 6 – 7: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Цель:
изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Для достижения поставленной цели необходимо:
- Знать:
- формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса); знаки тригонометрических функций по четвертям; множество значений тригонометрических функций; основные формулы тригонометрии.
- Понимать:
- что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента; алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
- Применить:
- умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; умение работать с простыми дробями; умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
- Анализ:
- анализировать ошибки в логике рассуждения.
- Синтез:
- предложить свой способ решения примеров; составить кроссворд, используя полученные знания.
- Оценка:
- знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
- Организационный момент.
- Актуализация знаний и умений.
- В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен?
- Какое слово пропущено в определение функции синус?
- Какое слово пропущено в определении функции косинус?
- Какие значения может принимать синус?
()
- Объяснение нового материала.
где – абсцисса точки В, – ее ордината. Отсюда следует, что Точка В принадлежит окружности. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению
Воспользовавшись тем, что получим
(1). Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества. Равенство (1) называется основным тригонометрическим тождеством. В равенстве (1) может принимать любые значения. Самостоятельно завершите запись:
1.
Проверьте правильность вашей записи. Выставите себе баллы в карту урока для Задания № 2. Продолжаем. Мы вывели основное тригонометрическое тождество, а для чего оно нам нужно? Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса значение косинуса и наоборот. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. Для проверки к доске вызываются два ученика. Одному предлагается выразить синус через косинус, второму – косинус через синус. На экран выводится верный ответ:
Учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 3. В этих формулах от чего зависит знак перед корнем? (От того, в какой четверти расположен угол тригонометрической функции, которую мы определяем).
Пример 1 . Вычислить
если
Определим четверть, в которой находится угол . Четверть – III. Вспомним, что синус в третьей четверти отрицательный, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак « – »: Пример 2. Вычислить
если
Определяем четверть, в которой находится угол . Четверть – IV, косинус в четвертой четверти положителен. Поэтому в формуле (3) перед корнем нужен знак « + »:
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом . По определению тангенса и котангенса
Перемножая эти равенства, получаем:
Из равенства (4) можно выразить
через
и наоборот:
Равенства (4) – (6) верны при всех значениях, при которых
имеют смысл, т. е. при
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также котангенсом и синусом одного и того же аргумента. Разделив обе части равенства (1) на
, получим:
т.е.
Если обе части равенства (1) разделить на
, то будем иметь:
т.е.
Рассмотрим примеры использования выведенных формул для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
Пример 1. Найдем если известно, что
Решение:
- Для отыскания котангенса угла
удобно воспользоваться формулой (6):
Ответ:
Пример2. Известно, что
. Найдем все остальные тригонометрические функции. Решение:
- Воспользуемся формулой (7).
Имеем:
,
. По условию задачи угол является углом 1 четверти, поэтому его косинус положителен. Значит
Ответ:
Установленные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента позволяют упрощать тригонометрические выражения.
Пример 3. Упростим выражение:
Решение: Воспользуемся формулами:
. Получим:
- Закрепление.
А сейчас на экране представлены рубрики самооценки по данной теме. Отметьте, на какой уровень вы бы хотели сегодня выйти.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.
Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами лежат задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
Инструкция:
4 вариант
А теперь, ребята, давайте проверим ответы. На экран выводятся правильные ответы, и учащиеся проверяют свои работы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4. По карте урока оцените себя. Подсчитайте свои баллы и выставите их в карту.
- Домашнее задание.
- Записать все выведенные формулы в справочник. По учебнику №459 (3, 5), №460 (1)
Открытый урок по алгебре и началам анализа по теме: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла» (10 класс)
Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения
Образовательная : вывод формул зависимости между синусом и косинусом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса по заданному значению одного из них.
Развивающая : учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия, развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки
Воспитательная: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям, воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.
Здоровье-сберегающая : создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.
Знания и умения: определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса); знаков тригонометрических функций по четвертям; множества значений тригонометрических функций; основных формул тригонометрии. У мение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; работать с простыми дробями; выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Ход урока
Организационный момент:
Проверить готовность учащихся к уроку. Открытие на компьютерах сайта учителя(Приложение 1).
Устная работа по пройденной теме : «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
На доске:
Задание:
Расставить номера четвертей координатной плоскости и определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Самостоятельная работа по теме: «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
Учащиеся открывают на сайте раздел «Задания к уроку по тригонометрии». Самопроверка
(Учащиеся выполняют задание №1, проверяют свои работы и оцениваю себя)
Объяснение нового материала
На доске:
х = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tg α = , α≠ …
y = … α, … ≤ sin α≤ … ctg α = , α≠ …
Задание: дописать формулы
Учитель : «Мы с вами изучили каждое понятие отдельно. Как вы считаете какую тему далее логично изучить?»
( Предполагаемый ответ: «Зависимость между этими понятиями»)
Формулируется тема урока: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла»
Учитель : «Есть несколько путей решения этой проблемы»
Используя уравнение единичной окружностиИспользуя теорему Пифагора
Учитель : «Давайте рассмотрим оба и выберем наиболее рациональный»
На доске:
Учащиеся выводят равенство cos 2 α + sin 2 α = 1
Учитель : «Мы получили равенство справедливое при любых значениях, входящих в него букв. Как называют такие равенства?»
( Предполагаемый ответ : тождества)
Учитель : «Вспомните, как называется тождество cos 2 α + sin 2 α = 1 »
Закрепление изученного материала
А) Учитель: «Откройте учебник стр.147, № 457(2;4)»(вызванные учащиеся решают у доски)
Б) Учитель: «Приступите к выполнению задания №2. Работаем по вариантам» (Обсуждение полученных результатов)
На доске:
1 вариант 2 вариант
Учитель: «В данных формулах перед корнем стоят знаки « ±» . От чего зависит какой знак ставить в формуле?»
(Предполагаемый ответ: «От того, в какой четверти расположен угол поворота точки P(1;0)»)
В) Учитель: «Приступите к выполнению задания №3». (Учащиеся решают задания, проверка на доске)
Подведение итогов урока
Учитель: «Молодцы! Итог урока мы подведем с помощью кроссворда» (Задание 4) (Учащиеся работают в парах за компьютером)
7) Рефлексия в форме анкетирования (приложение 2)
Учитель: «Сделайте вывод о своей работе на уроке, заполнив тест».
8) Домашнее задание
§25, №456, 457(1;3),460(1;3).
Доклад
Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла
На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением
- x 2 +y 2 =1.
Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:
- sin(a) = у,
- cos(a) = х.
Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.
Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.
Например.
Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi Воспользуемся формулой приведенной выше: